Uno di questi sta parlando di limiti funzionali,
è difficile non parlare di due molto basilari da qui.
Che a volte sono indicati come importanti o favolosi di sorta.
Ci sono due limiti che tutti dovrebbero conoscere e
tutti lo fanno davvero almeno un bel po '.
Quindi il primo è già noto per noi è la definizione di esponente, giusto?
Base del logaritmo naturale di sorta la costante E,
quindi cosa abbiamo in caso delle nostre sequenze.
Ora sequenze con parlare di questo, se stiamo considerando
la sequenza 1 più 1 diviso per n alimentato n si avvicina.
Qualche nuovo, appena definito
dalla costante di relazione resistenza e e che è una specie di definizione, giusto?
Quindi il trucco c'era che questa cosa è limitata e non solo cresce.
Quindi, abbiamo qualche tipo di limite e
dovremmo chiamarlo qualcosa se non è un numero noto.
Ok, quindi facciamo una semplice transizione nel caso della funzione poiché
1 diviso per n approcci 0 come n si avvicina all'infinito.
Quindi possiamo semplicemente sostituirlo con una variabile reale x.
Così, otteniamo 1 più x potenza con 1 diviso per x si avvicina la
nostra e costante, se x si avvicina a 0, va bene?
Quindi è facile, è abbastanza bello,
che è fondamentalmente generalizzazione di ciò che già sappiamo.
Il secondo limite che tutti conoscono e
là di cui dovremmo parlare è un consulente di limiti nelle regole geometriche prese.
Qui fondamentalmente l'idea è che quando
un angolo si avvicina a 0 al seno del suo angolo è fondamentalmente un angolo stesso.
O in altre parole come la relazione tra seno di x e
x è uguale a 1 come x si avvicina a 0, a destra.
Quindi, al fine di avere un senso ottenere una comprensione di ciò che è?
Facciamo qualche quadro di base sulle aree di questo grafico.
Ad esempio,
supponiamo che stiamo considerando il cerchio con raggio uguale a 1.
Quindi il nostro cerchio unitario e stiamo guardando il settore con un angolo x, giusto?
Quindi qual è un'idea qui l'idea qui è che se x è misurata in
radianti allora l'area di questo settore variabile è fondamentalmente x divisa per 2.
Dal momento che l'area di tutto il cerchio è pi come si ricorda c'era un cerchio è
pi moltiplicato per il diritto di quadrato, giusto?
Quindi l'area di questo settore è proporzionalmente mezza x, giusto?
Quindi qui abbiamo due cose: in
primo luogo abbiamo un triangolo rosso che si trova all'interno dei nostri settori blu.
Così, ha una piccola area e abbiamo una visualizzazione triangolo verde
che ha fondamentalmente un settore incluso in esso.
Così, ha una grande area entrambi i lati del
triangolo rosso uguale a 1 e dal momento che conosciamo l'angolo tra di loro.
Quindi l'area di cui è 1 moltiplicato per 1 moltiplicato per seno del suo angolo
metà o solo seno di x diviso per 2.
Questo è bello, quindi otteniamo 1 per entrare qui e per quanto riguarda quello verde,
sappiamo che per definizione c'è un lato di questo triangolo uguale a 1.
Così il triangolo finora è quadrato come del nostro cerchio e ci sono i lati è
fondamentalmente per definizione della funzione tangente è tangente di x.
Così, per calcolare l'area di questo triangolo,
dobbiamo ricordare che è ortogonale.
Inoltre possiamo semplicemente moltiplicare questi due lati e
dividerli per 2 come otteniamo una tangente di x diviso per 2, giusto?
In altre parole è seno di x diviso per 2 e
poi diviso per coseno di x.
Bene poiché la funzione coseno si avvicina.
Cerchiamo di rivisitarlo, ti ricordi come seno si avvicina a 0 se
x si avvicina a 0 coseno sinusoidale si avvicina a 1 come x si avvicina a 0, giusto.
