Da wir früher darüber gesprochen haben,
wollen wir das Konzept der unbestimmten Formen noch einmal überdenken.
Während wir über Grenzen von Sequenzen sprachen,
stellten wir fest, dass es
eine ganze Reihe von alptraumhaften Fällen gibt.
Wenn wir nicht in der Lage sind, die Grenze sofort zu sagen.
Im Grunde war es ein Fall, als wenn man
unsere Begrenzung unserer Funktion durch
arithmetische Regeln betrachtet, zu einer Art seltsamen Ergebnis geführt hat.
Zum Beispiel Null geteilt durch Null,
Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit und so weiter.
Ich werde das noch einmal testen.
Eine Macht zur Unendlichkeit ist auch unbestimmte Form, wo
man im Grunde eine Funktion ist, die sich
einer nicht arithmetischen Zahl nähert.
Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass
all diese unbestimmten Formen irgendwie
miteinander verbunden sind, weil man von einem anderen abgeleitet werden kann
und die grundlegende eine Null ist, geteilt durch Null.
Zum Beispiel, ein einfacher Fall, dass wir Null
durch Null geteilt haben oder wir haben, zum Beispiel,
eine geteilt durch Unendlichkeit und eine
durch Unendlichkeit geteilt, so
haben wir Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit.
Wir nehmen nur die Umkehrung beider Funktionen,
so bekommen wir unsere Unendlichkeit durch Unendlichkeit geteilt.
Dasselbe gilt zum Beispiel für einen, der bis zur Unendlichkeit angetrieben wird.
Wenn wir den Übergang zur
exponentiellen Form sehen können, von denen durch die Definition des Logarithmus,
dann sind es Exponenten
eines Logarithmus von einem, der zur Unendlichkeit angetrieben wird.
Das ist die Definition von Logarithmus.
So haben wir einen Exponenten der Unendlichkeit
multipliziert mit einem Logarithmus von einem, der sich Null nähert.
So haben wir unsere Null multipliziert mit Unendlichkeit, die
leicht in die Form der
Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit oder Null geteilt durch Null abgeschnitten werden kann.
Grundsätzlich sind alle gleich und haben die gleichen Wurzeln.
Es ist irgendwie nett, aber
immer noch die allgemeine Idee ist, wenn Sie sich an alle erinnern,
es ist viel einfacher für Sie,
keine zusätzlichen Fehler zu haben, während Sie Grenzen berechnen.
Lassen Sie uns ein Beispiel hier betrachten.
Das ist das ganz offensichtliche Ding.
Nehmen wir an, dass wir die Grenze von
zwei Polynomfunktionen berechnen, bei denen
im Grunde meine Endkoeffizienten ungleich Null sind.
Wir haben eine Polynomfunktion des n-ten
Grades im Zähler und mth Grad im Nenner.
Also, was ist Grenze, wenn x sich der Unendlichkeit nähert?
Grundgedanke hier ist, dass lassen Sie uns zum Beispiel
durch x power auf m sowohl Zähler als auch Nenner teilen.
Was kriegen wir? Im Zähler
erhalten wir a_0 geteilt durch x power
zehn plus a_ eins geteilt durch
x power a minus eins plus so weiter, so weiter.
Ein Minus eins geteilt durch x plus a.
Wenn der Zähler, bekommen wir etwas ein bisschen komplizierter,
denn wenn wir es durch x power n teilen,
wissen wir eigentlich nicht die Beziehung zwischen n und
m. Vielleicht in diesem Moment
haben wir bereits alle m Grad von x überschritten, um
zum Beispiel einfach
Polynomfunktion nach der Teilung oder vielleicht nicht.
Betrachten wir zum Beispiel den Fall, wenn m
größer als n. dann als Ergebnis der Division,
erhalten wir b_0 geteilt durch x_
n und b_1 geteilt durch x_ n minus eins,
plus so weiter, so weiter.
Hier bekommen wir einige b, zum Beispiel,
ich werde sagen, dass es Zahl ist k und so weiter, so weiter.
Nach all dieser Division
erhalten sie den letzten Multiplikator.
Der letzte Begriff ist b_ m
multipliziert mit x_m minus n. Natürlich,
wie Sie alle nicht verstehen, gilt dies
für alle m und n ohne jede Reihenfolge.
Aber das m minus n positiv oder negativ,
dann ist die Grenze des Zählers und
des Nenner Null oder unendlich.
Lassen Sie uns einfach nach und nach lösen, was wir hier haben.
Erstens können wir hier leicht den Nenner anpacken, weil
all diese Bruchteile
durch unsere arithmetische Regel Null annähern.
