Visto che ne abbiamo parlato prima,
rivisitiamo il concetto di forme indeterminate.
Mentre parlavamo di limiti di sequenze,
abbiamo stabilito che ci sono
molti casi da incubo.
Quando non siamo in grado di dire subito il limite.
Fondamentalmente, è stato un caso in cui quando si considera
il nostro limite della nostra funzione da
regole aritmetiche si è tradotto in una sorta di risultato strano.
Ad esempio zero diviso per zero,
infinito diviso per infinito e così via.
Lo testero' ancora una volta.
Un potere all'infinito è anche forma indeterminata in cui
uno è fondamentalmente una funzione che si avvicina a un
numero non aritmetico.
Ancora una volta, permettetemi
di ricordarvi che tutte queste forme indeterminate sono collegate perché una può essere derivata da un'altra
e quella di base è uno zero diviso per zero.
Ad esempio, un caso facile che abbiamo zero
diviso per zero o abbiamo, per esempio,
uno diviso per infinito e uno
diviso per infinito così
abbiamo infinito diviso per infinito.
[ inudibile] prendiamo solo l'inversione di entrambe le funzioni,
ecco come otteniamo il nostro infinito diviso per l'infinito.
Lo stesso vale per esempio per uno alimentato all'infinito.
Se possiamo vedere la transizione verso
forma esponenziale di cui con la definizione di logaritmo,
allora è esponenti
di un logaritmo di uno alimentato all'infinito.
Questa è la definizione di logaritmo.
Così abbiamo esponente dell'infinito
moltiplicato per un logaritmo di uno che si avvicina a zero.
Quindi abbiamo il nostro zero moltiplicato per infinito che può essere
facilmente troncato nella forma di
infinito diviso per infinito o zero diviso per zero.
Fondamentalmente, tutti uguali e hanno le stesse radici.
È un po 'bello,
ma l'idea generale è che se li ricordi tutti,
è molto più facile per te non avere
errori aggiuntivi durante il calcolo dei limiti.
Prendiamo in considerazione qualche esempio qui.
Questa è la cosa più ovvia.
Supponiamo che stiamo calcolando il limite di
due funzioni polinomiali dove
fondamentalmente i miei coefficienti finali sono diversi da zero.
Abbiamo funzione polinomiale di ennesimo grado
nel numeratore e mth grado nel denominatore.
Quindi qual è il limite se x si avvicina all'infinito?
L' idea di base qui è che dividiamo per esempio
per x potenza a m sia numeratore che denominatore.
Che cosa otteniamo? Nel numeratore,
otteniamo a_0 diviso per x potenza
dieci più a_ uno diviso per
x potenza a meno uno più così via, così via.
A meno uno diviso per x più a.
Se il numeratore, otteniamo qualcosa di un po 'più complicato
perché se lo dividiamo per x potenza n
in realtà non conosciamo la relazione tra n e
m. Forse da questo momento,
abbiamo già superato tutti i m gradi di x per ottenere,
per esempio, semplice
funzione polinomiale dopo la divisione o forse no.
Consideriamo per esempio il caso di quando m è
maggiore di n. Poi come risultato della divisione,
otteniamo b_0 diviso per x_
n e b_1 diviso per x_ n meno uno,
più così via, così via.
Qui, otteniamo un po 'b, per esempio,
ho intenzione di dire che è il numero k e così via, così via.
Dopo tutta questa divisione,
ottengono l'ultimo moltiplicatore.
L' ultimo termine è b_ m
moltiplicato per x_m meno n. Naturalmente,
come tutti voi non capite questo è vero
per tutti m e n senza alcun ordine.
Ma il m meno n positivo o negativo,
quindi il limite del numeratore e
il denominatore sono zero o infinito.
Risolviamo gradualmente ciò che abbiamo qui.
In primo luogo, possiamo facilmente affrontare il denominatore qui perché
tutte queste frazioni si avvicinano a
zero secondo la nostra regola aritmetica.