Così si avvicina a 0 e se dividiamo entrambi i lati per x per
esempio o per seno di x così otteniamo quel seno di x diviso per x approcci 1.
Da entrambe le parti, quindi abbiamo appena dimostrato questo limite, è bello.
Quindi consideriamo per esempio qualche esempio per esso.
Stiamo andando per andare per la combinazione di questi due limiti e
calcolare un limite come x approcci.
Infinito seno di 1 diviso per x più coseno di
1 diviso per x in potenza di x, giusto?
Quindi, per fare, in primo luogo
supponiamo che sostituiamo solo 1 diviso per x da una nuova variabile t.
E t si avvicina a 0 come x si avvicina all'infinito, giusto?
Così, abbiamo una forma più bella seno x più coseno x.
Powered 1 diviso per t, solo cerchiamo di ricordarci che la nostra nuova variabile è chiamata t.
Va bene, quindi per farlo correttamente, abbiamo solo lasciarci rivedere
l'espressione iniziale qui e assumere ciò che stiamo guardando.
Cerchiamo solo di usare le nostre ultime regole,
basta vedere il limite di tutti i termini qui dentro.
E per decidere se è o meno la forma indeterminata, giusto?
Quindi se x si avvicina all'infinito allora seno 1 diviso per x si avvicina a 0, giusto?
Poiché il seno di 0 è 0 stesso vale per il coseno,
coseno di 0 è 1 quindi la nostra rottura si avvicina 1.
Quindi, e tutta la funzione è fondamentalmente la forma indeterminata per
una parte infinito, giusto?
Quindi, per evitare questo stiamo andando a artificialmente ancora
la forma della nostra definizione di e della nostra prima cosa importante qui, giusto?
Quindi, per fare questo, dobbiamo aggiungere artificialmente e quindi sottrarre.
Il numero uno nella staffa, giusto?
Quindi abbiamo 1 più qualcosa, qualcosa
è seno t più coseno t meno 1, giusto?
Questo è il nostro tipo di nuova x qui, la x da lì
nel potere di 1 diviso per t, giusto.
Sappiamo che se lo dividiamo per l'
idea stessa di 1 diviso per x la nostra nuova x, giusto?
Questo è che abbiamo un esponente qui, quindi dobbiamo fare lo stesso.
Fondamentalmente abbiamo bisogno di formare artificialmente 1 diviso
per la nuova x qui, per farlo, attraverseremo l'esponente giusto.
E poi stiamo andando a moltiplicare il nostro potere qui per seno t,
coseno t, meno 1 che è 1 questo moltiplicatore ci porterà un esponente.
E il resto formerà seno t, più coseno t,
meno 1 diviso per t
Quindi è sufficiente?
Forse possiamo scrivere il limite ad alta voce,
beh, io ancora non e' il caso per noi.
Perché guardiamo da vicino sine t si
avvicina a 0, coseno t si avvicina 1.
Così tutto il nominatore si avvicina 0 e
t si avvicina a 0 come abbiamo ottenuto nel terminale formato 0 diviso per 0, giusto?
Ma se consideriamo solo il coseno t meno 1.
Possiamo ricordare che questa è fondamentalmente l'idea quando
abbiamo base per essere formula simmetrica qui, giusto?
Perché 1 meno coseno è 2 seno
al quadrato di 1/2 un angolo, giusto?
E se guardiamo a 2 seno al quadrato diviso per t.
Fondamentalmente si traduce in seno di mezza t,
diviso per mezzo t, moltiplicato per seno di mezza t, giusto?
E se è vero così, il primo sottile secondo il
nostro secondo limite importante si avvicina 1.
Il secondo seno si avvicina a 0, quindi il sistema
si avvicina a 0 e il primo termine si avvicina a 1.
Quindi, otteniamo esponente di 1 o solo la nostra costante e, ok.
Questo è stato piuttosto complicato da parte nostra,
come potete vedere solo punti di vista sostanziali su due limiti importanti.
Può portarci fondamentalmente alla risposta senza generalizzazioni o [INUDIBILE].
[ SUONO]