In letzter Zeit haben wir den Fall diskutiert, in dem zwei Funktionen
sich als konstanter Multiplikator zueinander beziehen.
Aber manchmal ist es schön zu verstehen, dass eine Funktion
zum Beispiel schneller abnimmt,
ausreichend schneller wächst als andere.
Betrachten Sie beispielsweise den Fall von x quadriert
und x um Null.
Wenn Sie sich erinnern,
Graphen, im Grunde x quadriert,
und x beziehen sich auf die folgende Weise,
x quadriert sinkt auf Null, als x nähert sich Null,
viel schneller als x selbst.
In gewisser Weise ist es ausreichend schneller,
das bedeutet, dass es nicht auf den Fall
schneller abgeschnitten werden kann als einige endliche Anzahl von Malen, wie in big-o.
So können wir sagen, dass es eine andere Beziehung ist, wenn es eine
Beziehung ist, die Little-o
oder Infinitesimal gegenüber einer anderen Funktion genannt wird.
Es ist hier. Es gibt ein schönes Bild von unserem x,
x quadriert, und x power 3.
Eine Funktion wird Little-o
Infinitesimal zur anderen genannt,
wenn ihre Beziehung 0 annähert,
da x sich unserem Grenzpunkt
D nähert. Das ist unsere formale Definition.
Mit anderen Worten, eine Funktion ist Infinitesimal-Funktion,
Alpha multipliziert damit. Das ist ganz einfacher.
Im Falle von x quadriert,
ist es im Grunde x multipliziert mit Infinitesimal-Funktion x.
Das ist schön. Lassen Sie uns einige Beispiele betrachten.
Zum Beispiel, so ziemlich das Gleiche,
nichts ändert sich hier.
Beginnen Sie mit zwei Polynomen. Was sollten wir entscheiden?
Wir sollten entscheiden, ob
ihre Beziehung 0 annähert oder nicht, wie zum Beispiel,
beginnen wir mit X Ansätze 0.
Nähert sich diese Beziehung 0?
Lassen Sie uns es in einer Weise schreiben X Leistung n minus m,
und es nähert sich 0 in dem Fall, wenn n größer als m ist,
denn wenn diese Macht negativ ist,
dann haben wir den gleichen Sinus
wie 1 geteilt durch X, das nähert sich unendlich.
Also ist dieser Fall gelöst,
aber was ist mit X nähert sich der Unendlichkeit?
Das ist im Grunde umgekehrt,
alle den gleichen Sinus,
diese Macht sollte negativ sein, um
1 geteilt durch X oder so weiter zu sein,
was sich 0 annähert, wenn X sich der Unendlichkeit nähert.
Gehen, um die Ordner zu betonen.
Es gibt nicht weniger oder gleich oder größer und gleich.
Hier sind das strenge Ungleichheiten.
Das ist im Grunde der Unterschied zwischen
little-o und big-o in Bezug auf das Polynom.
Wie für unser Beispiel hier,
werden wir mit einer Idee von
Sinus von X und X herrschen, wie es sich 0 nähert.
Also, was wir wissen?
Wir wissen, dass Sinus von X geteilt durch X sollte
sich 0 nähern
, damit er unendlich eins zum anderen ist.
Sinus in Richtung x.
Aber wie Sie an
unserer zweitwichtigsten Grenze deutlich sehen können, nähert es sich 1.
Also, wenn X sich 0 annähert,
ist Sinus von X nicht Infinitesimal gegenüber X,
es ist äquivalent zum X.
Nun, es ist darin eingebaut.
Aber für den Fall,
dass X sich der Unendlichkeit nähert, ist das die Grenze, die wir in
letzter Zeit abgedeckt haben, Sie erinnern sich.
Dies ist eine begrenzte Funktion,
Sinus multipliziert mit Infinitesimal-Funktion 1 geteilt durch X,
so dass die Grenze gleich 0,
und Little-o-Notation hält.
Sinus ist Infinitesimal in Richtung X
, wenn X unbegrenzt ist. Das ist schön.
Da wir die Definition der Little-o-Notation kennen,
lassen Sie uns sie noch einmal überdenken.
Erstens, was wir gesagt haben?
Wir haben festgestellt, dass f
wenig-o in Richtung g oder f ist infinitesimal in Richtung g,
wenn es eine Beziehung nähert sich 0, oder mit anderen Worten,
f ist ein Ergebnis von Produkt einer
Infinitesimal-Funktion und g-Funktion.
Also lassen Sie uns dieses folgende Rätsel betrachten.
Was bedeutet es, wenn
eine Funktion wenig o in Richtung der konstanten Funktion eins ist?
Was komplexe Ansätze A angeht,
spielt es für unseren Fall keine Rolle.
Es bedeutet im Grunde, dass diese Funktion f
das Ergebnis des Produkts der
Infinitesimal n Funktion 1, Konstante 1.
Das bedeutet im Grunde, dass unsere Funktion unendlich ist.
Hier geschrieben. Aber auch,
lassen Sie uns den folgenden Fall annehmen.
