[МУЗЫКА]
Теперь рассмотрим несколько примеров создания функций пределов базового
определения.
Итак, давайте начнем с идеи предела,
например, функции x в квадрате в некоторой произвольной точке a.
Итак, что мы собираемся сделать, мы собираемся вычислить
предел x квадрат, если х приближается a, правильно?
Итак, во-первых, можно понять, что этот предел на самом деле легко рассчитан по
арифметическим правилам, которые мы будем освещать дальше в наших лекциях.
Но ради примера, давайте просто попробуем найти его по определению.
Таким образом, как мы установили, существует два основных определения предела функции.
Один касается отклонений на эпсилон-дельте языка, а
другой - последовательностей, все в порядке, что более полезно для
доказательства отсутствия предела функции.
Так что, как можно было себе представить, предел x в квадрате, если x
приближается к a, является квадратом, это довольно просто.
Давайте попробуем доказать это нашим первым определением эпсилон-дельта.
Для того, чтобы сделать это, сначала давайте просто пересмотрим его, записав его.
При любом положительном отклонении вы можете подойти как можно ближе
к точке, где проходит предел, но не совсем в этой точке.
Таким образом, определение между функцией и ее пределом,
я собираюсь использовать капитал A меньше установленного порога.
Ладно, это было очень неминуемо.
Давайте заменим то, что у нас на самом деле есть.
Мы знаем, какова наша функция, это х в квадрате, верно?
И каков наш предел здесь?
Предел равен квадрату.
Таким образом, мы смотрим на абсолютное значение х в квадрате минус квадрат.
Давайте перепишем его здесь.
Ладно, то, что мы собираемся сделать, во-первых, я собираюсь сделать какой-то школьный трюк.
Поскольку мы рассматриваем разницу квадратов,
мы будем учитывать ее в двух скобках,
(x- a) умноженное на (x + a), так что это легко.
Что более важно, абсолютным значением умножения является
умножение абсолютных значений.
Таким образом, мы получаем, что мы смотрим на абсолютное значение
(x- a) умноженное на (x + a).
Первая часть здесь, первый множитель здесь довольно
хорош, потому что он, по определению предела,
должен быть ограничен 0 от нижней стороны и
дельты, которые мы ищем, с верхней стороны, верно?
Но что делать со вторым множителем,
так как он зависит от x.
Ну, давайте просто рассмотрим, что наше отклонение от точки a
не превышает, ну, точку a сама.
Другими словами, абсолютное значение x плюс a не превышает двух а.
Так что мы просто используем другое неравенство здесь.
Мы будем считать, что первый множитель — это не больше дельты,
которую мы ищем, не так ли?
Вот как мы.
И второй множитель здесь не больше, чем 2 абсолютных значений a.
Мы собираемся написать абсолютное значение a здесь, только потому, что мы можем предположить,
что предел также может быть принят в отрицательной точке здесь для отрицательных a.
Итак, то, что мы получили здесь, мы получили здесь, что в основном наше отклонение не
превышает дельту, умноженную на 2 абсолютное значение a's.
И если мы нашли дельту, в этом случае есть выражение дельта,
умноженное на 2 абсолютное значение a меньше эпсилон, то мы на самом деле
получаем желаемое неравенство, что отклонение не превышает порога, верно?
Итак, чтобы найти это, нам просто нужно написать, что
здесь дельта на самом деле эпсилон, разделенный на 2 абсолютного значения a, верно?
Ну, конечно, можно утверждать, что это приводит к равенству здесь, так?
Так что этот знак сомнительно.
Но так как предыдущий знак довольно строгое неравенство, так что
мы собираемся сказать, что это самое отношение до сих пор сохраняется.
Или вы можете просто заменить нашу дельту на половину дельты, если вам это действительно нравится.
Но это все еще держится.
В основном мы просто доказали, что наш предел x квадрат является квадратом
в произвольной точке a.
Так что для второго примера здесь, давайте просто предположим, что мы смотрим на какую-то
функцию, которая явно проблематична в предельной точке.
Для того, чтобы сделать это, мы собираемся, Рассмотрим предел
синуса 1 деленный на х, если х приближается к 0.
И я собираюсь написать вопросительный знак в качестве нашего ответа.
Итак, нам нужно ответить на две основные вещи.
У него есть лимит?
И какова его ценность, если это так?
Итак, если просто попытаться нарисовать эскиз этого графика, то, что мы будем иметь.
Сначала у нас будет две оси,
а потом у нас будет функция, которая колеблется.
И так как мы приближаемся к 0,
таким образом 1, разделенный на x, становится ближе, ближе к бесконечности, верно?
Таким образом, в основном он движется от 0 до 2 p, что является своего
рода духом синусоидальной функции, быстрее и быстрее, верно?
Так что мы должны рисовать здесь, мы должны рисовать здесь функцию, которая
начинает колебаться быстрее, быстрее, быстрее и быстрее.
Ладно, в основном это кошмар, верно?
Так у него есть предел или нет?
Мы попытаемся доказать, что это не так, используя нашу вторую идею.
Что для любого подхода, для любой последовательности аргументов, которые приближаются к нашей
предельной точке, предел значений функций будет приближаться ко всем одинаковому значению,
которое является пределом функции в этот самый момент, верно?
Так что для того, чтобы сделать, мы собираемся представить в основном две последовательности.
Первый я собираюсь вызвать xm, и
это будет последовательность, где синус, например, равен 0.
И для этого мы скажем, что аргумент с высокой функцией
должен быть, например, 2 умножен на pi умножен на n.
Если переписать это в более прямой форме,
xn будет 1 разделен 2 pi n, который, проверим,
приближается к 0, если n приближается к Бесконечности.
Таким образом, это допустимая последовательность, чтобы приблизиться к нашей предельной точке,
наш х приближается к 0, правильно, этот.
Так что это наш первый.
И тогда мы рассмотрим некоторую последовательность аргументов arzo,
я назову это yn.
В котором наша функция фактически имеет, например,
наша синусоидальная функция имеет значение 1,
которое составляет половину пи плюс 2 умноженное на пи умноженное на n.
Еще раз, в прямой форме,
она 1 делится на половину пи плюс 2 пи n.
И она приближается к 0, так как мы получаем константу, разделенную на функцию,
который он приближается плюс бесконечность.
Ладно, это нормально.
Так что в основном у нас есть две последовательности.
И тогда давайте просто поймем, что синус
1, деленный на xn, равен 0, таким образом приближается к 0.
А синус 1, деленный на yn, равен
1, таким образом приближается к 1.
И это не те же пределы, поэтому функция не имеет предела,
есть отсутствие предела.
Так что мы собираемся написать, что этого предела не существует.
[ МУЗЫКА]