Quindi vediamo quello che abbiamo già
conosciuto e che cosa stiamo per definire qui.
La cosa che abbiamo conosciuto sono le sequenze.
Le sequenze sono fondamentalmente funzioni
di dominio naturale in cui abbiamo
un insieme di numeri naturali e per
ogni numero naturale abbiamo un certo valore.
Ok. Questa è la nostra definizione già stabilita.
Quindi andremo avanti nel
caso delle funzioni da
numeri reali a numeri reali, giusto?
Quindi dobbiamo discutere in primo luogo qual
è la differenza tra la struttura
del set di numeri reali e un set di numeri naturali,
e in realtà questa differenza strutturale
è abbastanza osservabile.
Supponiamo che abbiamo i
nostri numeri reali disegnati
su una linea retta e poi ci limitiamo a
indicare tutti i nostri numeri naturali
e consideriamo per esempio quartiere del punto tre.
Voglio sottolineare tutto questo.
Allora che idea.
Sì, per i numeri naturali il più vicino possibile
è due o quattro.
Giusto. Quindi la distanza più piccola tra
i numeri naturali dal numero tre è uno, ma
come numeri reali come tutti voi potete capire
non c'è distanza minima tra
tre e 1000 numeri perché possiamo
avvicinarci il più possibile a tre.
Quindi questo è fondamentalmente il concetto
di punto limite di qualsiasi insieme.
Un punto è chiamato limite se possiamo
avvicinarci infinitamente ad esso dai suoi elementi di questo insieme.
Quindi l'idea è molto semplice qui.
Possiamo discutere dei limiti.
Possiamo considerare il limite
della funzione in un dato punto solo
se questo punto è
un punto limite del dominio funzionale. Va bene.
Quindi la domanda qui è,
perché abbiamo considerato lo stesso caso per le sequenze per
esempio ed è un dato di fatto abbastanza facile perché,
lasciami fare una sorta di infinito qui.
Dice che da qualche parte nella destra c'è un infinito.
Di qual è la frase
il più vicino all'infinito possibile significa effettivamente?
In pratica significa che possiamo guardare un fascio a
partire da un certo numero finito
M [inudibile] come infinito e poi di appena si muove
questa M più breve e più vicino a destra.
Quindi fondamentalmente l'idea è che
qualsiasi quartiere di infinito significa che
possiamo supporre che abbiamo una certa qualità,
qualche condizione o per esempio la nostra sequenza
non si allontana dai
suoi limiti partendo dal punto M,
salendo dal numero M e più lontano.
Quindi, per i numeri naturali,
l'unico punto limite è l'infinito
perché possiamo avvicinarci sempre più all'infinito,
ma per i numeri reali l'insieme dei punti limite verso l'alto o
i numeri più e meno infinito.
Quindi questa è fondamentalmente l'idea di
come la transizione dalle sequenze alle Funzioni.
In precedenza stavamo
parlando solo di limiti all'infinito e ora possiamo
parlare di limiti puntuali
e dobbiamo
definirli correttamente usando definizioni già esistenti per le nostre sequenze.