Lassen Sie uns also sehen, was wir bereits
gewusst haben und was wir hier definieren werden.
Die Sache, die wir kennen, sind Sequenzen.
Sequenzen sind im Grunde Funktionen
der natürlichen Domäne, wo wir
eine Reihe von natürlichen Zahlen haben und für
jede natürliche Zahl haben wir einen gewissen Wert.
Ok. Das ist unsere bereits etablierte Definition.
Also werden wir vorwärts in
den Fall von Funktionen von
reellen Zahlen zu reellen Zahlen gehen, oder?
Also müssen wir erstens diskutieren, was
der Unterschied zwischen der Struktur
der reellen Zahlenmenge und einer natürlichen Zahlenmenge ist,
und tatsächlich
ist dieser strukturelle Unterschied ziemlich beobachtbar.
Nehmen wir an, dass wir
unsere reellen Zahlen
auf einer geraden Linie gezogen haben und dann
zeigen wir nur auf alle unsere natürlichen Zahlen
und betrachten zum Beispiel Nachbarschaft des Punktes drei.
Ich werde das betonen.
Also, was für eine Idee.
Ja, für die natürlichen Zahlen
ist der nächste, wie wir bekommen können, entweder zwei oder vier.
- Richtig. Also der kleinste Abstand zwischen
natürlichen Zahlen von Nummer drei ist eins, aber so
reelle Zahlen, wie Sie alle verstehen können,
gibt es keinen kleinsten Abstand zwischen
drei und 1000 Zahlen, weil wir
so nah wie möglich an drei kommen können.
Also, das ist im Grunde das Konzept
des Grenzpunkts eines jeden Satzes.
Ein Punkt wird Limit genannt, wenn wir
unendlich nah an ihm durch seine Elemente dieses Satzes kommen können.
So ist die Idee hier sehr einfach.
Wir können die Grenzen besprechen.
Wir können die Begrenzung
der Funktion an einem bestimmten Punkt nur betrachten,
wenn dieser Punkt
ein Grenzpunkt der funktionalen Domäne ist. In Ordnung.
Die Frage hier ist also,
warum wir
zum Beispiel den gleichen Fall für Sequenzen in Betracht gezogen haben und es ist tatsächlich ziemlich einfach, weil,
lassen Sie mich hier eine Art Unendlichkeit machen.
Sagt, irgendwo ganz rechts gibt es eine Unendlichkeit.
Von dem, was ist die Phrase
so nah wie möglich bedeutet eigentlich?
Es bedeutet im Grunde, dass wir einen Strahl betrachten können, der
von einer endlichen Zahl
M [unhörbar] als unendlich beginnt und dann nur
dieses M kürzer und näher nach rechts bewegt.
Also im Grunde ist die Idee, dass
jede Nachbarschaft der Unendlichkeit bedeutet,
dass wir davon ausgehen können, dass wir eine
gewisse Qualität haben, eine Bedingung oder zum Beispiel unsere Sequenz
nicht weiter von ihren
Grenzen kommt, beginnend mit dem Punkt M,
steigt von der Zahl M und weiter weg.
Also für die natürlichen Zahlen
ist der einzige Grenzpunkt unendlich,
weil wir näher und näher an die Unendlichkeit kommen können,
aber für reelle Zahlen die Menge von Grenzpunkten nach oben oder
die Zahlen plus und minus Unendlichkeit.
Also, das ist im Grunde die Idee,
wie Übergang von Sequenzen zu Funktionen.
Zuvor sprachen wir nur
über Grenzen in der Unendlichkeit und jetzt können wir
über punktweise Grenzen sprechen
und wir müssen
es richtig definieren, indem wir bereits existierende Definitionen für unsere Sequenzen verwenden.