Поскольку мы говорили об этом ранее,
давайте вернемся к концепции неопределенных форм.
Пока мы говорили о границах последовательностей,
мы установили, что
есть довольно много кошмарных случаев.
Когда мы не в состоянии определить предел сразу.
В принципе, это был случай, как при рассмотрении
нашего предела нашей функции по
арифметическим правилам привел к некоему странному результату.
Например, ноль, деленная на ноль,
бесконечность, деленная на бесконечность и так далее.
Я собираюсь проверить это еще раз.
Одна сила к бесконечности также неопределенная форма, где
одна в основном функция, которая приближается к
одному не арифметическому числу.
Еще раз напомню, что
все эти неопределенные формы
связаны между собой, потому что один может быть получен от другого,
а основной - это ноль, деленный на ноль.
Например, простой случай, что у нас есть ноль,
деленный на ноль, или у нас есть, например,
один, разделенный на бесконечность, и один,
разделенный на бесконечность, таким образом,
у нас есть бесконечность, разделенная на бесконечность.
[ неразборчиво] мы просто принимаем инверсию обеих функций,
вот как мы получаем нашу бесконечность, разделенную на бесконечность.
То же самое относится, например, к одному, питаемому до бесконечности.
Если мы видим переход к
экспоненциальной форме, из которой по определению логарифма,
то это экспоненты
логарифма одного, состоящего в бесконечности.
Это определение логарифма.
Таким образом, мы имеем показатель бесконечности,
умноженный на логарифм того, который приближается к нулю.
Таким образом, у нас есть наш ноль, умноженный на бесконечность, которую можно
легко усечь в виде
бесконечности, разделенной на бесконечность или ноль, деленный на ноль.
В основном, все равно и имеют одни и те же корни.
Это довольно приятно, но
все же общая идея заключается в том, что если вы помните все из них,
вам гораздо проще не иметь
дополнительных ошибок при вычислении лимитов.
Рассмотрим пример здесь.
Это очень очевидная вещь.
Предположим, что мы вычисляем предел
двух полиномиальных функций, где
в основном мои конечные коэффициенты отличны от нуля.
У нас есть полиномиальная функция n-й степени
в числителе и m-й степени в знаменателе.
Итак, какой предел, если x приближается к бесконечности?
Основная идея здесь заключается в том, что давайте, например
, разделить на x мощность до m как числитель и знаменатель.
Что мы получим? В числителе
мы получаем a_0, разделенный на x мощность
десять плюс a_ один разделенный на
x мощность минус один плюс так далее, так далее.
Минус один разделен на х плюс а.
Если числитель, мы получаем что-то более сложное,
потому что если мы делим его на х мощность n,
мы на самом деле не знаем отношения между n и
m. Может быть, к этому моменту
мы уже превысили все m градусов x, чтобы получить,
например, простой полиномиальная
функция после деления или, может быть, нет.
Рассмотрим, например, случай, когда m
больше n. Затем в результате деления
получаем b_0, разделенный на x_
n и b_1, разделенный на x_ n минус один
, плюс так далее.
Здесь мы получаем некоторые b, например,
я собираюсь сказать, что это число k и так далее, так далее.
После всего этого деления
они получают последний множитель.
Последний термин b_ m
умножается на x_m минус n. Конечно,
как вы все не понимаете, это верно
для всех m и n без какого-либо порядка.
Но m минус n положительный или отрицательный,
то предел числителя и
знаменатель равен нулю или бесконечности.
Давайте просто постепенно разберемся с тем, что у нас здесь есть.
Во-первых, мы можем легко решить знаменатель здесь, потому что
все эти фракции приближаются к
нулю по нашему арифметическому правилу.
Потому что ноль
является константой и
знаменатель во всех этих случаях приближается к бесконечности,
потому что x приближается к бесконечности.
Константа, деленная на бесконечность, получает результат к нулю.
Числитель фактически приближается к нашему a_nth.
То же самое относится и к знаменателю
прямо в случае b_k.
Если мы рассматриваем b_k,
b_k фактически приближается к b_k.
Если m больше n,
то мы получили кучу бесконечно малых терминов здесь,
то некоторые более тонкие термины, а затем
некоторые полиномиальные функции на бесконечности,
что, очевидно, бесконечность.
Таким образом, мы получили константу
, разделенную на бесконечность, и в результате
мы получаем бесконечность здесь.
Легко понять, что если мы
просто рассмотрим другой заказ здесь,
то получим ноль.
Извини, наоборот, очевидно.
Мы просто получаем, что b в случае, если m больше, чем n,
мы получаем константу, разделенную на
бесконечность, таким образом, мы получаем ноль и для нашего случая,
мы получаем бесконечность, разделенную на константу, которая является бесконечностью.
Это довольно мило. Но как
насчет случая, когда m равен n.
Это довольно легко, потому что это в основном означает
, что после нашего деления на x_ n
мы получаем только наши основные коэффициенты здесь и ответ
a_m делится на b-m
или b_n, так как n равно m. Это в основном охватывает
все возможные отношения между
двумя полиномиальными функциями с бесконечным аргументом здесь.
Мы только что разрешили неопределенную форму
для случая бесконечности, разделенной на бесконечность.
Давайте также предположим один из случаев
, которые мы на самом деле видели уже для последовательностей.
Помните, мы рассматривали последовательность синуса
n, разделенную на n. Мы говорили
о том, что синус является ограниченными функциями, поэтому легко
думать о двух граничных последовательностях
для этого, который приближается к одному и тому же значению.
Давайте попробуем экстраполировать
это правило в основном для случая функций.
Давайте посмотрим, например, на
эти два уравнения и эти два графа.
В принципе, они выглядят почти одинаково.
Пример, как и в последовательностях, потому что мы
смотрим на синус, разделенный
неограниченной функцией х или другими словами, у нас есть
некоторые ограниченные функции синус х и бесконечно мальная функция,
один деленный на х, который приближается к нулю.
Идея здесь нарисована на рисунке.
Это наша, в синей кривой,
наша функция, и вот два основных связанных [неразборчиво].
Один деленный на х и минус один деленный на х.
Поскольку оба приближаются к нулю, то
наша функция приближается к нулю.
Основная идея здесь заключается
в том, что если рассматривать проект ограниченной и бесконечной функции,
то результат бесконечно мален.
Поскольку мы на самом деле все в порядке,
ноль умножается на то, что не
имеет определенного, но имеет некоторый конечный предел, но
просто ограничен, не растет неожиданно или
просто случается, что
некоторые необыкновенные большие функции время от времени.
Просто ограниченный
умноженный на бесконечно малый, бесконечно малый.
То же самое применимо, например, для
нашей второй функции здесь, потому что то, что
мы имеем здесь, это мы имеем х
умноженное на какую-то кошмарную
косинус-функцию, косинус показателей, целочисленную часть
одного, разделенную на х факториал, умноженный на х.
Это довольно, на самом деле испугано.
Но так как косинус ограничен минус один и один,
а остальная часть функции ограничена нулем и одним,
все это умножение ограничено.
Таким образом, мы на самом деле имеем
нашу бесконечно малую функцию и ограниченную функцию.
Таким образом, предел просто равен нулю, и мы можем просто двигаться дальше.