[MUSIC]
الآن دعونا ننظر في بعض الأمثلة على إنشاء وظائف يحد من
التعريف الأساسي.
لذلك دعونا نبدأ مع فكرة الحد،
على سبيل المثال، وظيفة x تربيع في بعض النقاط التعسفية أ،
لذلك ما نحن ذاهبون إلى القيام به، ونحن في طريقنا لحساب
الحد من x مربع إذا x يقترب، أليس كذلك؟
لذا أولاً، يمكن للمرء أن يفهم أن هذا الحد يتم حسابه بسهولة من خلال
القواعد الحسابية التي سنقوم بتغطيتها بشكل أكبر في محاضراتنا.
ولكن من أجل المثال، دعونا نحاول فقط العثور عليه من خلال التعريف.
لذلك كما أنشأنا، هناك نوعان من التعريف الأساسي للحد من وظيفة.
واحد يتعلق بالانحرافات على لغة إبسيلون دلتا،
وواحد يتعلق بالتسلسل، كل الحق، وهو أكثر فائدة
لإثبات عدم وجود حد للوظيفة.
لذلك كما يمكن للمرء أن يتصور، الحد من x مربع إذا x
يقترب من a هو مربع، انها بسيطة جدا.
دعونا نحاول إثبات ذلك من خلال أول تعريف لدينا epsilon-دلتا. و
لكي نفعل ذلك, دعونا أولا فقط نعيد النظر فيه بكتابته.
لأي انحراف إيجابي، يمكنك الذهاب أقرب إلى
النقطة التي يأخذ الحد، ولكن ليس بالضبط في هذه المرحلة.
لذا فإن التعريف بين الوظيفة وحدها،
سأستخدم رأس المال A أصغر من العتبة المحددة.
حسنا، كان ذلك وشيكا جدا.
دعونا نستبدل ما لدينا هنا بالفعل.
نحن نعرف ما هي وظيفتنا، انها x مربع، أليس كذلك؟
وما هو حدودنا هنا؟
الحد هو مربع.
لذلك نحن ننظر إلى القيمة المطلقة من س تربيع ناقص مربع.
دعونا نعيد كتابته هنا.
حسنا، ما سنفعله، أولا وقبل كل شيء، سأقوم ببعض الخدعة المدرسية.
وبما أننا ننظر إلى الفرق من المربعات،
ونحن سوف عامل ذلك إلى قوسين،
(س - أ) مضروبا في (س + أ)، لذلك هذا أمر سهل.
الأهم من ذلك، القيمة المطلقة للضرب هي
ضرب القيم المطلقة.
وبالتالي نحصل على أننا نبحث في القيمة المطلقة لـ
(x- a) مضروبة في (x + a).
الجزء الأول هنا، المضاعف الأول هنا هو
لطيف جدا لأنه، من خلال تعريف الحد، من
المفترض أن يحدها 0 من الجانب السفلي والدلتا،
الذي نبحث عنه، من الجانب العلوي، أليس كذلك؟
ولكن ما ينبغي للمرء أن يفعل مع المضاعف الثاني،
لأنه يعتمد على س
حسنا، دعونا مجرد النظر في أن انحرافنا عن النقطة
لا يتجاوز، حسنا، النقطة نفسها.
أو بعبارة أخرى، لا تتجاوز القيمة المطلقة لـ x plus a اثنين.
لذا سنقوم فقط باستخدام عدم المساواة آخر هنا.
سنعتبر أن المضاعف الأول ليس أكثر من دلتا،
الذي نبحث عنه، أليس كذلك؟
هكذا نحن.
والمضاعف الثاني هنا ليس أكبر من 2 القيم المطلقة ل.
نحن ذاهبون لكتابة القيمة المطلقة من هنا, فقط لأننا يمكن أن نفترض
أن الحد هو أيضا يمكن أن تؤخذ في نقطة سلبية هنا لسلبية.
لذلك ما حصلنا عليه هنا، وصلنا هنا أن أساسا انحراف لدينا لا
تتجاوز دلتا مضروبة في 2 القيمة المطلقة للق.
وإذا وجدنا دلتا في هذه الحالة هناك دلتا التعبير مضروبة في
2 القيمة المطلقة ل أصغر من إبسيلون، ثم نحن في الواقع الحصول على
الإجحاف المطلوب لدينا أن الانحراف لا يتجاوز العتبة، أليس كذلك؟.
