Einer von ihnen spricht über funktionale Grenzen,
es ist schwer, nicht über zwei sehr grundlegende zu sprechen, da hier.
Welche manchmal auch immer als wichtig oder fabelhaft bezeichnet werden.
Es gibt zwei Grenzen, die
jeder kennen sollte, und jeder macht sie zumindest einiges.
Also ist die erste bereits für uns bekannt ist die Definition von Exponenten, richtig?
Basis des natürlichen Logarithmus, was auch immer die E-Konstante,
also was haben wir im Falle unserer Sequenzen.
Jetzt Sequenzen mit Vortrag darüber, wenn wir
die Sequenz 1 plus 1 dividiert durch n powered n betrachten, nähert es sich.
Einige neue, neu definiert durch
die Resist-Beziehungskonstante e und das ist eine Art Definition, richtig?
So war der Trick dort, dass dieses Ding begrenzt ist und nicht nur wächst.
Also haben wir eine Art von Grenzen und
wir sollten es etwas nennen, wenn es keine bekannte Nummer ist.
Okay, also lassen Sie uns einen einfachen Übergang in den Fall der Funktion machen, da
1 geteilt durch n nähert sich 0, als n unendlich nähert.
Dann können wir es einfach durch eine echte Variable x ersetzen.
So erhalten wir 1 plus x Leistung mit 1 geteilt durch x nähert sich
unserer e-Konstante, wenn x sich 0 nähert, in Ordnung?
Also das ist einfach, das ist ziemlich nett,
das ist im Grunde Verallgemeinerung dessen, was wir bereits wissen.
Die zweite Grenze, die jeder kennt und
über die wir sprechen sollten, ist ein Limitberater in angenommenen geometrischen Regeln.
Hier ist im Grunde die Idee, dass als
ein Winkel sich 0 im Sinus seines Winkels nähert, im Grunde ein Winkel selbst ist.
Oder mit anderen Worten, da die Beziehung zwischen Sinus von x und
x gleich 1 ist, da x sich 0 nähert, rechts.
Also, um einen Sinn zu bekommen, ein Verständnis davon zu bekommen, was es ist?
Lassen Sie uns ein grundlegendes Bild über die Bereiche in diesem Diagramm machen.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass
wir den Kreis mit Radius gleich 1 betrachten.
Also unsere Einheit Kreis und wir betrachten den Sektor mit einem Winkel x, oder?
Was ist also eine Idee hier die Idee hier ist, dass, wenn x im
Bogenmaß gemessen wird, dann ist die Fläche dieses Sektors im Grunde x geteilt durch 2.
Da die Fläche des ganzen Kreises Pi ist, wie Sie sich erinnern, gab es einen Kreis
Pi multipliziert mit dem rechten Quadrat, oder?
Der Bereich dieses Sektors ist also proportional ein halbes X, oder?
Also haben wir hier zwei Dinge,
erstens haben wir ein rotes Dreieck, das in unseren blauen Sektoren liegt.
So hat es eine kleine Fläche und wir haben ein grünes Dreieck visualisieren
, das im Grunde einen Sektor in ihm enthalten hat.
So hat es eine große Fläche beide Seiten des roten
Dreiecks gleich 1 und da wir den Winkel zwischen ihnen kennen.
Dann ist die Fläche von denen 1 multipliziert mit 1 multipliziert mit Sinus seines Winkels
Hälfte oder nur Sinus von x geteilt durch 2.
Das ist schön, also bekommen wir 1, indem wir hier eingeben und was die grüne betrifft,
wissen wir, dass es per Definition eine Seite dieses Dreiecks gleich 1 gibt.
So ist das Dreieck so weit quadratisch wie von unserem Kreis und es gibt die Seiten ist
grundsätzlich per Definition der Tangente Funktion ist Tangente von x.
So, um die Fläche dieses Dreiecks zu berechnen,
müssen wir uns daran erinnern, dass es orthogonal ist.
Außerdem können wir diese beiden Seiten einfach multiplizieren und
sie durch 2 teilen, wie wir eine Tangente von x erhalten, dividiert durch 2, richtig?
Mit anderen Worten ist Sinus von x geteilt durch 2 und
dann geteilt durch Kosinus von x.
Nun, da Kosinusfunktion nähert.
Lassen Sie uns es erneut besuchen, Sie erinnern sich, wie Sinus sich 0 nähert, wenn
x sich 0 Sinuskosinus nähert sich 1, da Sinus sich annähert als x nähert sich 0, richtig.
