L'un d'eux parle de limites fonctionnelles,
il est difficile de ne pas parler de deux très basiques depuis ici.
Qui sont parfois considérés comme importants ou fabuleux quoi que ce soit.
Il y a deux limites que tout le
monde devrait connaître et tout le monde les fait vraiment au moins un peu.
Donc le premier est déjà connu pour nous est la définition de l'exposant, non ?
Base du logarithme naturel quelle que soit la constante E,
alors qu'avons-nous dans le cas de nos séquences.
Maintenant, les séquences avec parler de cela, si nous considérons
la séquence 1 plus 1 divisée par n propulsé n il approche.
Certains nouveaux, nouvellement définis par
la constante de relation de résistance e et c'est une sorte de définition, non ?
Donc, l'astuce là était que cette chose est limitée et non seulement grandit.
Donc, nous avons une sorte de limites et
nous devrions l'appeler quelque chose si ce n'est pas un chiffre connu.
Ok, alors faisons une transition simple dans le cas de la fonction puisque
1 divisé par n approche 0 comme n approche de l'infini.
Ensuite, nous pouvons simplement le remplacer par une variable réelle x.
ainsi, nous obtenons 1 plus x puissance avec 1 divisé par x approche
notre constante e, si x approche 0, d'accord ?
Donc c'est facile, c'est assez sympa,
c'est fondamentalement la généralisation de ce que nous savons déjà.
La deuxième limite que tout le monde
connaît et dont nous devrions parler est un consultant en limites dans les règles géométriques prises.
Ici fondamentalement, l'idée est que comme
un angle approche 0 au sinus de son angle est fondamentalement un angle lui-même.
Ou en d'autres termes, comme la relation entre le sinus de x et
x est égale à 1 comme x approche de 0, à droite.
Donc, pour avoir un sens obtenir une compréhension de ce que c'est ?
Faisons un tableau de base sur les zones de ce graphique.
Par exemple, supposons que
nous considérons le cercle avec un rayon égal à 1.
Donc notre cercle d'unité et nous regardons le secteur avec un angle x, non ?
Donc, quelle est une idée ici l'idée ici est que si x est mesuré en
radians alors la surface de ce secteur variable est fondamentalement x divisé par 2.
Puisque la zone du cercle entier est pi comme vous vous souvenez qu'il y avait un cercle est
pi multiplié par le droit de carré, non ?
Donc, la superficie de ce secteur est proportionnellement un demi-x, n'est-ce pas ?
Nous avons donc deux choses ici,
premièrement, nous avons un triangle rouge qui se trouve dans nos secteurs bleus.
Ainsi, il a une petite zone et nous avons un triangle vert visualiser
qui a fondamentalement un secteur inclus dans celui-ci.
Ainsi, il a une grande surface des deux côtés du
triangle rouge égale à 1 et puisque nous connaissons l'angle entre eux.
Ensuite, la surface de laquelle est 1 multipliée par 1 multipliée par le sinus de sa
moitié d'angle ou juste sinus de x divisé par 2.
C' est bien, donc nous obtenons 1 en entrant ici et comme pour le vert,
nous savons qu'il y a par définition un côté de ce triangle est égal à 1.
Donc, le triangle jusqu'à présent est carré comme de notre cercle et il y a les côtés est
fondamentalement par définition de la fonction tangente est tangente de x.
Ainsi, afin de calculer la zone de ce triangle,
nous devons nous rappeler qu'il est orthogonale.
De plus, nous pouvons simplement multiplier ces deux côtés et
les diviser par 2 car nous obtenons une tangente de x divisée par 2, non ?
En d'autres termes est sinus de x divisé par 2
puis divisé par cosinus de x.
bien depuis la fonction cosinus approche.
Revisitons-le, vous vous souvenez que le sinus approche 0 si
x approche 0 cosinus sinusoïdal approche 1 comme le sinus approche que x approche 0, à droite.