لذلك من أجل العثور على ذلك، نحن بحاجة فقط إلى كتابة أن
هذا حيث دلتا هو في الواقع إبسيلون مقسوما على 2 قيمة مطلقة ل، أليس كذلك؟
حسنا، بالطبع، يمكن للمرء أن يجادل بأن هذا يؤدي إلى المساواة هنا، أليس كذلك؟
لذلك هذه العلامة هي نوع من المشكوك فيه.
ولكن بما أن العلامة السابقة هي عدم المساواة الصارمة جدا، لذلك
نحن ذاهبون إلى القول أن هذه العلاقة نفسها لا تزال قائمة.
أو يمكنك فقط استبدال دلتا لدينا مع نصف دلتا، إذا كنت حقا ترغب في ذلك.
ولكن هذا لا يزال قائما.
في الأساس نحن فقط أثبتنا أن الحد من x مربع هو مربع
في نقطة التعسفي أ،
لذلك بالنسبة للمثال الثاني هنا، دعونا نفترض فقط أننا نبحث في بعض
الوظائف التي هي مشكلة بشكل واضح في نقطة الحد.
من أجل القيام بذلك, نحن ذاهبون إلى, النظر في الحد
من شرط 1 مقسوما على س إذا س النهج 0.
وسأكتب علامة استفهام كإجابة لنا.
حسنا، لذلك نحن بحاجة للرد على شيئين أساسيين هنا.
هل لها حد؟
وما قيمته إذا كان يفعل؟
حسنا، إذا حاول المرء فقط رسم رسم تخطيطي لهذا الرسم البياني، ما نحن ذاهبون إلى الحصول عليه.
سيكون لدينا، حسنا، أولا، محورين،
وبعد ذلك سيكون لدينا وظيفة تتأرجح.
وبما أننا نقترب، على مقربة من 0،
وبالتالي 1 مقسوما على x هو الاقتراب، أقرب إلى اللانهاية، أليس كذلك؟
وهكذا في الأساس يتحرك من 0 إلى 2 ص، وهو نوع
من روح وظيفة الجيب، أسرع وأسرع، أليس كذلك؟
لذلك ما يجب أن نرسم هنا، يجب أن نرسم هنا وظيفة
تبدأ في التذبذب أسرع وأسرع وأسرع وأسرع.
حسنا، أساسا هذا كابوس، أليس كذلك؟
هل لها حد أم لا؟
سنحاول إثبات أنه لا يستخدم فكرتنا الثانية.
أنه لأي نهج، لأي تسلسل من الحجج التي تقترب
من نقطة الحد لدينا، فإن حد قيم الوظائف يقترب من نفس القيمة،
وهو حد للوظيفة في هذه النقطة بالذات، أليس كذلك؟
لذلك من أجل القيام بذلك، نحن ذاهبون إلى تخيل أساسا اثنين من تسلسل.
أول واحد أنا ذاهب لاستدعاء xm،
وهذا سيكون التسلسل حيث جيب، على سبيل المثال، يساوي 0.
ومن أجل القيام بذلك، ونحن في طريقنا إلى القول أن الحجة مع وظيفة عالية
يجب أن تكون، على سبيل المثال، 2 مضروبا في بي مضروبا في ن،
إذا قمنا بإعادة كتابة هذا في شكل أكثر مباشرة،
xn هو 1 مقسمة 2 بي ن، والتي، دعونا تحقق،
نهج 0 إذا ن نهج إنفينيتي.
وبالتالي فإنه تسلسل صالح للاقتراب من نقطة الحد لدينا،
لدينا x النهج 0، الحق، هذا واحد.
إذن هذا أول واحد لنا.
وبعد ذلك نحن ذاهبون للنظر في بعض تسلسل أرزو من الحجج،
وأنا ذاهب إلى نسميها ين.
حيث وظيفتنا لديها بالفعل، على سبيل المثال،
وظيفة جيبية لدينا لها قيمة 1،
وهي نصف بي زائد 2 مضروبة في بي مضروبة في ن
، مرة أخرى، في شكل مباشر،
هو 1 مقسوما على نصف بي زائد 2 بي ن،
ويقترب 0 منذ نحصل على ثابت مقسوما على وظيفة،
وهو يقترب بالإضافة إلى اللانهاية.
حسنا، هذا جيد.
لذلك أساسا لدينا اثنين من تسلسل.
ثم دعونا نفهم فقط أن جيب
1 مقسوما على xn يساوي 0، وبالتالي يقترب 0.
وجيب 1 مقسوما على yn
يساوي 1، وبالتالي يقترب 1.
وهذه ليست نفس الحدود، وبالتالي فإن الدالة ليس لها حد،
وهناك غياب الحد.
لذلك نحن ذاهبون لكتابة أن هذا الحد غير موجود.
[ موسيقى]