So nähert es sich 0 und wenn wir beide Seiten durch x zum
Beispiel oder durch Sinus von x teilen, so erhalten wir diesen Sinus von x geteilt durch x nähert sich 1.
Auf beiden Seiten, also haben wir gerade diese Grenze bewiesen, das ist schön.
Also lassen Sie uns zum Beispiel ein Beispiel dafür betrachten.
Wir gehen für die Kombination dieser beiden Grenzen und
berechnen ein Limit als x nähert.
Unendlichkeitssinus von 1 geteilt durch x plus Kosinus von
1 geteilt durch x in Kraft von x, richtig?
Um dies zu tun, nehmen wir zunächst an, dass
wir nur 1 durch x durch eine neue Variable t ersetzt werden.
Und t nähert sich 0, da x Unendlichkeit nähert, oder?
So haben wir eine schönere Form Sinus x plus Kosinus x.
Powered 1 geteilt durch t, lassen Sie uns nur daran erinnern, dass unsere neue Variable t genannt wird.
Alles klar, so, um es richtig zu tun, lassen wir uns einfach
den ursprünglichen Ausdruck hier nochmals besuchen und annehmen, was wir gerade betrachten.
Lassen Sie uns einfach versuchen, unsere ultimativen Regeln zu verwenden,
kann nur die Grenze aller Begriffe hier sehen.
Und zu entscheiden, ob es sich um die unbestimmte Form handelt oder nicht, oder?
Also, wenn x sich der Unendlichkeit nähert, dann nähert sich Sinus 1 geteilt durch x 0, richtig?
Da Sinus von 0 gleich 0 ist, gilt für den Kosinus,
Kosinus von 0 ist 1 also unser Bruch nähert es sich 1.
So, und die ganze Funktion ist im Grunde die unbestimmte Form für
einen Teil Unendlichkeit, oder?
Um das zu vermeiden, werden wir künstlich und doch
die Form unserer Definition von e unserer ersten wichtigen Sache hier, richtig?
Um dies zu tun, müssen wir künstlich hinzufügen und dann subtrahieren.
Die Nummer eins in der Klammer, richtig?
Also haben wir 1 plus etwas, etwas
ist Sinus t plus Kosinus t minus 1, richtig?
Das ist unsere Art von neues x hier, das x von dort
in der Macht von 1 geteilt durch t, richtig.
Wir wissen, dass, wenn wir es durch die
Idee von 1 geteilt geteilt durch x unsere neue x, richtig?
Das ist, dass wir hier einen Exponenten bekommen, also müssen wir dasselbe tun.
Grundsätzlich müssen wir hier künstlich 1 geteilt durch neues x bilden,
um das zu tun, werden wir den rechten Exponenten überqueren.
Und dann multiplizieren wir unsere Macht hier mit Sinus t,
Kosinus t, minus 1, das ist 1, dieser Multiplikator wird uns einen Exponenten bekommen.
Und der Rest davon wird Sinus t bilden, plus Kosinus
t, minus 1 geteilt durch t.
Vielleicht können wir das Limit einfach laut schreiben,
nun, ich bin immer noch irgendwie nicht der Fall für uns.
Weil wir es genau betrachten Sinus t
nähert sich 0, Cosinus t nähert sich 1.
So nähert sich der Nominator 0 und
t 0, wie wir in dem Terminal gebildet 0 geteilt durch 0, richtig?
Aber wenn wir nur Cosinus t minus 1 betrachten.
Wir können uns daran erinnern, dass dies im Grunde die Idee ist, wenn
wir grundlegende symmetrische Formel hier haben, oder?
Weil 1 minus Kosinus 2 Sinus
Quadrat von 1/2 Winkel ist, richtig?
Und wenn wir uns 2 Sinus Quadrat dividiert durch t.
Es ergibt sich im Grunde in Sinus von einem halben t,
geteilt durch ein halbes t, multipliziert mit Sinus von einem halben t, oder?
Und wenn es so wahr ist,
nähert sich die erste dünne nach unserer zweiten wichtigen Grenze 1.
Der zweite Sinus nähert sich 0, also
nähert sich das System 0 und der erste Begriff nähert sich 1.
So bekommen wir Exponent von 1 oder nur unsere Konstante e, okay.
Das war ziemlich kompliziert von uns,
da Sie nur wesentliche Ansichten von zwei wichtigen Grenzen sehen können.
Kann uns grundsätzlich ohne Verallgemeinerungen oder [Unhörbar] zur Antwort bringen.
( KLANG)