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Ora consideriamo alcuni esempi della creazione di funzioni limiti
definizione di base.
Quindi iniziamo con l'idea del limite di,
per esempio, la funzione x al quadrato in qualche punto arbitrario a.
Quindi quello che stiamo per fare, stiamo andando a calcolare
il limite di x al quadrato se x si avvicina a, giusto?
Quindi, in primo luogo, si può capire che questo limite è effettivamente facilmente calcolato dalle
regole aritmetiche che copriremo ulteriormente nelle nostre lezioni.
Ma per il bene dell'esempio, cerchiamo solo di trovarlo secondo la definizione.
Quindi, come abbiamo stabilito, ci sono due definizioni di base del limite della funzione.
Una riguardante le deviazioni sul linguaggio epsilon-delta, e
una relativa alle sequenze, va bene, che è più utile per
dimostrare l'assenza del limite della funzione.
Quindi, come si potrebbe immaginare, il limite di x al quadrato se x
si avvicina a è un quadrato, è piuttosto semplice.
Proviamo a dimostrarlo con la nostra prima definizione di epsilon-delta.
Per farlo, prima di tutto dobbiamo solo rivisitarlo scrivendolo.
Per qualsiasi deviazione positiva, puoi andare
il più vicino al punto in cui il limite sta prendendo, ma non esattamente a questo punto.
Quindi la definizione tra funzione e il suo limite,
ho intenzione di utilizzare A maiuscola è più piccola della soglia stabilita.
Ok, e' stato molto imminente.
Sostituiamo ciò che abbiamo qui.
Sappiamo qual è la nostra funzione, è x al quadrato, giusto?
E qual è il nostro limite qui?
Limite è un quadrato.
Quindi stiamo guardando il valore assoluto di x al quadrato meno un quadrato.
Riscriviamo qui.
Ok, allora quello che faremo, prima di tutto, faro' qualche trucco scolastico.
Dal momento che stiamo guardando la differenza dei quadrati,
lo considereremo in due parentesi,
(x- a) moltiplicato per (x+ a), quindi è facile.
Ancora più importante, il valore assoluto della moltiplicazione è
moltiplicazione di valori assoluti.
Così otteniamo che stiamo guardando al valore assoluto di
(x- a) moltiplicato per (x + a).
La prima parte qui, il primo moltiplicatore qui è abbastanza
bello perché è, secondo la definizione del limite,
dovrebbe essere delimitato da 0 dal lato inferiore e delta,
che stiamo cercando, dal lato superiore, giusto?
Ma cosa si dovrebbe fare con il secondo moltiplicatore,
poiché dipende dalla x.
Bene, consideriamo solo che la nostra deviazione dal punto a
non supera, beh, il punto a se stesso.
O in altre parole, il valore assoluto di x più a non supera due a.
Quindi useremo un'altra disuguaglianza qui.
Considereremo che il primo moltiplicatore non è altro che delta,
che stiamo cercando, giusto?
E' cosi' che noi.
E il secondo moltiplicatore qui non è maggiore di 2 valori assoluti di a.
Stiamo andando a scrivere valore assoluto di un qui, solo perché possiamo supporre
che il limite è anche può essere preso in punto negativo qui per negativo a.
Quindi quello che abbiamo qui, abbiamo ottenuto qui che fondamentalmente la nostra deviazione non
supera delta moltiplicato per 2 valore assoluto di a.
E se abbiamo trovato un delta nel qual caso c'è espressione delta
moltiplicato per 2 valore assoluto di a è più piccolo di epsilon, allora in realtà otteniamo le
nostre iniquazioni desiderate che la deviazione non superi la soglia, giusto?.
Quindi, per trovarlo, abbiamo solo bisogno di scrivere che
questo dove delta è in realtà epsilon diviso per 2 valore assoluto di a, giusto?
Beh, certo, si potrebbe sostenere che questo si traduce in uguaglianza qui, giusto?
Quindi questo segno è un po 'dubbioso.
Ma dal momento che il segno precedente è piuttosto rigorosa disuguaglianza, quindi
stiamo per dire che questa stessa relazione vale ancora.
Oppure puoi semplicemente sostituire il nostro delta con la metà di un delta, se ti piace davvero.
Ma questo vale ancora.
Fondamentalmente abbiamo appena dimostrato che il nostro limite di x
al quadrato è un quadrato al punto arbitrario a.
Quindi, per il secondo esempio qui, supponiamo che stiamo guardando una
funzione che è chiaramente problematica al punto limite.
Per farlo, ci accingiamo a, Consideriamo il limite
del seno di 1 diviso per x se x si avvicina a 0.
E scriverò il punto interrogativo come risposta.
Ok, dobbiamo rispondere a due cose fondamentali.
Ha un limite?
E qual è il suo valore se lo fa?
Così bene, se si tenta solo di disegnare uno schizzo di questo grafico, quello che stiamo per avere.
Avremo, beh, prima, due assi,
e poi avremo una funzione che oscilla.
E dal momento che ci stiamo avvicinando, vicino a 0,
quindi 1 diviso per x si sta avvicinando, più vicino all'infinito, giusto?
Quindi fondamentalmente si sposta da 0 a 2 p, che è una specie di
spirito della funzione sinusoidale, più veloce e veloce, giusto?
Quindi quello che dovremmo disegnare qui, dovremmo disegnare qui funzione che
inizia a oscillare più velocemente, più veloce, più veloce e più veloce.
Ok, in pratica e' un incubo, giusto?
Quindi ha un limite o no?
Cercheremo di dimostrare che non lo fa usando la nostra seconda idea.
Che per qualsiasi approccio, per qualsiasi sequenza di argomenti che si avvicinano al nostro punto
limite, il limite dei valori delle funzioni si avvicinerà allo stesso valore,
che è un limite della funzione in questo punto, giusto?
Quindi, per fare, stiamo andando a immaginare fondamentalmente due sequenze.
Il primo che chiamerò xm, e
questa sarà la sequenza in cui seno, per esempio, è uguale a 0.
E per farlo, diremo che argomento con alta funzione
dovrebbe essere, per esempio, 2 moltiplicato per pi moltiplicato per n.
Se riscriviamo questo in forma più diretta,
xn è 1 diviso 2 pi n, che, controlliamo, si
avvicina 0 se n si avvicina all'Infinito.
Quindi è una sequenza valida per avvicinarsi al nostro punto limite,
il nostro x si avvicina 0, giusto, questo.
Quindi questo e' il nostro primo.
E poi prenderemo in considerazione una sequenza di argomenti arzo,
lo chiamerò yn.
In cui la nostra funzione ha effettivamente, per esempio, la
nostra funzione sinusoidale ha il valore 1,
che è mezzo pi più 2 moltiplicato per pi moltiplicato per n.
Ancora una volta, in forma diretta,
è 1 diviso per mezzo pi più 2 pi n.
E si avvicina a 0 poiché otteniamo una costante divisa per la funzione,
che è si avvicina più l'infinito.
Ok, va bene cosi'.
Quindi fondamentalmente abbiamo due sequenze.
E poi cerchiamo di capire che il seno
di 1 diviso per xn è uguale a 0, quindi si avvicina a 0.
E seno di 1 diviso per yn è uguale
a 1, quindi si avvicina 1.
E questo non è gli stessi limiti, quindi la funzione non ha un limite,
c'è un'assenza di limite.
Quindi scriveremo che questo limite non esiste.
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