Kể từ khi chúng ta đã nói về nó trước đó,
chúng ta hãy xem lại khái niệm về các hình thức không xác định.
Trong khi chúng tôi đang nói về giới hạn của trình tự,
chúng tôi xác định rằng
có khá nhiều trường hợp ác mộng.
Khi chúng ta không thể nói được giới hạn ngay lập tức.
Về cơ bản, đó là một trường hợp như khi xem xét
giới hạn của chúng tôi về chức năng của chúng tôi bằng các
quy tắc số học dẫn đến một số loại kết quả kỳ lạ.
Ví dụ số không chia cho số không,
vô cùng chia cho vô cùng và vân vân.
Tôi sẽ kiểm tra lần này một lần nữa.
Một lũy thừa đến vô cực cũng là dạng không xác định mà
một trong đó về cơ bản là một hàm
số tiếp cận một không phải số học.
Một lần nữa, để tôi nhắc nhở bạn rằng
tất cả các hình thức không xác định này đều được
kết nối bởi vì một hình thức có thể được bắt nguồn từ hình thức khác
và hình thức cơ bản là một số không chia cho 0.
Ví dụ, một trường hợp dễ dàng mà ta có 0
chia cho 0 hoặc ta có, ví dụ,
một chia cho vô cực và một
chia cho vô cực do đó ta
có vô cực chia cho vô cực.
[ không nghe được] chúng ta chỉ lấy sự đảo ngược của cả hai chức năng,
đó là cách chúng ta có được vô cùng của chúng ta chia cho vô cùng.
Tương tự cũng áp dụng cho ví dụ cho một nguồn cung cấp cho vô cùng.
Nếu chúng ta có thể thấy sự chuyển đổi sang
dạng mũ mà theo định nghĩa của logarit,
thì nó là
số mũ của một logarit của một powered to infinity.
Đó là định nghĩa của logarit.
Như vậy chúng ta có số mũ của vô cực
nhân với một logarit của một trong đó tiếp cận số không.
Vì vậy, chúng ta có số không của chúng ta nhân với vô cực mà có thể
dễ dàng cắt ngắn thành dạng
vô cực chia cho vô cực hay không chia cho số không.
Về cơ bản, tất cả đều giống nhau và có cùng gốc rễ.
Đó là loại tốt đẹp nhưng
vẫn là ý tưởng chung là nếu bạn nhớ tất cả chúng,
nó dễ dàng hơn nhiều cho bạn để không có
bất kỳ sai lầm bổ sung trong khi tính toán giới hạn.
Hãy để chúng tôi xem xét một số ví dụ ở đây.
Đây là điều rất rõ ràng. Chúng
ta hãy giả định rằng chúng ta đang tính giới hạn của
hai hàm đa thức mà
về cơ bản hệ số cuối của tôi là không.
Ta có hàm đa thức bậc n trong
tử số và bậc mth trong mẫu số.
Vì vậy, giới hạn là gì nếu x tiếp cận vô cùng?
Ý tưởng cơ bản ở đây là chúng ta hãy ví dụ
chia cho x sức mạnh để m cả tử số và mẫu số.
Chúng ta sẽ nhận được gì? Trong tử số,
chúng ta nhận a_0 chia cho x lũy
thừa mười cộng với a_ một chia cho
x lũy thừa một trừ cộng như vậy, như vậy.
Một trừ một chia x cộng với a
Nếu tử số, chúng ta nhận được một cái gì đó phức tạp hơn một chút
bởi vì nếu chúng ta chia nó bằng x điện n
chúng ta thực sự không biết mối quan hệ giữa n và
m Có lẽ bởi thời điểm này,
chúng ta đã vượt quá tất cả m độ x để có được,
ví dụ, đơn giản
hàm đa thức sau khi phân chia hoặc có thể không.
Hãy để chúng tôi ví dụ xem xét trường hợp khi m
lớn hơn n Sau đó là kết quả của sự chia,
chúng ta nhận được b_0 chia cho x_
n và b_1 chia cho x_ n trừ một,
cộng thêm như vậy, vân vân.
Ở đây, chúng tôi nhận được một số b, ví dụ,
tôi sẽ nói rằng đó là số k và vân vân, như vậy.
Sau khi tất cả các bộ phận này,
họ nhận được số nhân cuối cùng.
Thuật ngữ cuối cùng là b_ m nhân với
x_m trừ n Tất nhiên,
như tất cả các bạn không hiểu điều này là đúng
cho tất cả m và n mà không có bất kỳ thứ tự nào.
Nhưng m trừ n dương hoặc âm,
sau đó giới hạn của tử số và
mẫu số là không hoặc vô cùng.
Hãy để chúng tôi dần dần giải quyết những gì chúng tôi có ở đây.
Thứ nhất, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết mẫu số ở đây bởi vì
tất cả các phân số này tiếp cận
bằng không bởi quy tắc số học của chúng tôi.
