في الآونة الأخيرة، ناقشنا الحالة التي
تتعلق فيها وظيفتان ببعضهما البعض كمضاعف ثابت.
ولكن في بعض الأحيان، من الجميل أن نفهم أن وظيفة واحدة،
على سبيل المثال، تنخفض بشكل أسرع بما فيه الكفاية،
وتنمو أسرع بما فيه الكفاية من غيرها.
على سبيل المثال، ضع في اعتبارك حالة x مربع،
و x حول الصفر.
إذا كنت تتذكر، فإن
الرسوم البيانية، بشكل أساسي x مربع،
و x ترتبط بالطريقة التالية،
ينخفض x التربيع إلى الصفر حيث يقترب x من الصفر،
أسرع بكثير من x نفسه.
بطريقة ما، هو أسرع بما فيه الكفاية،
وهذا يعني أنه لا يمكن اقتطاع إلى حالة
أسرع من بعض عدد محدود من المرات، كما هو الحال في big-o.
حتى نتمكن من القول انها علاقة مختلفة إذا كانت
العلاقة التي تسمى قليلا س
أو لانهائية نحو وظيفة أخرى.
ومن هنا. هناك صورة جميلة لدينا س،
س مربع، و س السلطة 3.
تسمى وظيفة واحدة غير
متناهية الصغر نحو الآخر،
إذا كانت علاقتها تقترب من 0
حيث تقترب x من نقطة الحد لدينا
D. هذا هو تعريفنا الرسمي.
وبعبارة أخرى، وظيفة واحدة هي وظيفة لا نهاية لها،
ألفا مضروبا في ذلك. هذا أسهل بكثير
في حالة x مربع،
انها في الأساس x مضروبة في وظيفة اللانهائية x
. دعونا ننظر في بعض الأمثلة.
على سبيل المثال، إلى حد كبير نفس الشيء،
لا شيء يتغير هنا.
تبدأ مع اثنين من كثيرات الحدود. ماذا يجب أن نقرر؟
يجب أن نقرر ما إذا كانت
علاقتهم تقترب من 0 على سبيل المثال،
دعونا نبدأ مع X النهج 0.
هل تقترب هذه العلاقة من 0؟
دعونا نكتب بطريقة X السلطة ن ناقص م،
ويقترب من 0 في حالة إذا كان n أكبر من م،
لأنه إذا كانت هذه القوة سلبية،
ثم لدينا نفس شرط
1 مقسوما على X، أن يقترب ما لا نهاية.
لذلك يتم حل هذه القضية،
ولكن ماذا عن X يقترب ما لا نهاية؟
هذا هو في الأساس العكس،
كل نفس الجيب،
يجب أن تكون هذه القوة سلبية
بحيث تكون 1 مقسوما على X أو نحو ذلك،
الذي يقترب من 0 كما X يقترب من اللانهاية.
الذهاب إلى الإجهاد من المجلدات.
لا يوجد أقل أو يساوي أو أكبر و يساوي.
هنا هذه هي أوجه عدم المساواة الصارمة.
هذا هو في الأساس الفرق بين
القليل o و big-o من حيث كثيرات الحدود.
أما بالنسبة لمثالنا هنا،
فإننا سنحكم بفكرة عن
شرط X و X بينما تقترب من 0.
إذن ما نعرفه؟
نحن نعلم أن جيب X مقسوما على X يجب أن
يقترب من 0
من أجل أن يكون واحد بلا حدود نحو الآخر.
جيب نحو x
ولكن كما ترون بوضوح من خلال
الحد الثاني الأكثر أهمية لدينا، فإنه يقترب من 1.
لذلك إذا
اقترب X من 0، فإن جيب X ليس غير متناهي نحو X،
فهو يعادل X.
حسنا، إنه مبني في ذلك.
ولكن في حالة إقترب X من اللانهاية،
هذا هو الحد الذي قمنا بتغطيته
مؤخرًا، أنت تتذكر.
هذه هي وظيفة محصورة،
جيب مضروبا في وظيفة لا نهاية لها 1 مقسوما على X،
وبالتالي فإن الحد يساوي 0،
ويحتفظ تدوين صغير س.
الجيب هو اللانهائي نحو X
إذا كان X غير محدود. هذا لطيف
وبما أننا نعرف تعريف التدوين الصغير،
دعونا نعيد النظر فيه.
أولا، ما ذكرناه؟
ذكرنا أن f
هو صغير o نحو g أو f هو اللانهائي نحو g،
إذا كانت علاقة تقترب 0، أو بعبارة أخرى،
f هو نتيجة لمنتج
بعض الوظائف اللانهائية ووظيفة g.
لذلك دعونا ننظر في هذا اللغز التالي.
ماذا يعني إذا كانت بعض
الوظائف صغيرة أو نحو وظيفة ثابتة واحدة؟
أما بالنسبة للمقاربات المعقدة A،
فلا يهم في الواقع حالتنا.
وهذا يعني أساسا أن هذه الوظيفة و
هي نتيجة لمنتج
وظيفة n اللانهائية 1، ثابت 1.
وهذا يعني أساسا أن وظيفتنا هي بلا حدود.
مكتوب هنا ولكن أيضا،
دعونا نفترض الحالة التالية.
