Naturalmente, come abbiamo visto,
l'idea delle funzioni di calcolo limita per definizione,
è difficile e richiede molto tempo.
Quindi le persone di solito non usano le idee che ci servono
per trovare il limite
e sono dimostrate per definizione.
Ecco le nostre regole aritmetiche di base.
Li abbiamo già visti in caso di sequenza di limite.
Dobbiamo quindi ribadirlo, rivisitarlo
e coprirlo una volta per tutte.
Ad esempio, le regole di base qui sono i limiti di
qualche operazione aritmetica è che
c'è l'operazione aritmetica di queste cose.
Questo funziona per somma, differenza
, prodotti e divisione delle funzioni.
Beh, fondamentalmente, il limite di
una somma è la somma dei limiti, e così via.
Ma ecco che arriva la parte difficile.
Naturalmente,
penserete sempre alla divisione perché la divisione
produce effettivamente un mal di testa per noi
perché colpisce in modo cruciale la media e tutti gli altri,
beh non si può dividere per 0.
Questa è la regola della scuola.
Quindi la cosa dovrebbe essere valida su questo,
nel denominatore, dovresti sempre ottenere un valore diverso da zero.
Quindi fondamentalmente, quando diciamo che come
il limite di divisione è la divisione dei limiti,
dovremmo richiedere che
il limite del denominatore
nella frazione iniziale non si avvicini a 0.
Che bel tentativo.
Ecco un'altra cosa, fondamentalmente,
cosa dovremmo aspettarci che
la funzione iniziale, in questo modo,
frazione f divisa per g è
definita anche in qualche quartiere
del punto limite, fondamentalmente,
significa che c'è un quartiere del
punto in cui la funzione
g verso x ha nessun valore zero perché altrimenti,
abbiamo in ogni quartiere,
qualche punto folle senza valore,
e non possiamo procedere con
il nostro epsilon-delta dalla nostra definizione del limite giusto.
Quindi questa è una cosa comune, li abbiamo già visti,
e stiamo andando a guardare per esempio modello,
ma cerchiamo di sottolineare un'altra cosa,
ed è la più importante qui.
Tutte queste regole sono vere solo nel
caso in cui esista tutto il limite lato destro.
Quindi tutti questi sono corretti solo se questi due termini esistono,
fondamentalmente, significa che se si
assume che si dispone di una funzione limite finito,
ad esempio, più funzione è uguale a uno.
Non puoi cambiarlo in, ad esempio,
x più 1 meno x,
e puoi vedere la a,
ad esempio, più infinito,
e dire che questo vale.
L' infinito non è un limite,
non è un limite finito,
quindi non esiste.
Questa è una regola cruciale che dovete ricordare.
Quindi cerchiamo per esempio un modo per
vedere come i limiti sono frazione x al quadrato meno 1,
e x potenza 3 meno 1.
Quindi i punti limite qui è, beh,
solo per ora, per esempio, è 0.
Allora, cosa dovremmo pensare prima di tutto?
Cerchiamo di calcolare il limite secondo la nostra regola aritmetica.
Ad esempio, se x si avvicina a 0,
allora x si avvicina a 0.
E' abbastanza facile.
Se x si avvicina a 0,
allora x-quadrato è fondamentalmente x moltiplicare per x.
Così per la nostra regola di prodotto,
si avvicina anche 0 moltiplicato per 0.
La stessa cosa vale per x power 3,
ed è quello che otteniamo.
Otteniamo fondamentalmente che il nostro nominatore si avvicina a 0 meno 1, il
nostro denominatore si avvicina a 0 meno 1,
e la risposta è dalle nostre regole aritmetiche è 1.
Questo è piuttosto carino.
Si prega di sapere che tutte le condizioni necessarie per la
nostra regola di divisione sono effettivamente soddisfatte
perché non consideriamo affatto dividere per zero.
Che bello. Ma se il nostro limite fosse piu' complicato?
Quindi abbiamo visto questa funzione con un limite di 4 e 0,
ma ora supponiamo il limite quando x si avvicina a 1.
Questo è comprensibilmente molto più verso,
perché se x si avvicina a 1,
allora x-quadrato e x potere 3 si avvicina 1,
e poi il nostro nominatore e denominatore si avvicina sia a 0,
e quindi otteniamo qualcosa che
in precedenza era chiamato forme indeterminate.
Ti ricordi 0 diviso per 0 è la nostra forma indeterminata.
Quindi cosa faremo per evitare questo,
e per il bene del gap,
basta ottenere la risposta per questo esempio.
Quindi fondamentalmente che
stiamo andando a trasformare questa funzione
con una funzione equivalente,
solo prendendo il fattore
sia del nominatore che del denominatore.
Quindi il nominatore è fondamentalmente moltiplicazione di x più 1,
e x meno 1,
e il denominatore è x meno 1,
moltiplicato per x-quadrato più x più 1.
Quindi se dividiamo
il nostro nominatore e denominatore per la loro moltiplicazione comune,
x meno 1, allora otteniamo una bella funzione x più 1,
divisa per x-squared più x più 1,
come x si avvicina a 1,
il nominatore si avvicina, vediamo 2 penso.
1 più 1, 2 e il denominatore si avvicina 3.
Quindi la nostra risposta è di due terzi.
Questo va bene. Diamo un'occhiata, per esempio,
a quello che abbiamo fatto,
abbiamo fondamentalmente sostituito la nostra funzione, il
nostro inizio, la
nostra funzione data iniziale con qualche funzione qui.
Quindi queste funzioni sono le stesse o no?
Fondamentalmente, puoi capire che dal momento che
abbiamo appena diviso il denominatore, il
nominatore per il suo moltiplicatore comune
, le funzioni sono piuttosto vicine, tranne un
punto, e questo punto è x
uguale a 1 perché a questo punto,
la funzione iniziale non è definita,
e la funzione 've
ottenuto durante la nostra trasformazione è in realtà ben definito.
Questo ha un valore di due terzi,
che abbiamo la nostra risposta.
Quindi la cosa qui è che fondamentalmente,
abbiamo cambiato la nostra funzione,
ma abbiamo cambiato la nostra funzione solo in un punto,
un punto è il nostro punto limite,
e questo abbiamo discusso in precedenza.
Non ci interessa questi punti limite variabili,
poiché il nostro limite evita la
considerazione del valutatore al punto limite stesso,
quando parliamo di definizione formale dei dati epsilon.