[MÚSICA]
Ahora consideremos algunos ejemplos de la creación de funciones limita
la definición básica.
Así que vamos a empezar con la idea del límite de,
por ejemplo, la función x al cuadrado en algún punto arbitrario a.
Entonces, lo que vamos a hacer, vamos a calcular
el límite de x al cuadrado si x se acerca a, ¿verdad?
Así que en primer lugar, uno puede entender que este límite se calcula fácilmente mediante
reglas aritméticas que vamos a cubrir más en nuestras conferencias.
Pero por el bien del ejemplo, intentemos encontrarlo por la definición.
Así que como establecimos, hay dos definición básica del límite de la función.
Una relativa a las desviaciones en el lenguaje épsilon-delta, y
otra relativa a las secuencias, está bien, que es más útil para
demostrar la ausencia del límite de la función.
Entonces, como uno podría imaginar, el límite de x cuadrado si x se
aproxima a a es un cuadrado, es bastante simple.
Intentemos probarlo por nuestra primera definición de épsilon-delta.
Para hacerlo, primero vamos a volver a examinarlo escribiéndolo.
Para cualquier desviación positiva, puede acercarse lo más
al punto donde está tomando el límite, pero no exactamente en este punto.
Entonces, la definición entre la función y su límite,
voy a usar A mayúscula es menor que el umbral establecido.
Vale, eso fue muy inminente.
Sustituyamos lo que realmente tenemos aquí.
Sabemos cuál es nuestra función, es x cuadrado, ¿verdad?
¿ Y cuál es nuestro límite aquí?
Límite es un cuadrado.
Así que estamos viendo el valor absoluto de x cuadrado menos un cuadrado.
Vamos a reescribirlo aquí.
Bien, entonces lo que vamos a hacer, primero que nada, voy a hacer un truco de la escuela.
Dado que estamos viendo la diferencia de los cuadrados, la
factorizaremos en dos corchetes,
(x- a) multiplicado por (x + a), por lo que es fácil.
Más importante aún, el valor absoluto de la multiplicación es la
multiplicación de valores absolutos.
Por lo tanto, obtenemos que estamos mirando el valor absoluto de
(x- a) multiplicado por (x + a).
La primera parte aquí, el primer multiplicador aquí es bastante
bueno porque, por la definición del límite,
se supone que está delimitado por 0 desde el lado inferior y delta,
que estamos buscando, desde el lado superior, ¿verdad?
Pero lo que uno debe hacer con el segundo multiplicador,
ya que es dependiente de la x.
Bueno, vamos a considerar que nuestra desviación del punto a
no excede, bueno, el punto a sí mismo.
O en otras palabras, el valor absoluto de x más a no exceda de dos a.
Así que vamos a usar otra desigualdad aquí.
Vamos a considerar que el primer multiplicador no es más que delta,
que estamos buscando, ¿verdad?
Así es como nosotros.
Y el segundo multiplicador aquí no es mayor que 2 valores absolutos de una.
Vamos a escribir el valor absoluto de un aquí, sólo porque podemos suponer
que el límite es también se puede tomar en punto negativo aquí para negativos a.
Así que lo que tenemos aquí, llegamos aquí que básicamente nuestra desviación no
excede delta multiplicado por 2 valor absoluto de A.
Y si encontramos un delta en cuyo caso hay expresión delta multiplicado
por 2 valor absoluto de a es menor que epsilon, entonces realmente obtenemos
nuestras inequaciones deseadas de que la desviación no exceda el umbral, ¿verdad?
Así que con el fin de encontrar eso, sólo tenemos que escribir que
esto donde delta es realmente epsilon dividido por 2 valor absoluto de a, ¿verdad?
Bueno, por supuesto, uno podría argumentar que esto resulta en la igualdad aquí, ¿verdad?
Así que este signo es un poco dudoso.
Pero dado que el signo anterior es bastante estricta desigualdad, por lo que
vamos a decir que esta misma relación todavía se mantiene.
O puedes simplemente sustituir nuestro delta con la mitad de un delta, si realmente te gusta.
Pero eso sigue vigente.
Básicamente, acabamos de demostrar que nuestro límite de x cuadrado es un cuadrado
en
el punto a arbitrario. Así que para el segundo ejemplo aquí, supongamos que estamos viendo alguna
función que es claramente problemática en el punto límite.
Con el fin de hacerlo, vamos a, Considere el límite
del seno de 1 dividido por x si x se acerca a 0.
Y voy a escribir el signo de interrogación como nuestra respuesta.
Bien, entonces tenemos que responder dos cosas básicas aquí.
¿ Tiene un límite?
¿ Y cuál es su valor si lo hace?
Tan bien, si uno sólo intenta dibujar un boceto de este gráfico, lo que vamos a tener.
Vamos a tener, bueno, primero, dos ejes,
y luego vamos a tener una función que está oscilando.
Y ya que nos estamos acercando, cerca de 0, por
lo tanto 1 dividido por x se está acercando, más cerca del infinito, ¿verdad?
Por lo tanto, básicamente se mueve de 0 a 2 p, que es una especie de
espíritu de la función sinusoidal, más rápido y más rápido, ¿verdad?
Así que lo que debemos dibujar aquí, debemos dibujar aquí la función que
comienza a oscilar más rápido, más rápido, más rápido y más rápido.
Bueno, básicamente eso es una pesadilla, ¿verdad?
Entonces, ¿tiene un límite o no?
Vamos a tratar de demostrar que no lo hace utilizando nuestra segunda idea.
Que para cualquier enfoque, para cualquier secuencia de argumentos que se acerquen a nuestro punto límite,
el límite de los valores de las funciones se acercará al mismo valor,
que es un límite de la función en este mismo punto, ¿verdad?
Así que para hacerlo, vamos a imaginar básicamente dos secuencias.
Primero llamaré a xm, y
esta será la secuencia donde seno, por ejemplo, es igual a 0.
Y para hacerlo, vamos a decir que el argumento con alta función
debe ser, por ejemplo, 2 multiplicado por pi multiplicado por n.
Si reescribimos esto en forma más directa,
xn es 1 dividido 2 pi n, que, vamos a comprobar, se
acerca a 0 si n se acerca al Infinito.
Por lo tanto, es una secuencia válida acercarse a nuestro punto límite,
nuestra x se aproxima a 0, derecha, este.
Así que ésa es nuestra primera.
Y luego vamos a considerar alguna secuencia arzo de argumentos,
voy a llamarlo yn.
En la que nuestra función realmente tiene, por ejemplo,
nuestra función sinusoidal tiene el valor 1,
que es medio pi más 2 multiplicado por pi multiplicado por n.
Una vez más, en forma directa,
es 1 dividido por medio pi más 2 pi n.
Y se acerca a 0 ya que obtenemos una constante dividida por la función,
que es que se acerca más el infinito.
Está bien, está bien.
Así que básicamente tenemos dos secuencias.
Y entonces vamos a entender que el seno
de 1 dividido por xn es igual a 0, por lo tanto se acerca a 0.
Y el seno de 1 dividido por yn es igual
a 1, por lo tanto se acerca a 1.
Y esto no es los mismos límites, por lo tanto, la función no tiene un límite,
hay una ausencia de límite.
Así que vamos a escribir que este límite no existe.
[ MÚSICA]