Por supuesto, como hemos visto,
la idea de las funciones de cálculo
se limita por definición, es complicado y lleva mucho tiempo.
Así que la gente no suele usar las ideas que necesitamos
para llegar al límite
y están probadas por definición.
Aquí vienen nuestras reglas aritméticas básicas.
Ya los hemos visto en caso de secuencia de límite.
Así que vamos a reiterarlo, a volver a visitarlo
y a cubrirlo de una vez por todas.
Por ejemplo, las reglas básicas aquí son los límites de
alguna operación aritmética
es que existe la operación aritmética de estas cosas.
Esto funciona para la suma, la diferencia
, los productos y la división de funciones.
Bueno, básicamente, el límite de
una suma es la suma de los límites, y así sucesivamente.
Pero aquí viene la parte complicada.
Por supuesto, siempre
pensarás en la división porque la división
realmente produce un dolor de cabeza para nosotros
porque afecta crucialmente a la media y a todos los demás,
bueno no puedes dividir por 0.
Esta es la regla de la escuela. Por lo
tanto, la cosa debería ser válida al respecto,
en el denominador, siempre debe obtener un valor distinto de cero.
Así que básicamente, cuando decimos que como
el límite de división es la división de límites,
deberíamos requerir que
el límite del denominador en
la fracción inicial no se acerque a 0.
Eso es un buen intento.
Aquí hay otra cosa, básicamente,
lo que debemos esperar que
la función inicial, de esta manera,
fracción f dividida por g
también se define en algún vecindario
del punto límite, básicamente,
significa que hay un vecindario
del punto donde la función
g hacia x tiene no hay valores cero porque de lo contrario,
tenemos en cada vecindario,
algún punto loco sin valor,
y no podemos proceder con
nuestro épsilon-delta de nuestra definición de la derecha límite.
Así que eso es algo común, ya los hemos visto,
y vamos a ver, por ejemplo, patrón,
pero estresemos una cosa más,
y es la más importante aquí.
Todas estas reglas son verdaderas solo en
caso de que exista todo el límite del lado derecho.
Entonces, todo esto es correcto solo si existen estos dos términos,
básicamente, significa que si
asumes que tienes alguna función de límite finito,
por ejemplo, más función equivale a una.
No puede cambiarlo en, por ejemplo,
x más 1 menos x,
y puede ver la a,
por ejemplo, más infinito,
y decir que esto se mantiene.
El infinito no es un límite,
no es un límite finito,
por lo que no existe.
Esta es una regla crucial que debes recordar.
Así que veamos, por ejemplo, alguna manera de
ver como los límites son fracción x cuadrado menos 1,
y x potencia 3 menos 1.
Así que los puntos límite aquí es, bueno,
sólo por ahora, por ejemplo, es 0.
Entonces, ¿qué deberíamos pensar primero?
Tratemos de calcular el límite por nuestra regla aritmética.
Por ejemplo, si x se acerca a 0,
entonces x se acerca a 0.
Es bastante fácil.
Si x se acerca a 0,
entonces x cuadrado es básicamente x multiplicar por x.
Por lo tanto, por nuestra regla de producto,
también se acerca a 0 multiplicado por 0.
Lo mismo se aplica a x power 3,
y eso es lo que obtenemos.
Obtenemos básicamente que nuestro nominador se acerca a 0 menos 1,
nuestro denominador se acerca a 0 menos 1,
y la respuesta es por nuestras reglas aritméticas es 1.
Eso es bastante bonito.
Por favor, sepa que todas las condiciones necesarias para
nuestra regla de división están realmente satisfechas
porque no consideramos dividir por cero en absoluto.
Eso es bonito. Pero, ¿y si nuestro punto límite es más complicado?
Así que hemos visto esta función con un límite de 4 y 0,
pero ahora supongamos que el límite cuando x se acerca a 1.
Esto es comprensiblemente mucho más verso,
porque si x se acerca a 1,
entonces x cuadrado y x poder 3 se acerca a 1,
y entonces nuestro nominador y denominador se
aproximan a ambos 0, y por lo tanto obtenemos algo que anteriormente se llamaba formas indeterminadas.
Recuerdas que 0 dividido por 0 es nuestra forma indeterminada.
Entonces, lo que vamos a hacer para evitar esto,
y por el bien de la brecha,
simplemente obtener la respuesta para este ejemplo.
Entonces, básicamente,
vamos a transformar esta función
con una función equivalente,
simplemente tomando el factor
tanto del nominador como del denominador.
Así que el nominador es básicamente la multiplicación de x más 1,
y x menos 1,
y el denominador es x menos 1,
multiplicado por x cuadrado más x más 1.
Así que si dividimos
nuestro nominador y denominador por su multiplicidad común,
x menos 1, entonces obtenemos una buena función x más 1,
dividido por x cuadrado más x más 1, a
medida que x se aproxima a 1,
el nominador se acerca, veamos, 2 creo.
1 más 1, 2 y el denominador se aproxima 3.
Por lo tanto, nuestra respuesta es dos tercios.
Eso está bien. Echemos un vistazo, por ejemplo,
a lo que hemos hecho,
básicamente hemos sustituido nuestra función,
nuestro inicio,
nuestra función inicial dada con alguna función aquí.
Entonces, ¿estas funciones son las mismas o no?
Básicamente, se puede entender que como
acabamos de dividir el
denominador, nominador por su multiplicador común,
las funciones son bastante cercanas, excepto un punto,
y este punto es x es
igual a 1 porque en este mismo punto,
la función inicial no está definida,
y la función que has
conseguido durante nuestra transformación está en realidad bien definida.
Eso tiene un valor de dos tercios,
que tenemos nuestra respuesta.
Así que la cosa aquí es que básicamente,
hemos cambiado nuestra función,
pero hemos cambiado nuestra función solo en un punto,
un punto es nuestro punto límite,
y esto lo hemos discutido anteriormente.
No nos importan estos puntos límite variables,
ya que nuestro límite evita la
consideración del valorador en el mismo punto límite,
cuando estamos hablando de la definición formal de datos epsilon.