Ainsi, il approche 0 et si nous divisons les deux côtés par x par
exemple ou par sinus de x, nous obtenons donc ce sinus de x divisé par x approches 1.
Dans les deux côtés, donc nous avons juste prouvé cette limite, c'est sympa.
Prenons donc par exemple un exemple pour cela.
Nous allons opter pour la combinaison de ces deux limites et
calculer une limite à mesure que x approche.
Infini sinus de 1 divisé par x plus cosinus de
1 divisé par x en puissance de x, non ?
Donc, pour le faire, supposons tout d'abord que
nous substituons simplement 1 divisé par x par une nouvelle variable t.
Et t approche 0 à mesure que x approche de l'infini, non ?
Ainsi, nous avons une forme plus agréable sinus x plus
cosinus x. alimenté 1 divisé par t, rappelons simplement que notre nouvelle variable est appelée t.
Très bien, donc pour le faire correctement, nous nous laissons juste revisiter
l'expression initiale ici et supposons ce que nous regardons.
Il suffit d'essayer d'utiliser nos règles ultimes,
juste peut voir la limite de tous les termes ici.
Et de décider s'il s'agit ou non de la forme indéterminée, n'est-ce pas ?
Donc, si x approche l'infini alors le sinus 1 divisé par x approche 0, non ?
Parce que le sinus de 0 est 0 même s'applique pour le
cosinus, cosinus de 0 est 1 donc notre rupture il approche 1.
Ainsi, et toute la fonction est fondamentalement la forme indéterminée pour
une partie de l'infini, non ?
Donc, pour éviter cela, nous allons faire artificiellement
la forme de notre définition de e de notre première chose importante ici, non ?
Donc, pour ce faire, nous devons ajouter artificiellement, puis soustraire.
Le numéro un dans la parenthèse, non ?
Donc on a 1 plus quelque chose, quelque chose
est sine t plus cosinus t moins 1, non ?
C' est notre genre de nouveau x ici, le x de là
dans la puissance de 1 divisé par t, à droite.
Nous savons que si nous le divisons par l'
idée même de 1 divisé par x notre nouveau x, non ?
C' est qu'on a un exposant ici, donc on doit faire la même chose.
Fondamentalement, nous devons former artificiellement 1 divisé par nouveau x ici,
pour ce faire, nous allons traverser le bon exposant.
Et puis nous allons multiplier notre puissance ici par sinus t,
cosinus t, moins 1 qui est 1 ce multiplicateur nous donnera un exposant.
Et le reste formera sinus t, plus le
cosinus t, moins 1 divisé par t.
Alors est-il suffisant ?
Peut-être qu'on peut juste écrire la limite à haute voix,
eh bien, je n'ai toujours pas le cas pour nous.
Parce que regardons de près le sinus t
approche 0, cosinus t approche 1.
Ainsi, tout le nominateur approche 0 et
t approche 0 comme nous avons obtenu dans le terminal formé 0 divisé par 0, non ?
Mais si nous considérons juste cosinus t moins 1.
Nous pouvons nous rappeler que c'est fondamentalement l'idée quand
nous avons la formule de base pour être symétrique ici, non ?
Parce que 1 moins cosinus est 2 sinusoïdaux
carrés de 1/2 un angle, non ?
Et si nous regardons 2 sinus carrés divisés par t.
Il en résulte essentiellement en sinus d'un demi-t,
divisé par un demi-t, multiplié par un sinus d'un demi-t, non ?
Et si c'est vrai ainsi, la première mince
selon notre deuxième limite importante approche 1.
Le second sinus approche 0, donc le système
approche 0 et le premier terme approche 1.
Ainsi, nous obtenons exposant de 1 ou juste notre constante e, ok.
Cela a été assez compliqué de notre part,
car vous pouvez voir des vues substantielles sur deux limites importantes.
Peut nous amener essentiellement à la réponse sans généralisations ou [INAUDIBLE].
[ SON]