[MUSIC]
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về việc tạo ra các hàm giới hạn
định nghĩa cơ bản.
Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu với ý tưởng về giới hạn của
, ví dụ, hàm x bình phương trong một số điểm tùy ý a
Vì vậy, những gì chúng ta sẽ làm, chúng ta sẽ tính toán
giới hạn của x bình phương nếu x tiếp cận một, phải không?
Vì vậy, trước tiên, người ta có thể hiểu rằng giới hạn này thực sự dễ dàng được tính
toán bởi các quy tắc số học mà chúng ta sẽ đề cập thêm trong bài giảng của chúng tôi.
Nhưng vì lợi ích của ví dụ, chúng ta hãy cố gắng tìm nó theo định nghĩa.
Vì vậy, như chúng ta thiết lập, có hai định nghĩa cơ bản về giới hạn của hàm.
Một liên quan đến sai lệch về ngôn ngữ epsilon-delta, và
một liên quan đến trình tự, tất cả các quyền, đó là hữu ích hơn cho
việc chứng minh sự vắng mặt của giới hạn của chức năng.
Vì vậy, như người ta có thể tưởng tượng, giới hạn của x bình phương nếu x
tiếp cận a là bình phương, nó khá đơn giản.
Hãy thử chứng minh điều đó bằng định nghĩa epsilon-delta đầu tiên của chúng ta.
Để làm như vậy, trước tiên chúng ta hãy xem lại nó bằng cách viết nó xuống.
Đối với bất kỳ độ lệch dương nào, bạn có thể đi gần đến
điểm mà giới hạn đang thực hiện, nhưng không chính xác tại thời điểm này.
Vì vậy, định nghĩa giữa hàm và giới hạn của nó,
tôi sẽ sử dụng vốn A nhỏ hơn ngưỡng được thiết lập.
Được rồi, chuyện đó rất sắp xảy ra.
Hãy để chúng tôi thay thế những gì chúng tôi thực sự có ở đây.
Chúng ta biết chức năng của chúng ta là gì, nó là x bình phương, phải không?
Và giới hạn của chúng ta ở đây là gì?
Giới hạn là một bình phương.
Vì vậy, chúng ta đang nhìn vào giá trị tuyệt đối của x bình phương trừ đi một bình phương.
Hãy để chúng tôi viết lại nó ở đây.
Được rồi, vậy những gì chúng ta sẽ làm, trước hết, tôi sẽ làm một vài trò lừa trường học.
Vì chúng ta đang nhìn vào sự khác biệt của các ô vuông,
chúng ta sẽ tính nó thành hai dấu ngoặc đơn,
(x- a) nhân với (x + a), vì vậy thật dễ dàng.
Quan trọng hơn, giá trị tuyệt đối của phép nhân là
phép nhân các giá trị tuyệt đối.
Như vậy chúng ta nhận được rằng chúng ta đang nhìn vào giá trị tuyệt đối của
(x- a) nhân với (x + a).
Phần đầu tiên ở đây, số nhân đầu tiên ở đây là khá
tốt đẹp bởi vì nó là, theo định nghĩa của giới hạn,
được cho là được giới hạn bởi 0 từ phía dưới và delta,
mà chúng tôi đang tìm kiếm, từ phía trên, phải không?
Nhưng những gì người ta nên làm với số nhân thứ hai,
vì nó là phụ thuộc từ x.
tốt, chúng ta hãy xem xét rằng độ lệch của chúng tôi từ điểm một
không vượt quá, tốt, điểm một chính nó.
Hay nói cách khác, giá trị tuyệt đối của x cộng với a không vượt quá hai a.
Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ sử dụng một bất đẳng thức khác ở đây.
Chúng ta sẽ xem xét rằng số nhân đầu tiên là không nhiều hơn delta,
mà chúng ta đang tìm kiếm, phải không?
Đó là cách chúng ta.
Và số nhân thứ hai ở đây không lớn hơn 2 giá trị tuyệt đối của một.
chúng ta sẽ viết giá trị tuyệt đối của một ở đây, chỉ vì chúng ta có thể giả
định rằng giới hạn cũng có thể được thực hiện trong điểm tiêu cực ở đây cho âm a của.
Vì vậy, những gì chúng tôi có ở đây, chúng tôi đã có ở đây rằng về cơ bản độ lệch của chúng tôi không
vượt quá đồng bằng nhân với 2 giá trị tuyệt đối của a.
Và nếu chúng ta tìm thấy một delta trong trường hợp đó có biểu thức delta nhân với
2 giá trị tuyệt đối của a là nhỏ hơn epsilon, sau đó chúng ta thực sự nhận được
bất đẳng thức mong muốn của chúng tôi rằng độ lệch không vượt quá ngưỡng, phải không?.
Vì vậy, để tìm ra điều đó, chúng ta chỉ cần viết rằng
đây là nơi delta thực sự epsilon chia cho 2 giá trị tuyệt đối của a, phải không?