Bởi vì một số không là
một hằng số và
mẫu số trong tất cả các trường hợp này tiếp cận vô cùng
bởi vì x tiếp cận vô cùng.
Một hằng số chia cho vô cực được kết quả là 0.
Tử số thực sự tiếp cận a_nth của chúng tôi.
Điều tương tự cũng áp dụng cho mẫu
số ngay lên trường hợp b_k
Nếu chúng ta đang xem xét b_k,
b_k thực sự tiếp cận b_k
Nếu m lớn hơn n,
thì chúng ta nhận được một loạt các thuật ngữ vô hạn ở đây,
sau đó một số thuật ngữ tốt hơn và sau đó
một số hàm đa thức trên vô hạn,
điều đó rõ ràng là vô cùng.
Vì vậy, chúng ta có một hằng số
chia cho vô cùng và kết quả là,
chúng ta có được vô cùng ở đây.
Thật dễ dàng để hiểu rằng nếu chúng ta
chỉ xem xét một trật tự khác ở đây,
sau đó chúng ta nhận được số không.
Xin lỗi, rõ ràng là ngược lại.
Chúng tôi chỉ nhận được rằng b trong trường hợp nếu m lớn hơn n,
chúng tôi nhận được hằng số chia cho
vô cùng do đó chúng tôi nhận được zero và cho trường hợp của chúng
tôi, chúng tôi nhận được vô cùng chia cho một hằng số đó là vô cùng.
Khá là đẹp đấy. Nhưng những gì
về trường hợp m bằng n Điều đó
khá dễ dàng bởi vì điều đó về cơ bản có nghĩa là
sau khi phân chia của chúng tôi bởi x_ n,
chúng tôi chỉ nhận được các hệ số chính của chúng tôi ở đây và câu trả lời
là a_m chia cho một b-m
hoặc b_n kể từ n bằng m Điều đó về cơ bản bao gồm
tất cả các mối quan hệ có thể giữa
hai hàm đa thức với đối số vô hạn ở đây.
Chúng ta vừa giải quyết được hình thức không xác
định cho trường hợp vô cùng chia cho vô cùng.
Hãy để chúng tôi cũng giả sử một trong những trường hợp
mà chúng tôi đã thực sự nhìn thấy đã có cho các trình tự.
Hãy nhớ rằng, chúng tôi đã xem xét chuỗi sin của
n chia cho n Chúng tôi đã nói
về rằng một sin được giới hạn chức năng do đó nó rất dễ dàng để
suy nghĩ về hai chuỗi ranh giới
cho một trong đó tiếp cận cùng một giá trị.
Hãy để chúng tôi cố gắng ngoại suy
quy tắc này về cơ bản cho trường hợp của các chức năng.
Chúng ta hãy nhìn ví dụ tại
hai phương trình này và hai đồ thị này.
Về cơ bản, họ đang trông khá giống nhau.
Ví dụ, như trong chuỗi bởi vì chúng ta đang
nhìn vào sin chia cho
một số hàm không giới hạn x hoặc nói cách khác chúng ta có
một số hàm giới hạn sin x và hàm vô hạn,
một chia cho x mà tiếp cận bằng không.
Ý tưởng ở đây rút ra trong hình.
Đây là của chúng tôi, trong đường cong màu xanh,
chức năng của chúng tôi và ở đây có hai ràng buộc cơ bản [không nghe được].
Một chia cho x và trừ một chia cho x
Vì cả hai đều tiếp cận số không,
do đó hàm của chúng ta tiếp cận số không.
Về cơ bản ý tưởng ở đây là nếu chúng ta xem xét
các dự án của hàm giới hạn và infinitesimal,
kết quả là infinitesimal.
Vì chúng ta đang thực sự tất cả các quyền,
zero nhân với một cái gì đó mà không có
xác định nhưng có một số giới hạn hữu hạn nhưng
chỉ đơn giản là giới hạn là không phát triển bất ngờ hoặc
chỉ xảy ra là
một số chức năng lớn bất thường theo thời gian.
Đơn giản chỉ đơn giản là giới hạn nhân với
infinitesimal, infinitesimal.
Điều tương tự áp dụng cho ví dụ cho
hàm thứ hai
của chúng tôi ở đây bởi vì những gì chúng ta có ở đây là chúng ta có x nhân với một số hàm cosin ác mộng, cosin của số mũ, của
một phần nguyên của một chia cho x thừa thừa số nhân với x
Điều này là khá, thực sự sợ hãi.
Nhưng kể từ khi cosin được giới hạn bởi một trừ một và một,
và phần còn lại của hàm được giới hạn bởi 0 và một,
tất cả các nhân này được giới hạn.
Như vậy, chúng ta thực sự có hàm
vô hạn của chúng tôi và hàm giới hạn.
Vì vậy, giới hạn chỉ đơn giản là bằng không và chúng ta chỉ có thể di chuyển trên.