Perché uno zero è
una costante e il
denominatore in tutti questi casi si avvicina all'infinito
perché x si avvicina all'infinito.
Una costante divisa per infinito ottiene risultato a zero.
Il numeratore in realtà si avvicina al nostro a_nth.
Lo stesso vale per il denominatore
proprio nel caso di b_k.
Se stiamo considerando b_k,
b_k si avvicina effettivamente a b_k.
Se m è maggiore di n,
allora abbiamo un mucchio di termini infinitesimali qui,
poi qualche termine più fine e poi
qualche funzione polinomiale sull'infinito,
che è ovviamente l'infinito.
Così abbiamo ottenuto una costante
divisa per l'infinito e, di conseguenza,
otteniamo l'infinito qui.
È facile capire che se
consideriamo solo un altro ordine qui,
allora otteniamo zero.
Scusa, viceversa, ovviamente.
Abbiamo appena ottenuto che b nel caso in cui se m maggiore di n,
otteniamo costante diviso per
infinito quindi otteniamo zero e per il nostro caso,
otteniamo l'infinito diviso per una costante che è l'infinito.
Questo è piuttosto carino.
Ma per quanto
riguarda il caso in cui m è uguale a n.
Questo è abbastanza facile perché ciò significa fondamentalmente che
dopo la nostra divisione per x_ n,
otteniamo solo i nostri coefficienti principali qui e la risposta
è a_m divisa per un
b-m o b_n poiché n è uguale a m. tra
due funzioni polinomiali con argomento infinito qui.
Abbiamo appena risolto la forma indeterminata
per il caso dell'infinito diviso per l'infinito.
Supponiamo anche uno dei casi
che abbiamo effettivamente visto già per le sequenze.
Ricordate, abbiamo considerato sequenza sinusoidale di
n diviso per n. Abbiamo
parlato di che un seno è limitato funzioni quindi è facile
pensare a due sequenze limite
per questo che si avvicina allo stesso valore.
Cerchiamo di estrapolare
questa regola fondamentalmente per il caso di funzioni.
Guardiamo per esempio a
queste due equazioni e questi due grafici.
Fondamentalmente, stanno guardando più o meno lo stesso.
Esempio, come in sequenze perché stiamo
guardando seno diviso da
qualche funzione illimitata x o in altre parole abbiamo
alcune funzioni delimitate seno x e funzione infinitesimale,
una divisa per x che si avvicina a zero.
L' idea qui disegnata nella figura.
Questa è la nostra, in curva blu,
la nostra funzione e qui arrivano due rilegatura di base [inudibile].
Uno diviso per x e meno uno diviso per x.
Poiché entrambi si avvicinano a zero,
quindi la nostra funzione si avvicina a zero.
Fondamentalmente l'idea qui è che se consideriamo
il progetto della funzione limitata e infinitesimale,
il risultato è infinitesimale.
Dal momento che in realtà stiamo bene,
zero moltiplicato per qualcosa che non ha
definito, ma ha un limite finito ma
semplicemente limitato non sta crescendo inaspettatamente o
semplicemente capita di essere
alcune straordinarie funzioni di grandi dimensioni di volta in volta.
Semplicemente limitato
moltiplicato per infinitesimale, infinitesimale.
La stessa cosa vale per esempio per la
nostra seconda funzione qui perché quello che
abbiamo qui è che abbiamo x
moltiplicato per qualche funzione coseno da incubo,
coseno di esponenti, di parte intera di
uno diviso per x fattoriale moltiplicato per la x.
Questo è abbastanza, in realtà spaventato.
Ma poiché il coseno è delimitato da uno meno e uno,
e il resto della funzione è delimitato da zero e uno,
tutti questi moltiplicano è limitato.
Quindi, in realtà abbiamo
la nostra funzione infinitesimale e funzione limitata.
Quindi, il limite è semplicemente zero e possiamo semplicemente andare avanti.