Ya que hablamos de ello antes,
volvamos a examinar el concepto de formas indeterminadas.
Mientras hablábamos de límites de secuencias,
establecimos que hay
bastantes casos de pesadilla.
Cuando no somos capaces de decir el límite de inmediato.
Básicamente, fue un caso como al considerar
nuestro límite de nuestra función por
reglas aritméticas resultó en algún tipo de resultado extraño.
Por ejemplo cero dividido por cero,
infinito dividido por infinito y así sucesivamente.
Voy a probar esto una vez más.
Un poder al infinito es también forma indeterminada donde
uno es básicamente una función que se acerca a un
número no aritmético.
Una vez más, permítanme recordarles que
todas estas formas indeterminadas están
conectadas porque una puede derivarse de otra
y la básica es un cero dividido por cero.
Por ejemplo, un caso fácil que tenemos cero
dividido por cero o tenemos, por ejemplo,
uno dividido por infinito y uno
dividido por infinito así
tenemos infinito dividido por infinito.
[ inaudible] sólo tomamos la inversión de ambas funciones,
así es como conseguimos dividir nuestro infinito por infinito.
Lo mismo se aplica, por ejemplo, para uno alimentado al infinito.
Si podemos ver la transición a la
forma exponencial de la cual por la definición de logaritmo,
entonces es exponentes
de un logaritmo de uno impulsado hacia el infinito.
Esa es la definición de logaritmo.
Así tenemos exponente de infinito
multiplicado por un logaritmo de uno que se aproxima a cero.
Así que tenemos nuestro cero multiplicado por infinito que puede ser
fácilmente truncado en la forma de
infinito dividido por infinito o cero dividido por cero.
Básicamente, de todos modos y tienen las mismas raíces.
Es un poco agradable,
pero la idea general es que si se acuerdan de todos ellos,
es mucho más fácil para usted no tener
ningún error adicional al calcular los límites.
Consideremos un ejemplo aquí.
Esto es lo muy obvio.
Supongamos que estamos calculando el límite de
dos funciones polinomiales donde
básicamente mis coeficientes finales son distintos de cero.
Tenemos una función polinomial de enésimo grado en
el numerador y mésimo grado en el denominador.
Entonces, ¿qué es el límite si x se acerca al infinito?
La idea básica aquí es que vamos por ejemplo dividir
por x potencia a m tanto el numerador como el denominador.
¿ Qué obtenemos? En el numerador,
obtenemos a_0 dividido por x potencia
diez más a_ uno dividido por
x potencia un menos uno más así sucesivamente, así sucesivamente.
A menos uno dividido por x más a.
Si el numerador, obtenemos algo un poco más complicado
porque si lo dividimos por x poder n
realmente no sabemos relación entre n y
m. Tal vez en este mismo momento,
ya hemos superado todos los m grados de x
para obtener, por ejemplo, simple
función polinómica después de la división o tal vez no.
Consideremos, por ejemplo, el caso de cuando m es
mayor que n. Luego, como resultado de la división,
obtenemos b_0 dividido por x_
n y b_1 dividido por x_ n menos uno,
más así sucesivamente, así sucesivamente.
Aquí, obtenemos un poco de b, por ejemplo,
voy a decir que es el número k y así sucesivamente, así sucesivamente.
Después de toda esta división,
obtienen el último multiplicador.
El último término es b_ m multiplicado
por x_m menos n. Por supuesto,
como todos ustedes no entienden esto es cierto
para todos m y n sin ningún orden.
Pero el m menos n positivo o negativo,
entonces el límite del numerador y
el denominador son cero o infinito.
Vamos a resolver poco a poco lo que tenemos aquí.
En primer lugar, podemos abordar fácilmente el denominador aquí porque
todas estas fracciones se aproximan a
cero por nuestra regla aritmética.
Porque un cero es
una constante y el
denominador en todos estos casos se acerca al infinito
porque x se acerca al infinito.
Una constante dividida por infinito obtiene el resultado a cero.
El numerador realmente se acerca a nuestro a_nth.
Lo mismo se aplica para el denominador
hasta el caso de b_k.
Si estamos considerando b_k,
b_k realmente se acerca b_k.
Si m es mayor que n,
entonces tenemos un montón de términos infinitesimales aquí,
entonces algún término más fino y luego
alguna función polinómica en el infinito,
que obviamente es infinito.
Así conseguimos una constante
dividida por infinito y como resultado,
obtenemos infinito aquí.
Es fácil entender que si
solo consideramos otro pedido aquí,
entonces obtenemos cero.
Lo siento, viceversa obviamente.
Simplemente obtenemos que b en caso de que m mayor que n,
obtenemos constante dividido por
infinito así obtenemos cero y para nuestro caso,
obtenemos infinito dividido por una constante que es infinito.
Eso es bastante bonito. Pero ¿qué
pasa con el caso en el que m es igual a n.
Eso es bastante fácil porque básicamente significa que
después de nuestra división por x_ n,
obtenemos solo nuestros coeficientes principales aquí y la respuesta
es a_m dividida por un b-m
o b_n ya que n es igual a m. Eso básicamente cubre
todas las relaciones posibles entre
dos funciones polinomiales con argumento infinito aquí.
Acabamos de resolver la forma indeterminada
para el caso del infinito dividido por infinito.
Supongamos también uno de los casos
que ya hemos visto para las secuencias.
Recuerde, hemos considerado la secuencia seno de
n dividido por n.
Hablamos de que un seno está delimitado funciones por lo que es fácil
pensar en dos secuencias de límite
para esta que se aproxima al mismo valor.
Tratemos de extrapolar
esta regla básicamente para el caso de las funciones.
Veamos por ejemplo
estas dos ecuaciones y estos dos gráficos.
Básicamente, se ven más o menos iguales.
Ejemplo, como en secuencias porque estamos
mirando seno dividido por
alguna función ilimitada x o, en otras palabras, tenemos
algunas funciones delimitadas seno x y función infinitesimal,
una dividida por x que se aproxima a cero.
La idea aquí dibujada en la figura.
Esta es nuestra, en curva azul,
nuestra función y aquí viene dos encuadernación básica [inaudible].
Uno dividido por x y menos uno dividido por x.
Dado que ambos se aproximan a cero,
nuestra función se aproxima a cero.
Básicamente la idea aquí es que si consideramos
el proyecto de función limitada e infinitesimal,
el resultado es infinitesimal.
Dado que estamos en realidad bien,
cero multiplicado por algo que no tiene
definido, pero tiene algún límite finito, pero
simplemente limitado no está creciendo inesperadamente o
simplemente pasa a ser
algunas funciones grandes extraordinarias de vez en cuando.
Simplemente limitado multiplicado
por infinitesimal, infinitesimal.
Lo mismo se aplica, por ejemplo, para
nuestra segunda función aquí porque lo
que sí tenemos aquí es que tenemos x
multiplicado por alguna función coseno pesadilla,
coseno de exponentes, de parte entera de
uno dividido por x factorial multiplicado por x.
Esto es bastante, realmente asustado.
Pero dado que el coseno está delimitado por un menos uno y uno,
y el resto de la función está delimitado por cero y uno,
todos estos se multiplican está delimitado.
Por lo tanto, en realidad tenemos
nuestra función infinitesimal y función limitada.
Por lo tanto, el límite es simplemente cero y podemos seguir adelante.