Denn eine Null ist
eine Konstante und der
Nenner in all diesen Fällen nähert sich der Unendlichkeit,
weil x sich der Unendlichkeit nähert.
Eine Konstante geteilt durch Unendlichkeit erhält das Ergebnis auf Null.
Der Zähler nähert sich tatsächlich unserem a_nth.
Dasselbe gilt für den Nenner
bis zum Fall von b_k.
Wenn wir b_k betrachten,
nähert sich b_k tatsächlich b_k.
Wenn m größer als n ist,
dann haben wir hier eine Reihe von Infinitesimalen Begriffen,
dann ein feinerer Begriff und dann
eine Polynomfunktion auf der Unendlichkeit,
was offensichtlich unendlich ist.
So haben wir eine Konstante
geteilt durch Unendlichkeit und als Ergebnis
bekommen wir hier Unendlichkeit.
Es ist leicht zu verstehen, dass, wenn wir
hier nur eine andere Bestellung betrachten,
dann bekommen wir Null.
Tut mir leid, umgekehrt offensichtlich.
Wir bekommen nur, dass b für den Fall, wenn m größer als n,
wir erhalten konstant geteilt durch
Unendlichkeit, so erhalten wir Null und für unseren Fall
erhalten wir Unendlichkeit geteilt durch eine Konstante, die unendlich ist.
Das ist ziemlich nett.
Aber
was ist mit dem Fall, wo m gleich n.
Das ist ziemlich einfach, weil das im Grunde bedeutet
, dass
wir nach unserer Teilung durch x_ n nur unsere Hauptkoeffizienten hier bekommen und die Antwort
ist
a_m geteilt durch ein b-m oder b_n, da n gleich m ist. zwischen
zwei Polynomfunktionen mit unendlichem Argument hier.
Wir haben gerade die unbestimmte Form
für den Fall der Unendlichkeit gelöst, geteilt durch Unendlichkeit.
Lassen Sie uns auch einen der Fälle annehmen
, die wir tatsächlich schon für die Sequenzen gesehen haben.
Denken Sie daran, wir haben Sequenzsinus von
n geteilt durch n betrachtet. Wir sprachen
darüber, dass ein Sinus ist begrenzt Funktionen daher ist es leicht,
über zwei Randsequenzen
für diese eine nachzudenken, die sich dem gleichen Wert nähert.
Lassen Sie uns versuchen,
diese Regel im Grunde für den Fall von Funktionen zu extrapolieren.
Schauen wir uns zum Beispiel
diese beiden Gleichungen und diese beiden Graphen an.
Im Grunde sehen sie so ziemlich gleich aus.
Beispiel, wie in Sequenzen, weil wir
Sinus durch eine
unbegrenzte Funktion x oder mit anderen Worten geteilt betrachten, haben wir
einige begrenzte Funktionen Sinus x und Infinitesimal-Funktion,
eine geteilt durch x, die Null nähert.
Die Idee hier in der Figur gezeichnet.
Dies ist unsere, in blauer Kurve,
unsere Funktion und hier kommt zwei grundlegende gebunden [unhörbar].
Eine geteilt durch x und minus eins geteilt durch x.
Da beide sich Null nähern, nähert
sich unsere Funktion also Null.
Grundsätzlich Idee hier ist, dass, wenn wir
das Projekt der begrenzten und Infinitesimal-Funktion betrachten,
das Ergebnis ist unendlich.
Da wir eigentlich in Ordnung sind,
multipliziert Null mit etwas, das keine
bestimmte hat, aber eine endliche Grenze hat, aber
einfach begrenzt ist, wächst nicht unerwartet oder
einfach nur
einige außergewöhnliche große Funktionen von Zeit zu Zeit sein.
Einfach begrenzt multipliziert
mit Infinitesimal, Infinitesimal.
Dasselbe gilt zum Beispiel für
unsere zweite Funktion hier, denn was wir
hier haben, ist, dass wir x
multipliziert mit einer alptraumhaften Kosinusfunktion,
Kosinus von Exponenten, von ganzzahligen Teil
eines geteilt durch x faktorielle multipliziert mit dem x.
Dies ist ziemlich, tatsächlich erschreckt.
Aber da Kosinus durch ein Minus eins und eins begrenzt ist
und der Rest der Funktion durch Null und eins begrenzt ist,
sind alle diese Multiplikation begrenzt.
So haben wir tatsächlich
unsere Infinitesimal-Funktion und eingeschränkte Funktion.
Somit ist das Limit einfach Null und wir können einfach weitermachen.