[MUSIK]
Nun lassen Sie uns einige Beispiele für die Erstellung von Funktionen Grenzen grundlegende
Definition betrachten.
Beginnen wir also mit der Idee der Grenze von,
zum Beispiel, Funktion x quadriert in irgendeinem beliebigen Punkt a.
Also, was wir tun werden, werden wir
die Grenze von x quadriert berechnen, wenn x nähert sich a, richtig?
Erstens kann man verstehen, dass diese Grenze tatsächlich leicht durch
arithmetische Regeln berechnet wird, die wir in unseren Vorträgen weiter behandeln werden.
Aber um des Beispiels willen, lassen Sie uns einfach versuchen, es nach der Definition zu finden.
So, wie wir festgestellt haben, gibt es zwei grundlegende Definition der Grenze der Funktion.
Eine über Abweichungen in der Epsilon-Delta-Sprache, und
eine über Sequenzen, in Ordnung, was nützlicher ist, um das
Fehlen der Begrenzung der Funktion zu beweisen.
Wie man sich vorstellen könnte,
ist die Grenze von x quadriert, wenn x sich a nähert, ein Quadrat, es ist ziemlich einfach.
Versuchen wir es mit unserer ersten Epsilon-Delta-Definition zu beweisen.
Um dies zu tun, sollten wir es zunächst einmal notieren, indem wir es aufschreiben.
Für jede positive Abweichung können Sie so nahe an
den Punkt gehen, an dem die Grenze nimmt, aber nicht genau an diesem Punkt.
Also die Definition zwischen Funktion und ihrer Grenze,
ich werde Kapital A verwenden, ist kleiner als etablierte Schwelle.
Okay, das war sehr kurz davor.
Lassen Sie uns ersetzen, was wir hier tatsächlich haben.
Wir wissen, was unsere Funktion ist, es ist x quadriert, oder?
Und was ist unsere Grenze hier?
Limit ist ein Quadrat.
Wir betrachten also den absoluten Wert von x quadriert minus ein Quadrat.
Lassen Sie uns es hier neu schreiben.
Okay, also was wir tun werden, zuerst werde ich einen Schultrick machen.
Da wir uns die Differenz der Quadrate ansehen,
werden wir sie in zwei Klammern einteilen,
(x- a) multipliziert mit (x + a), also ist das einfach.
Noch wichtiger ist, dass der absolute Wert der Multiplikation die
Multiplikation von absoluten Werten ist.
So bekommen wir, dass wir auf den absoluten Wert von
(x- a) multipliziert mit (x + a) suchen.
Der erste Teil hier, der erste Multiplikator hier ist ziemlich
schön, weil er, durch die Definition der Grenze,
soll durch 0 von der unteren Seite und Delta begrenzt werden, nach
dem wir suchen, von der oberen Seite, oder?
Aber was sollte man mit dem zweiten Multiplikator tun,
da er vom x abhängig ist.
Nun, lassen Sie uns einfach bedenken, dass unsere Abweichung vom Punkt a
nicht überschreitet, na ja, der Punkt a selbst.
Oder mit anderen Worten, der absolute Wert von x plus a überschreitet nicht zwei a.
Also werden wir hier einfach eine andere Ungleichheit benutzen.
Wir werden bedenken, dass der erste Multiplikator nicht mehr als Delta ist, nach
dem wir suchen, oder?
Das ist, wie wir.
Und der zweite Multiplikator hier ist nicht größer als 2 absolute Werte von a.
Wir werden den absoluten Wert eines hier schreiben, nur weil wir davon ausgehen können,
dass die Grenze auch im negativen Punkt hier für negative a genommen werden kann.
Also, was wir hier bekommen haben, haben wir hier, dass im Grunde unsere Abweichung
Delta nicht überschreiten multipliziert mit 2 absoluten Wert von a.
Und wenn wir ein Delta gefunden, in welchem Fall gibt es Ausdruck Delta
multipliziert mit 2 absoluten Wert eines ist kleiner als Epsilon, dann bekommen wir tatsächlich
unsere gewünschten Ungleichungen, dass die Abweichung die Schwelle nicht überschreitet, oder?.
Also, um das zu finden, müssen wir nur schreiben, dass
dies, wo Delta tatsächlich Epsilon ist geteilt durch 2 absolute Wert eines, richtig?
