Claro, como vimos,
a idéia de funções de cálculo limitam por definição,
é complicado e leva muito tempo.
Então as pessoas não costumam usar as idéias que precisamos
para chegar ao limite
e elas são provadas por definição.
Aí vem nossas regras aritméticas básicas.
Já os vimos em caso de sequência de limite.
Por isso, vamos apenas reiterá-lo, revisitá-lo,
e cobri-lo de uma vez por todas.
Por exemplo, regras básicas aqui são os limites de
alguma operação aritmética
é há a operação aritmética dessas coisas.
Isso funciona para soma, diferença
, produtos e divisão de funções.
Bem, basicamente, o limite de
uma soma é a soma dos limites, e assim por diante.
Mas aqui vem a parte complicada.
Claro, você deve sempre
pensar sobre a divisão porque a divisão
realmente produz uma dor de cabeça para nós
porque afeta crucialmente a média e todos os outros,
bem você não pode dividir por 0.
Esta é a regra da escola.
Então a coisa deve ser válida sobre isso,
no denominador, você deve sempre obter valor diferente de zero.
Então, basicamente, quando dizemos que como
o limite de divisão é a divisão de limites,
devemos exigir que
o limite do denominador
na fração inicial não se aproxime de 0.
É uma boa tentativa.
Aqui está outra coisa, basicamente,
o que devemos esperar que
a função inicial, desta forma,
fração f dividida por g
também é definida em algum bairro
do ponto de limites, basicamente,
isso significa que há um bairro do
ponto onde a função
g em direção a x tem nenhum valor zero, porque caso contrário,
nós temos em cada bairro,
algum ponto louco sem valor,
e nós não podemos prosseguir com a
nossa epsilon-delta de nossa definição do limite direito.
Então isso é uma coisa comum, nós já os vimos,
e nós vamos olhar para, por exemplo, padrão,
mas vamos enfatizar mais uma coisa,
e é a mais importante aqui.
Todas estas regras são verdadeiras apenas no
caso de existir todo o limite do lado direito.
Então tudo isso é correto somente se esses dois termos existirem,
basicamente, significa que se você
assumir que você tem alguma função limite finito,
por exemplo, mais função é igual a um.
Você não pode mudá-lo para, por exemplo,
x mais 1 menos x,
e pode ver o a,
por exemplo, mais infinito,
e dizer que isso é válido.
O infinito não é um limite,
não é um limite finito,
então não existe.
Esta é uma regra crucial que você deve se lembrar.
Então vamos olhar, por exemplo, alguma maneira de
ver como os limites são fração x quadrado menos 1,
e x potência 3 menos 1.
Então os pontos limite aqui é, bem,
apenas por agora, por exemplo, é 0.
Então, o que devemos pensar primeiro?
Vamos tentar calcular o limite pela nossa regra aritmética.
Por exemplo, se x se aproximar de 0
, x se aproxima de 0.
É bem fácil.
Se x se aproxima de 0,
então x-quadrado é basicamente x multiplicar por x.
Assim, pela nossa regra de produto,
ele também se aproxima de 0 multiplicado por 0.
A mesma coisa se aplica ao X power 3,
e é isso que temos.
Nós temos basicamente que nosso nominador se aproxima de 0 menos 1,
nosso denominador se aproxima de 0 menos 1,
e a resposta é por nossas regras aritméticas é 1.
Isso é muito bom.
Por favor, saibam que todas as condições necessárias para
a nossa regra de divisão estão realmente satisfeitas
porque não consideramos dividir por zero.
Isso é legal. Mas e se o nosso limite for mais complicado?
Então vimos essa função com um limite de 4 e 0,
mas agora vamos assumir o limite quando x se aproxima de 1.
Isto é compreensivelmente muito mais verso,
porque se x se aproxima de 1,
então x-quadrado e x poder 3 se aproxima de 1,
e então nosso nominador e denominador se aproxima tanto 0,
e assim obtemos algo que
anteriormente era chamado de formas indeterminadas.
Você se lembra de 0 dividido por 0 é a nossa forma indeterminada.
Então, o que vamos fazer para evitar este,
e para o bem da lacuna,
basta obter a resposta para este exemplo.
Então, basicamente, que
vamos transformar esta função
com uma função equivalente,
apenas tomando o fator
de ambos nominador e denominador.
Assim, o nominador é basicamente multiplicação de x mais 1,
e x menos 1,
e o denominador é x menos 1,
multiplicado por x ao quadrado mais x mais 1.
Então, se dividirmos
nosso nominador e denominador por sua multiplicação comum,
x menos 1, então obtemos uma boa função x mais 1,
dividida por x ao quadrado mais x mais 1,
como x se aproxima de 1,
o nominador se aproxima, vamos ver,2 eu acho.
1 mais 1, 2 e o denominador se aproxima 3.
Daí a nossa resposta é dois terços.
Isso é bom. Vamos dar uma olhada, por exemplo,
no que fizemos,
basicamente substituímos nossa função, nosso
início,
nossa função inicial dada com alguma função aqui.
Então essas funções são as mesmas ou não?
Basicamente, você pode entender que uma vez que
nós apenas dividimos
denominador, nominador por seu multiplicador comum
, funções são muito próximas, exceto um
ponto, e este ponto é x
igual a 1 porque neste exato ponto,
a função inicial não é definida,
e a função nós
temos durante a nossa transformação é realmente bem definido.
Isso tem um valor de dois terços,
o que temos a nossa resposta.
Então a coisa aqui é que basicamente,
nós mudamos nossa função,
mas nós mudamos nossa função apenas em um ponto,
um ponto é nosso ponto limite,
e isso já discutimos anteriormente.
Nós não nos preocupamos com este limite variável,
uma vez que o nosso limite evita
a consideração do avaliador no próprio ponto limite,
quando estamos falando de definição formal de dados epsilon.