Angenommen, unsere Funktion f hat eine Grenze,
zum Beispiel, Großbuchstabe A ist der Punkt A.
So ist die Funktion f minus A,
unser Kapital A. F minus seine Grenze
ist unendlich durch unsere arithmetischen Regeln,
ja, X nähert sich Grenzpunkt.
So können wir es aufschreiben, dass
f minus A klein-o in Richtung 1 ist,
oder mit anderen Worten,
f ist seine Grenze plus einige Infinitesimal-Funktion.
Das ist alles, aber das ist eine nette Schreibweise.
Warum? Denn lassen Sie uns zum Beispiel
unsere zweite wichtige Grenze hier in Betracht ziehen.
Grundsätzlich
können wir mit unserer gerade etablierten Beziehung zwischen Funktionsgrenze und Little-o-Notation sie so ableiten, dass Sinus x geteilt durch x
gleich 1 plus klein-o in Richtung 1 ist.
Das ist schön.
Aber dann können Sie es einfach in der folgenden Weise neu schreiben,
lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit X hier multiplizieren.
So erhalten wir Sinus X gleich X plus.
Hier kommt der Trick.
Früher sollten wir X
multipliziert mit wenig-o in Richtung 1 schreiben.
Aber Sie erinnern sich,
wenig-o in Richtung 1 ist
im Grunde jede Infinitesimal-Funktion.
Aber was ist das Produkt
der Infinitesimal-Funktion und einer anderen Funktion?
Es ist Infinitesimal-Funktion gegenüber der Funktion selbst.
Grundsätzlich ist es hier wenig-o in Richtung X geschrieben,
also lasst uns es einfach austauschen.
Mit anderen Worten, Multiplikation
in Bezug auf die Little-o-Notation,
es ist naive Entität, Sie können es einfach multiplizieren,
nicht die Funktion selbst,
sondern nur das Argument der Little-o-Notation.
Warum hilft es uns also?
Lassen Sie uns diese Beziehung in Form eines halben Winkels neu schreiben.
Zum Beispiel Sinus von X geteilt
durch 2 ist X geteilt durch 2 plus, noch einmal
müssen wir formell
klein-o in Richtung X geteilt durch 2 schreiben,
aber da wir über Infinitesimal-Funktionen sprechen,
ändert die Division durch 2 nicht die Tatsache, dass wir
auf die Infinitesimal-Funktion suchen.
Es wird tatsächlich jede Konstante treffen, die
hier in Infinitesimal-Notation erscheint,
und schreiben Sie einfach klein-o in Richtung x.
Also denken Sie daran, grundlegende Trigonometrie,
1 minus Kosinus von X ist 2 Sinus Quadrat eines halben Winkels.
Ersetzen wir unseren Sinus eines halben Winkels
durch unsere schicke kleine O-Notation.
So erhalten wir die Kosinusfunktion ist 1 minus 2,
X geteilt durch 2 plus klein-o in Richtung X quadriert.
Oder mit anderen Worten,
1 minus X Quadrat geteilt durch 2 Minus,
das wird außerordentlich kompliziert sein,
aber wir werden es durchleben.
Halten Sie sich einfach fest. Zuerst
müssen wir sorgfältig aufschreiben, was wir hier bekommen.
Wir sollten 2 multipliziert mit X geteilt durch 2 bekommen,
multiplizieren Sie es mit wenig-o in Richtung X,
also bekommen wir 2x wenig-o in Richtung X,
minus 2 wenig-o in Richtung X quadriert.
Lassen Sie uns also einige Zeit mit den letzten beiden Begriffen hier verbringen.
Grundsätzlich ist [unhörbar] ein konstanter Multiplikator, von
dem wir wissen, dass es keine Rolle spielt,
wir können es einfach zugeben, um gleich für kleine o-Notation zu sagen.
Wir betrachten eine Multiplikation mit X,
wir werden nur feststellen, dass leicht
in das Argument der Little-o-Notation gesetzt werden kann.
Daher ist dieser Begriff
im Grunde Infinitesimal in Richtung X quadriert.
Gleiches gilt für
die zweite Amtszeit folgendermaßen.
Wenn ich zwei Funktionen infinitesimal in Richtung X habe,
ist es im Grunde Infinitesimal-Funktion
multipliziert mit X quadriert.
So erhalten wir Infinitesimal
Quadrat multipliziert mit X quadriert,
oder einfach Infinitesimal in Richtung X quadriert. Es ist einfach.
Als Ergebnis
erhalten wir 1 minus X Quadrat geteilt durch 2,
plus klein-o in Richtung X quadriert.
Dies ist das asymptotische Verständnis der
Kosinusfunktion in der Nachbarschaft
von X, es ist im Grunde 1.
Dann erhalten wir unsere quadratische quadratische Funktion. Das ist schön.
Für einige von euch, die es wissen,
ist das im Grunde der Beginn
der Kanalserie für die Kosinusfunktion.
Extrem,
leicht extrem schnell für die Little-o-Notation.