[MÚSICA]
Agora vamos considerar alguns exemplos da criação de funções limita a
definição básica.
Então vamos começar com a idéia do limite de,
por exemplo, função x ao quadrado em algum ponto arbitrário a.
Então o que vamos fazer, vamos calcular
o limite de x ao quadrado se x se aproximar de um, certo?
Então, em primeiro lugar, pode-se entender que este limite é realmente facilmente calculado por
regras aritméticas que vamos cobrir ainda mais em nossas palestras.
Mas, para o bem do exemplo, vamos apenas tentar encontrá-lo pela definição.
Então, como estabelecemos, há duas definição básica do limite da função.
Um sobre desvios na linguagem epsilon-delta, e
outro sobre sequências, tudo bem, o que é mais útil para
provar a ausência do limite da função.
Então, como se pode imaginar, o limite de x ao quadrado se x se
aproxima de a é um quadrado, é bastante simples.
Vamos tentar provar isso pela nossa primeira definição de épsilon-delta.
Para o fazer, primeiro vamos apenas revisitá-lo, anotando-o.
Para qualquer desvio positivo, você pode ir o mais próximo
do ponto em que o limite está tomando, mas não exatamente neste ponto.
Assim, a definição entre a função e seu limite,
eu vou usar a maiúscula A é menor do que o limiar estabelecido.
Certo, isso foi muito iminente.
Vamos substituir o que realmente temos aqui.
Sabemos qual é a nossa função, é x ao quadrado, certo?
E qual é o nosso limite aqui?
Limite é um quadrado.
Então estamos olhando para o valor absoluto de x ao quadrado menos um quadrado.
Vamos reescrevê-lo aqui.
Ok, então o que vamos fazer, primeiro que tudo, eu vou fazer um truque escolar.
Uma vez que estamos olhando para a diferença dos quadrados,
vamos fatorá-lo em dois colchetes,
(x- a) multiplicado por (x + a), então isso é fácil.
Mais importante ainda, o valor absoluto da multiplicação é a
multiplicação de valores absolutos.
Assim obtemos que estamos olhando para o valor absoluto de
(x- a) multiplicado por (x + a).
A primeira parte aqui, o primeiro multiplicador aqui é muito
bom porque é, pela definição do limite,
suposto ser delimitado por 0 do lado inferior e delta,
que estamos procurando, do lado superior, certo?
Mas o que se deve fazer com o segundo multiplicador, uma
vez que é dependente do x.
bem, vamos considerar que o nosso desvio do ponto a
não excede, bem, o ponto a si mesmo.
Ou, em outras palavras, o valor absoluto de x mais a não excede dois a.
Então vamos usar outra desigualdade aqui.
Vamos considerar que o primeiro multiplicador não é mais do que delta,
o que estamos procurando, certo?
É assim que nós.
E o segundo multiplicador aqui não é maior do que 2 valores absolutos de a.
Nós estamos indo para escrever o valor absoluto de um aqui, só porque podemos supor
que o limite é também pode ser tomado em ponto negativo aqui para negativos a.
Então o que temos aqui, nós temos aqui que basicamente nosso desvio não
excede delta multiplicado por 2 valor absoluto de A's.
E se encontrarmos um delta nesse caso há expressão delta multiplicada
por 2 valor absoluto de a é menor que epsilon, então nós realmente obter
nossas desigualdades desejadas de que o desvio não excede o limiar, certo?
Então, a fim de descobrir isso, nós só precisamos escrever que
isso onde delta é realmente epsilon dividido por 2 valor absoluto de a, certo?
Bem, é claro, pode-se argumentar que isso resulta na igualdade aqui, certo?
Então este sinal é meio duvidoso.
Mas como o sinal anterior é uma desigualdade bastante rigorosa, então
vamos dizer que essa mesma relação ainda se mantém.
Ou você pode apenas substituir nosso delta por metade de um delta, se você realmente gosta.
Mas isso ainda se mantém.
Basicamente nós apenas provamos que nosso limite de x ao quadrado é um quadrado
no ponto arbitrário a.
Então, para o segundo exemplo aqui, vamos apenas supor que estamos olhando para alguma
função que é claramente problemática no ponto limite.
A fim de fazê-lo, nós estamos indo para, Considere o limite
do seno de 1 dividido por x se x se aproxima de 0.
E eu vou escrever ponto de interrogação como nossa resposta.
Certo, então precisamos responder duas coisas básicas aqui.
Tem um limite?
E qual é o seu valor se isso acontecer?
Tão bem, se tentarmos desenhar um esboço deste gráfico, o que vamos ter.
Nós vamos ter, bem, primeiro, dois eixos,
e então nós vamos ter uma função que está oscilando.
E uma vez que estamos chegando tão perto, perto de 0,
assim 1 dividido por x está ficando mais perto, mais perto do infinito, certo?
Assim, basicamente, ele se move de 0 a 2 p, que é uma espécie de
espírito da função senoidal, mais rápido e rápido, certo?
Então o que devemos desenhar aqui, devemos desenhar aqui função que
começa a oscilar mais rápido, mais rápido, mais rápido e mais rápido.
Basicamente, isso é um pesadelo, certo?
Então, tem um limite ou não?
Vamos tentar provar que isso não acontece usando a nossa segunda ideia.
Que para qualquer abordagem, para qualquer sequência de argumentos que se aproximem
do nosso ponto limite, o limite dos valores das funções se aproximará do mesmo valor,
que é um limite da função neste exato momento, certo?
Então, para fazer, vamos imaginar basicamente duas sequências.
Primeiro eu vou chamar xm, e
esta será a sequência onde seno, por exemplo, é igual a 0.
E, a fim de fazê-lo, vamos dizer que o argumento com alta função
deve ser, por exemplo, 2 multiplicado por pi multiplicado por n.
Se reescrevermos isso em forma mais direta,
xn é 1 dividido 2 pi n, que, vamos verificar, se aproxima de
0 se n se aproxima do Infinito.
Assim, é uma sequência válida para se aproximar do nosso ponto limite,
nosso x se aproxima de 0, certo, este.
Então esse é o nosso primeiro.
E então vamos considerar uma sequência arzo de argumentos,
eu vou chamá-la yn.
Em que nossa função realmente tem, por exemplo,
nossa função senoidal tem valor 1,
que é metade de um pi mais 2 multiplicado por pi multiplicado por n.
Mais uma vez, em forma direta,
é 1 dividido por metade de um pi mais 2 pi n.
E se aproxima de 0 desde que obtemos uma constante dividida pela função,
que é que ele se aproxima mais infinito.
Ok, tudo bem.
Então, basicamente, temos duas sequências.
E então vamos apenas entender que o seno
de 1 dividido por xn é igual a 0, assim se aproxima de 0.
E seno de 1 dividido por yn é igual
a 1, assim se aproxima de 1.
E estes não são os mesmos limites, portanto a função não tem um limite,
há uma ausência de limite.
Então vamos escrever que esse limite não existe.
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