Nun, natürlich könnte man argumentieren, dass das hier zur Gleichheit führt, oder?
Also ist dieses Zeichen irgendwie zweifelhaft.
Aber da das vorherige Zeichen ziemlich strenge Ungleichheit ist, so
werden wir sagen, dass gerade diese Beziehung immer noch gilt.
Oder Sie können unser Delta einfach durch ein halbes Delta ersetzen, wenn Sie es wirklich mögen.
Aber das gilt immer noch.
Grundsätzlich haben wir gerade bewiesen, dass unsere Grenze von x quadriert ist ein Quadrat
an beliebiger Stelle a.
Also für das zweite Beispiel hier, lassen Sie uns einfach annehmen, dass wir uns eine
Funktion ansehen, die eindeutig problematisch am Grenzpunkt ist.
Um es zu tun, wir werden, Betrachten Sie die Grenze
des Sinus von 1 geteilt durch x wenn x nähert sich 0.
Und ich werde Fragezeichen als unsere Antwort schreiben.
Okay, also müssen wir hier zwei grundlegende Dinge beantworten.
Hat es ein Limit?
Und was ist sein Wert, wenn es tut?
Also gut, wenn man einfach versucht, eine Skizze dieses Graphen zu zeichnen, was wir haben werden.
Wir werden, nun, zuerst, zwei Achsen haben,
und dann werden wir eine Funktion haben, die oszillierend ist.
Und da wir so nahe kommen, nahe an 0,
so kommt 1 geteilt durch x näher, näher an die Unendlichkeit, richtig?
So bewegt es sich im Grunde von 0 auf 2 p, was irgendwie
der Geist der Sinusfunktion ist, schneller und schneller, oder?
Also, was wir hier zeichnen sollten, sollten wir hier Funktion zeichnen, die
schneller, schneller, schneller und schneller zu oszillieren beginnt.
Okay, im Grunde ist das ein Albtraum, oder?
Hat es also ein Limit oder nicht?
Wir werden versuchen zu beweisen, dass dies nicht der Fall ist, indem wir unsere zweite Idee verwenden.
Dass für jeden Ansatz, für jede Folge von Argumenten,
die sich unserem Grenzpunkt nähern, die Grenze der Werte der Funktionen den gleichen Wert nähert,
was eine Grenze der Funktion an diesem Punkt ist, richtig?
Also, um zu tun, es werden wir uns im Grunde zwei Sequenzen vorstellen.
Zuerst werde ich xm aufrufen, und
dies wird die Sequenz sein, in der Sinus zum Beispiel gleich 0 ist.
Und um es zu tun, werden wir sagen, dass Argument mit hoher Funktion
sein sollte, zum Beispiel, 2 multipliziert mit pi multipliziert mit n.
Wenn wir dies in direkter Form neu schreiben,
ist xn 1 geteilt 2 pi n, die, lassen Sie uns überprüfen,
nähert sich 0, wenn n Annäherung an Unendlichkeit.
Daher ist es eine gültige Sequenz, um unseren Grenzpunkt zu nähern,
unser x nähert sich 0, richtig, dieser.
Das ist also unser erster.
Und dann werden wir eine Arzo-Sequenz von Argumenten betrachten,
ich werde es yn nennen.
In dem unsere Funktion zum Beispiel hat
unsere Sinusfunktion den Wert 1, der
ein halbes Pi plus 2 multipliziert mit pi multipliziert mit n ist.
Wieder einmal, in direkter Form,
ist es 1 geteilt durch ein halbes Pi plus 2 Pi n.
Und es nähert sich 0, da wir eine Konstante erhalten, geteilt durch die Funktion,
das ist es nähert sich plus Unendlichkeit.
Okay, das ist in Ordnung.
Also im Grunde haben wir zwei Sequenzen.
Und dann lassen Sie uns einfach verstehen, dass der Sinus
von 1 geteilt durch xn gleich 0 ist, also nähert sich 0.
Und Sinus von 1 geteilt durch yn
gleich 1, so nähert sich 1.
Und das sind nicht die gleichen Grenzen, daher hat die Funktion kein Limit,
es gibt ein Fehlen von Limit.
Wir werden also schreiben, dass diese Grenze nicht existiert.
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