Lassen Sie uns also versuchen, das Konzept der
Begrenzung der Sequenz in den
Fall von Funktionen der realen Domäne zu verallgemeinern.
Im Grunde, was wir eigentlich schon haben,
haben wir die Idee, dass das Limit ein Wert von
nicht nur einem realen Wert ist, der
unseren Funktionen oder unserer Sequenz am meisten ähnelt.
Die Regel hier ist, dass, wenn Sie eine bestimmte Abweichung haben,
dann können wir davon ausgehen, dass
unsere Sequenz oder unsere Funktion nicht
viel von der Grenze abweicht,
wenn sie nahe genug an den Grenzpunkt kommt.
Lassen Sie uns also versuchen, dies formell aufzuschreiben.
Nun, das ist alptraumhaft, denn wir werden
unsere Quantifizierer verwenden, wie sie in
der vergangenen Woche durchgeführt wurden, aber alles wird gut sein.
Lassen Sie uns also von unserem Bild beginnen.
Was haben wir hier?
Wir haben hier unsere Funktion,
dies ist eine blaue Kurve und haben dann einen Punkt
von Interesse oder Grenzpunkt ein hier.
Also, was ist eine Idee?
Was ich sagen werde, ist, dass diese Funktion
ein Limit gleich
c hat, da x sich a nähert und c dort drüben zeichnet.
Also, was bedeutet es?
Es bedeutet im Grunde, dass, wenn wir nur sagen, dass wir
zulassen, dass unsere Funktion von der Grenze von Epsilon abweichen,
die Epsilon nur jede mögliche echte positive Wert,
dann schaffen wir einige Grenzen
auf unsere Funktionen abgeleitet wurden,
c plus Epsilon und c minus Epsilon.
Das ist also unsere Epsilonröhre
hier und die Idee ist, dass wir so
nah an Punkt A kommen können, wie
die Funktion unsere Epsilonröhre nicht kaputt macht.
In unserem Fall haben wir uns mit der Idee von Delta hier,
Nachbarschaft des Punktes, das ist
Epsilon Rohr und Delta Rohr schneidet sich in Rechteck und
unsere Funktion liegt vollständig innerhalb des Rechtecks, das schön.
Also das zweite, was wir tun müssen,
ist, unsere Epsilon zu ändern, denn was
wir erreichen wollen, wollen wir die Ideen erreichen, dass wir
dieses Verfahren für alle möglichen Abweichungen tun können
, so dass unsere Definition Rock.
Es ist extrem formell
, aber wir sollten immer mit den formellen Dingen beginnen.
Also für alle Abweichungen,
können wir so nah an unsere Grenzen
Punkt kommen, so dass Funktion nicht
von ihrer verknüpften viel abweicht als zuvor angegeben Division.
So kann es im Grunde
in natürlicher Sprache gelesen werden, das ist in Ordnung.
Aber es gibt hier Bomer,
warum müssen wir schreiben, dass
unser absoluter Wert von x minus a oder
das der Abstand zwischen
willkürlichen Punkt in der Nachbarschaft des
a kleiner ist als
Delta, was im Grunde in seiner Nachbarschaft bedeutet.
Aber was größer ist als 0,
größer als 0 bedeutet tatsächlich
, dass wir nicht als ernennen ein selbst betrachten.
Also im Grunde bedeutet es, dass wir
alle betrachten, wo es eine Funktion als Nachbarschaft gibt,
außer dem Punkt selbst und zweimal es.
Nehmen wir an, dass es einige Feind um
uns herum und dieser Feind kommen an dem Punkt a
in nur beschädigt unsere Funktionen und diente, dass f von
einem zum Beispiel ist nicht,
wie schön einfach blaue Kurve
und Probe als Punkt zum Beispiel dieses.
Denken Sie daran, unsere Definition, gut
Hand winken Definition so, was wir zuvor gesagt haben,
wir haben gesagt, dass die Grenze der Wert ist, der
unsere Funktion in der Nachbarschaft ähnelt.
Da wir dem Grenzpunkt so nahe kommen,
sollen wir in diesem Punkt keine Enden sein.
Wir betrachten nur Funktionen in
der Nachbarschaft davon und
die Nachbarschaftsfunktion
kümmert sich nicht wirklich um den Wert der Funktion an
dem Punkt selbst, also sollten wir
unser x gleich a von
Zirkonen Dauer der Grenze vertreiben, also ist es schwierig.
Manchmal werden Leute
jene Ideen verwenden, die wir brauchen, um eine
als sequenzbasierte Definition für
die Limit-Funktion zu haben, und es ist
erwartbar, weil es auf die folgende Weise schreibt.
Wenn wir eine Sequenz
von Argumenten unserer Funktion x_n annehmen, welcher Ansatz
unser Grenzpunkt n ist, der getan werden kann,
weil a unser Grenzpunkt ist,
dann
sollte die Sequenz von Funktionswerten auf dieser Sequenz von Funktionen hiker Ereignisse
notwendigerweise c nähern, nähern Sie sich ihrer Grenze.
Es schön, weil es
in der gleichen gemeinsamen Satz arbeitet, dass wir bereits
als Grenze
einer Sequenz etabliert worden sind, aber das Problem hier ist, dass
wir über alle möglichen Ansätze
zu dem Punkt ein sprechen,
alle möglichen Sequenzen, die Annäherungen
Punkt eine die alptraumhafte -Objekt.
Man kann sich sogar vorstellen,
wie viel Sequenzen Annäherungen Punkt a.
So wird die erste Definition normalerweise verwendet, um zu
beweisen, dass es eine Grenze gibt
und um sie zu berechnen und die zweite Definition
wird verwendet, um zu beweisen, dass
es keine Grenzen gibt oder dieser Punkt ist nicht wirklich viel.
So hat es verwendet, um ein Fehlen einer Grenze zu beweisen.