افترض أن وظيفتنا و لديها حد،
على سبيل المثال، رأس المال A هو النقطة A.
وهكذا، فإن الدالة و ناقص A،
عاصمتنا A. F ناقص الحد الأقصى
هو اللانهائي بقواعدنا الحسابية،
نعم، X يقترب نقطة الحد.
وهكذا، يمكننا أن نكتب أن
f ناقص A هو قليلا س نحو 1،
أو بعبارة أخرى،
f هو الحد الأقصى بالإضافة إلى بعض وظيفة اللانهائية.
هذا كل ذلك، ولكن هذا تدوين لطيف.
لماذا؟ لأنه دعونا ننظر، على سبيل المثال،
الحد الثاني المهم لدينا هنا.
في الأساس، باستخدام علاقتنا القائمة للتو
بين حد الدالة والتدوين الصغير،
يمكننا أن نستمد ذلك بالطريقة التي جيب x مقسومًا على x
يساوي 1 زائد o قليلاً نحو 1.
هذا لطيف
ولكن بعد ذلك يمكنك فقط إعادة كتابتها بالطريقة التالية،
دعونا نضرب جانبي المعادلة بواسطة X هنا.
وهكذا، نحصل على شرط X يساوي X زائد.
ها هي الخدعة
سابقا، يجب أن نكتب X
مضروبا في س قليلا نحو 1.
ولكن كنت لا تذكر،
قليلا س نحو 1 هو
في الأساس أي وظيفة لا نهاية لها.
ولكن ما هو
نتاج وظيفة اللانهائية وبعض الوظائف الأخرى؟
إنها وظيفة لا نهائية نحو الوظيفة نفسها.
في الأساس، هنا، انها مكتوبة قليلا س نحو X.
لذلك دعونا مجرد تبادل ذلك.
وبعبارة أخرى، الضرب
من حيث التدوين الصغير،
إنه كيان ساذج، يمكنك فقط ضربه،
وليس الوظيفة نفسها،
ولكن فقط حجة التدوين الصغير.
فلماذا يساعدنا ذلك؟
دعونا نعيد كتابة هذه العلاقة من حيث نصف زاوية.
على سبيل المثال، جيب X مقسوما على
2 هو X مقسوما على 2 زائد، مرة أخرى،
نحن بحاجة إلى
كتابة رسميا قليلا س نحو X مقسوما على 2،
ولكن بما أننا نتحدث عن وظائف لا نهاية لها،
فإن التقسيم على 2 لا يغير حقيقة
أننا ننظر إلى وظيفة لا نهاية لها.
انها في الواقع سوف تلبي أي ثابت الذي يظهر
في الترميز اللانهائي هنا،
وفقط اكتب قليلا س نحو س.
لذلك تذكر، علم المثلثات الأساسي،
1 ناقص جيب التمام من X هو 2 جيب جيب مربع من نصف زاوية.
دعونا نستبدل
جيبنا لنصف زاوية مع تدوين صغير
وهكذا، نحصل على وظيفة جيب التمام هو 1 ناقص 2،
X مقسوما على 2 زائد قليلا س نحو X مربع.
أو بعبارة أخرى،
1 ناقص X مربعة مقسومة على 2 ناقص،
وهذا سيكون معقدًا بشكل غير عادي،
لكننا سنعيش من خلاله.
مجرد عقد على. أولا وقبل كل شيء،
نحن بحاجة إلى كتابة بعناية أسفل ما نحصل عليه هنا.
يجب أن نحصل على 2 مضروبا في X مقسوما على 2،
اضربه قليلا س نحو
X. لذلك نحصل على 2X قليلا س نحو X،
ناقص 2 قليلا س نحو X مربع.
لذلك دعونا نقضي بعض الوقت مع الفترتين الأخيرتين هنا.
في الأساس، [غير مسموع] هو مضاعف ثابت،
ونحن نعرف لا يهم،
يمكننا أن نعترف فقط أن نقول متساوية لتدوين صغير س.
نحن ننظر إلى الضرب بواسطة X،
سنقوم فقط بإنشاء التي
يمكن وضعها بسهولة في حجة التدوين الصغير.
وهكذا، فإن هذا المصطلح هو
في الأساس اللانهائي نحو X التربيع.
وينطبق الشيء نفسه
في حالة الفترة الثانية على النحو التالي.
إذا كان لدي اثنين من الوظائف اللانهائية نحو X،
وبالتالي انها في الأساس وظيفة لا نهاية
لها مضروبة في X مربع.
وهكذا نحصل على
مربعة لا نهاية لها مضروبة في X مربع،
أو ببساطة لا نهاية لها نحو X مربع. إنه سهل
لذلك،
نحصل على 1 ناقص X مربع مقسوما على 2،
بالإضافة إلى القليل س نحو X مربع.
هذا هو الفهم التقارب
لوظيفة جيب التمام في حي
X، انها في الأساس 1.
ثم نحصل على وظيفة التربيعية المربعة. هذا لطيف
بالنسبة للبعض منكم الذين يعرفون،
وهذا هو أساسا
بداية سلسلة القنوات لوظيفة جيب التمام.
القيام به
للغاية، بسهولة سريعة للغاية للتدوين الصغير س.