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Considérons maintenant quelques exemples de la création de fonctions limite la
définition de base.
Donc, commençons par l'idée de la limite de
, par exemple, la fonction x au carré dans un point a.
Donc, ce que nous allons faire, nous allons calculer
la limite de x carré si x approche a, non ?
Donc, tout d'abord, on peut comprendre que cette limite est en fait facilement calculée par des
règles arithmétiques que nous allons aborder plus loin dans nos conférences.
Mais pour l'exemple, essayons simplement de le trouver par définition.
Ainsi, comme nous l'avons établi, il y a deux définitions de base de la limite de la fonction.
L' une concernant les déviations sur le langage epsilon-delta, et l'
autre concernant les séquences, d'accord, ce qui est plus utile pour
prouver l'absence de la limite de la fonction.
Donc, comme on pourrait l'imaginer, la limite de x carré si x
approche a est un carré, c'est assez simple.
Essayons de le prouver par notre première définition epsilon-delta.
Pour ce faire, commençons par le revoir en le notant.
Pour toute déviation positive, vous pouvez aller aussi près
du point où la limite prend, mais pas exactement à ce stade.
Donc, la définition entre la fonction et sa limite,
je vais utiliser le capital A est plus petite que le seuil établi.
Ok, c'était très imminent.
Substituons ce que nous avons en fait ici.
Nous savons quelle est notre fonction, c'est x carré, non ?
Et quelle est notre limite ici ?
Limite est un carré.
Donc, nous regardons la valeur absolue de x carré moins un carré.
Laissez-nous le réécrire ici.
Ok, donc ce qu'on va faire, tout d'abord, je vais faire un truc à l'école.
Puisque nous regardons la différence des carrés,
nous allons la facturer en deux crochets,
(x- a) multiplié par (x + a), donc c'est facile.
Plus important encore, la valeur absolue de la multiplication est la
multiplication des valeurs absolues.
Ainsi, nous obtenons que nous regardons la valeur absolue de
(x- a) multipliée par (x + a).
La première partie ici, le premier multiplicateur ici est assez
sympa parce qu'il est, par définition de la limite,
censé être limité par 0 du côté inférieur et delta,
que nous recherchons, du côté supérieur, non ?
Mais ce qu'il faut faire avec le deuxième multiplicateur,
car il dépend du x.
Eh bien, considérons simplement que notre déviation du point a ne
dépasse pas, eh bien, le point a lui-même.
Ou en d'autres termes, la valeur absolue de x plus a ne dépasse pas deux a.
Donc nous allons utiliser une autre inégalité ici.
Nous allons considérer que le premier multiplicateur n'est rien de plus que delta,
que nous recherchons, n'est-ce pas ?
C' est comme ça que nous.
Et le deuxième multiplicateur ici n'est pas supérieur à 2 valeurs absolues d'un.
Nous allons écrire la valeur absolue d'un ici, juste parce que nous pouvons supposer
que la limite est également peut être prise en point négatif ici pour des a. négatifs.
Donc, ce que nous avons ici, nous sommes arrivés ici que fondamentalement notre écart ne
dépasse pas delta multiplié par 2 valeur absolue de a.
Et si nous avons trouvé un delta dans ce cas il y a l'expression delta multipliée
par 2 valeur absolue de a est plus petite que epsilon, alors nous obtenons réellement
nos inéquations désirées que l'écart ne dépasse pas le seuil, non ?
Donc, pour trouver cela, nous avons juste besoin d'écrire que
ceci où delta est en fait epsilon divisé par 2 valeur absolue d'un, n'est-ce pas ?
Bien sûr, on pourrait argumenter que cela aboutit à l'égalité ici, non ?
Donc ce signe est un peu douteux.
Mais puisque le signe précédent est une inégalité assez stricte,
nous allons donc dire que cette relation même tient toujours.
Ou vous pouvez simplement remplacer notre delta par la moitié d'un delta, si vous l'aimez vraiment.
Mais ça tient toujours.
Fondamentalement, nous avons juste prouvé que notre limite de x carré est
un carré au point a.
Donc, pour le deuxième exemple ici, supposons simplement que nous examinons une
fonction qui est clairement problématique au point limite.
Pour le faire, nous allons, Considérez la limite
du sinus de 1 divisé par x si x approche 0.
Et je vais écrire un point d'interrogation comme réponse.
Ok, donc nous devons répondre à deux choses de base ici.
A-t-il une limite ?
Et quelle est sa valeur si elle le fait ?
Donc bien, si on essaie juste de dessiner un croquis de ce graphique, ce que nous allons avoir.
Nous allons avoir, eh bien, d'abord, deux axes,
et ensuite nous allons avoir une fonction qui oscille.
Et puisque nous sommes aussi proches, près de 0,
donc 1 divisé par x se rapproche, plus près de l'infini, non ?
Ainsi, fondamentalement, il se déplace de 0 à 2 p, ce qui est une sorte de
l'esprit de la fonction sinusoïdale, plus rapide et plus rapide, non ?
Donc, ce que nous devrions dessiner ici, nous devrions dessiner ici fonction qui
commence à osciller plus vite, plus vite, plus vite et plus vite.
Ok, en gros c'est un cauchemar, non ?
Est-ce qu'il a une limite ou pas ?
Nous allons essayer de prouver que ce n'est pas le cas en utilisant notre deuxième idée.
Que pour toute approche, pour toute séquence d'arguments qui approchent notre point limite,
la limite des valeurs des fonctions s'approchera de la même valeur, ce
qui est une limite de la fonction à ce stade même, n'est-ce pas ?
Donc pour le faire, nous allons imaginer deux séquences.
D' abord, je vais appeler xm, et
ce sera la séquence où sinus, par exemple, égal à 0.
Et pour le faire, nous allons dire que l'argument avec une fonction élevée
devrait être, par exemple, 2 multiplié par pi multiplié par n.
Si nous réécrivons ceci sous une forme plus directe,
xn est 1 divisé 2 pi n, qui, vérifions,
approche 0 si n approche Infinity.
C' est donc une séquence valide pour approcher notre point limite,
notre x approche 0, à droite, celui-ci.
Donc c'est notre premier.
Et puis nous allons considérer une série d'arguments arzo,
je vais l'appeler yn.
Dans lequel notre fonction a réellement, par exemple,
notre fonction sinusoïdale a la valeur 1,
qui est un demi pi plus 2 multiplié par pi multiplié par n.
Une fois de plus, sous forme directe,
il est 1 divisé par un demi pi plus 2 pi n.
Et il approche 0 puisque nous obtenons une constante divisée par la fonction,
qui est qu'il approche plus l'infini.
Ok, c'est bon.
Donc, fondamentalement, nous avons deux séquences.
Et puis comprenons simplement que le sinus
de 1 divisé par xn est égal à 0, approche donc 0.
Et le sinus de 1 divisé par yn est égal
à 1, donc approche 1.
Et ce n'est pas les mêmes limites, donc la fonction n'a pas de limite,
il y a une absence de limite.
Nous allons donc écrire que cette limite n'existe pas.
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