Uma vez que falamos sobre isso anteriormente,
vamos rever o conceito de formas indeterminadas.
Enquanto falávamos de limites de sequências,
estabelecemos que há
muitos casos de pesadelo.
Quando não somos capazes de dizer o limite imediatamente.
Basicamente, foi um caso como ao considerar
nosso limite de nossa função por
regras aritméticas resultou em algum tipo de resultado estranho.
Por exemplo, zero dividido por zero,
infinito dividido por infinito e assim por diante.
Vou testar isto mais uma vez.
Um poder para o infinito também é forma indeterminada onde se
é basicamente uma função que se aproxima de
um número não aritmético.
Mais uma vez, deixe-me lembrá-los que
todas essas formas indeterminadas estão meio
conectadas porque uma pode ser derivada de outra
e a básica é um zero dividido por zero.
Por exemplo, um caso fácil que temos zero
dividido por zero ou temos, por exemplo,
um dividido por infinito e um
dividido por infinito assim
temos infinito dividido por infinito.
Nós apenas pegamos a inversão de ambas as funções,
é assim que temos nosso infinito dividido pelo infinito.
O mesmo se aplica, por exemplo, para um alimentado ao infinito.
Se podemos ver a transição para a
forma exponencial da qual pela definição de logaritmo,
então é expoentes
de um logaritmo de um alimentado ao infinito.
Essa é a definição de logaritmo.
Assim, temos expoente do infinito
multiplicado por um logaritmo de um que se aproxima de zero.
Então temos o nosso zero multiplicado pelo infinito que pode ser
facilmente truncado na forma do
infinito dividido pelo infinito ou zero dividido por zero.
Basicamente, tudo o mesmo e têm as mesmas raízes.
É uma espécie de agradável, mas
ainda assim a idéia geral é que se você se lembrar de todos eles,
é muito mais fácil para você não ter
quaisquer erros adicionais ao calcular limites.
Vamos considerar um exemplo aqui.
Esta é a coisa muito óbvia.
Vamos supor que estamos calculando o limite de
duas funções polinômios onde
basicamente meus coeficientes finais são diferentes de zero.
Temos função polinomial de nº grau
no numerador e mth grau no denominador.
Então, qual é o limite se x se aproxima do infinito?
Ideia básica aqui é que vamos, por exemplo, dividir
por x poder para m ambos numerador e denominador.
O que vamos conseguir? No numerador,
obtemos a_0 dividido por x poder
dez mais a_ um dividido por
x potência um menos um mais assim por diante, assim por diante. A
menos um dividido por x mais a.
Se o numerador, nós obtemos algo um pouco mais complicado
porque se nós dividi-lo por x poder n
nós realmente não sabemos relação entre n e
m. Talvez neste exato momento,
nós já excedemos todos os m graus de x para obter,
por exemplo, simples
função polinomial após divisão ou talvez não.
Vamos, por exemplo, considerar o caso de quando m é
maior que n. Então, como resultado da divisão,
obtemos b_0 dividido por x_
n e b_1 dividido por x_ n menos um,
mais assim por diante, assim por diante.
Aqui, nós temos alguns b, por exemplo,
eu vou dizer que é número k e assim por diante, assim por diante.
Depois de toda essa divisão,
eles recebem o último multiplicador.
O último termo é b_ m multiplicado
por x_m menos n. Claro,
como todos vocês não entendem isso é verdade
para todos m e n sem qualquer ordem.
Mas o m menos n positivo ou negativo,
então o limite do numerador e
o denominador são zero ou infinito.
Vamos resolver gradualmente o que temos aqui.
Em primeiro lugar, podemos facilmente lidar com o denominador aqui porque
todas essas frações se aproxima de
zero pela nossa regra aritmética.
Porque um zero é
uma constante e o
denominador em todos esses casos se aproxima do infinito
porque x se aproxima do infinito.
Uma constante dividida pelo infinito obtém resultado a zero.
O numerador na verdade se aproxima do nosso a_nth.
O mesmo se aplica para o denominador
até o caso de b_k.
Se estamos considerando b_k,
b_k realmente se aproxima de b_k.
Se m é maior que n,
então temos um monte de termos infinitesimais aqui,
então algum termo mais fino e então
alguma função polinomial no infinito,
que é obviamente infinito.
Assim temos uma constante
dividida pelo infinito e, como resultado,
temos o infinito aqui.
É fácil entender que se
considerarmos outra ordem aqui,
então teremos zero.
Desculpe, vice-versa, obviamente.
Nós apenas obtemos que b no caso se m maior que n,
obtemos constante dividida pelo
infinito assim obtemos zero e para o nosso caso,
temos infinito dividido por uma constante que é infinito.
Isso é muito bom. Mas e
o caso em que m é igual a n.
Isso é bastante fácil porque isso basicamente significa que
depois de nossa divisão por x_ n,
nós obtemos apenas nossos principais coeficientes aqui e a resposta
é a_m dividido por um b-m
ou b_n uma vez que n é igual a m. Isso basicamente cobre
todas as relações possíveis entre
duas funções polinômios com argumento infinito aqui.
Acabamos de resolver a forma indeterminada
para o caso do infinito dividido pelo infinito.
Vamos também assumir um dos casos
que já vimos para as sequências.
Lembre-se, nós consideramos seqüência seno de
n dividido por n. Falamos
sobre que um seno é funções limitadas, portanto, é fácil
pensar em duas sequências de limite
para este que se aproxima do mesmo valor.
Vamos tentar extrapolar
esta regra basicamente para o caso de funções.
Vamos olhar, por exemplo, para
estas duas equações e estes dois gráfico.
Basicamente, eles estão parecendo praticamente o mesmo.
Exemplo, como em sequências porque estamos
olhando para seno dividido por
alguma função ilimitada x ou em outras palavras temos
algumas funções limitadas seno x e função infinitesimal,
um dividido por x que se aproxima de zero.
A idéia aqui desenhado na figura.
Esta é a nossa, em curva azul, a
nossa função e aqui vem dois encadernado básico [inaudível].
Um dividido por x e menos um dividido por x. Uma
vez que ambos se aproximam de zero,
assim nossa função se aproxima de zero.
Basicamente idéia aqui é que se considerarmos
o projeto de função limitada e infinitesimal,
o resultado é infinitesimal.
Uma vez que estamos realmente bem,
zero multiplicado por algo que não tem
definido, mas tem algum limite finito, mas é
simplesmente limitado não está crescendo inesperadamente ou
apenas acontece a ser
algumas extraordinárias funções grandes de vez em quando.
Simplesmente limitado multiplicado
por infinitesimal, infinitesimal.
A mesma coisa se aplica, por exemplo, para a
nossa segunda função
aqui porque o que temos aqui é que temos x
multiplicado por alguma função cosseno pesadelo,
cosseno de expoentes, de parte inteira de
um dividido por x fatorial multiplicado pelo x.
Isto é bastante, realmente assustado.
Mas uma vez que o cosseno é limitado por um menos um
e um, e o resto da função é limitado por zero e um,
todos estes multiplicar é limitado.
Assim, nós realmente temos
nossa função infinitesimal e função limitada.
Assim, o limite é simplesmente zero e podemos simplesmente seguir em frente.