Vâng, tất nhiên, người ta có thể tranh luận rằng điều này dẫn đến sự bình đẳng ở đây, phải không?
Vì vậy, dấu hiệu này là loại nghi ngờ.
Nhưng kể từ khi dấu hiệu trước đó là bất bình đẳng khá nghiêm ngặt, vì vậy
chúng ta sẽ nói rằng mối quan hệ này vẫn giữ được.
Hoặc bạn có thể thay thế đồng bằng của chúng tôi bằng một nửa đồng bằng, nếu bạn thực sự thích nó.
Nhưng điều đó vẫn giữ được.
Về cơ bản chúng tôi chỉ chứng minh rằng chúng tôi giới hạn của x bình phương là một bình phương
tại điểm tùy ý a
Vì vậy, đối với ví dụ thứ hai ở đây, chúng ta hãy chỉ giả định rằng chúng ta đang nhìn vào một số
chức năng đó là rõ ràng vấn đề tại điểm giới hạn.
Để làm điều đó, chúng ta sẽ, Hãy xem xét giới hạn
của sin của 1 chia cho x nếu x tiếp cận 0.
Và tôi sẽ viết dấu chấm hỏi làm câu trả lời của chúng tôi.
Được rồi, chúng ta cần trả lời hai điều cơ bản ở đây.
Nó có giới hạn không?
Và những gì giá trị của nó nếu nó có?
Vì vậy, tốt, nếu một người chỉ cố gắng để vẽ một phác thảo của biểu đồ này, những gì chúng ta sẽ có.
Chúng ta sẽ có, tốt, đầu tiên, hai trục,
và sau đó chúng ta sẽ có chức năng dao động.
Và kể từ khi chúng ta đang nhận được càng gần, gần 0,
do đó 1 chia cho x đang nhận được gần hơn, gần gũi hơn với vô cùng, phải không?
Vì vậy, về cơ bản nó di chuyển từ 0 đến 2 p, đó là loại
tinh thần của hàm sin, nhanh hơn và nhanh hơn, phải không?
Vì vậy, những gì chúng ta nên vẽ ở đây, chúng ta nên vẽ ở đây chức năng
bắt đầu dao động nhanh hơn, nhanh hơn, nhanh hơn, và nhanh hơn.
Được rồi, cơ bản đó là một cơn ác mộng, phải không?
Vậy nó có giới hạn hay không?
Chúng tôi sẽ cố gắng chứng minh rằng nó không phải bằng cách sử dụng ý tưởng thứ hai của chúng tôi.
Điều đó đối với bất kỳ cách tiếp cận nào, đối với bất kỳ chuỗi các đối số nào tiếp cận điểm
giới hạn của chúng ta, giới hạn của các giá trị của các hàm sẽ tiếp cận tất cả cùng
một giá trị, đó là một giới hạn của hàm tại thời điểm này, đúng không?
Vì vậy, để làm, chúng ta sẽ tưởng tượng về cơ bản hai chuỗi.
Đầu tiên tôi sẽ gọi xm, và
đây sẽ là chuỗi mà sin, ví dụ, bằng 0.
Và để làm điều đó, chúng ta sẽ nói rằng đối số với hàm cao
nên được, ví dụ, 2 nhân với pi nhân n
Nếu chúng ta viết lại này dưới dạng trực tiếp hơn,
xn là 1 chia 2 pi n, trong đó, chúng ta hãy kiểm tra,
tiếp cận 0 nếu n tiếp cận Infinity.
Vì vậy, nó là chuỗi hợp lệ để tiếp cận điểm giới hạn
của chúng tôi, x của chúng tôi tiếp cận 0, đúng, cái này.
Đó là lần đầu tiên của chúng ta.
Và sau đó chúng ta sẽ xem xét một số chuỗi arzo của các đối số,
Tôi sẽ gọi nó là yn.
Trong đó hàm của chúng tôi thực sự có, ví dụ,
hàm sin của chúng tôi có giá trị 1,
đó là một nửa pi cộng 2 nhân với pi nhân với n
Một lần nữa, ở dạng trực tiếp,
nó là 1 chia cho một nửa pi cộng với 2 pi n
Và nó tiếp cận 0 kể từ khi chúng ta nhận được một hằng số chia cho hàm,
đó là nó tiếp cận cộng với vô cùng.
Được rồi, không sao đâu.
Vì vậy, về cơ bản chúng ta có hai trình tự.
Và sau đó chúng ta hãy hiểu rằng sin
của 1 chia cho xn bằng 0, do đó tiếp cận 0.
Và sin của 1 chia
cho yn bằng 1, do đó tiếp cận 1.
Và đây không phải là giới hạn giống nhau, do đó chức năng không
có giới hạn, không có giới hạn.
Vì vậy, chúng ta sẽ viết rằng giới hạn này không tồn tại.
[ NHẠC]