Recientemente, hemos discutido el caso en el que dos funciones
se relacionan entre sí como un multiplicador constante.
Pero a veces, es bueno entender que una función,
por ejemplo, disminuye lo suficientemente rápido,
crece lo suficientemente más rápido que otras.
Por ejemplo, considere el caso de x cuadrado,
y x alrededor de cero.
Si recuerdas,
los gráficos, básicamente x cuadrado,
y x se relacionan de la siguiente manera,
x cuadrado disminuye a cero a medida que x se aproxima a cero,
mucho más rápido que x mismo.
En cierto modo, es lo suficientemente rápido,
eso significa que no puede ser truncado en el caso
de más rápido que un número finito de veces, como en big o.
Entonces podemos decir que es una relación diferente si es
relación que se llama poco
o infinitesimal hacia alguna otra función.
Es aquí. Hay una bonita imagen de nuestro x,
x cuadrado, y x poder 3.
Una función se llama poco o
infinitesimal hacia la otra,
si su relación se acerca a 0
como x se acerca a nuestro punto límite
D. Esa es nuestra definición formal.
En otras palabras, una función es la función infinitesimal,
Alfa multiplicada por eso. Eso es bastante más fácil.
En caso de x al cuadrado,
es básicamente x multiplicado por la función infinitesimal
x. Consideremos algunos ejemplos.
Por ejemplo, casi lo mismo,
nada cambia aquí.
Comience con dos polinomios. ¿Qué debemos decidir?
Deberíamos decidir si
su relación se aproxima o no a 0 como por ejemplo,
comencemos con X enfoques 0.
¿ Esta relación se acerca a 0?
Vamos a escribirlo de una manera X potencia n menos m,
y se acerca a 0 en el caso si n es mayor que m,
porque si esta potencia es negativa,
entonces tenemos el
mismo seno que 1 dividido por X, que se acerca al infinito.
Entonces este caso está resuelto,
pero ¿qué pasa con X se acerca al infinito?
Eso es básicamente viceversa, de
todos modos el mismo seno,
este poder debe ser negativo para que
sea 1 dividido por X o así sucesivamente,
que se aproxima a 0 cuando X se acerca al infinito.
Voy a estresar las carpetas.
No hay menor o igual o mayor e igual.
Aquí se trata de desigualdades estrictas.
Esa es básicamente la diferencia entre
poco o y grande en términos de polinomio.
En cuanto a nuestro ejemplo aquí,
vamos a gobernar con una idea de
seno de X y X a medida que se acerca a 0.
Entonces, ¿qué sabemos?
Sabemos que el seno de X dividido por X debería
acercarse a 0
para que sea infinitesimal uno hacia el otro.
Sine hacia x.
Pero como se puede ver claramente por
nuestro segundo límite más importante, se acerca a 1.
Así que si X se acerca a 0, el
seno de X no es infinitesimal hacia X,
es equivalente hacia la X.
Bueno, está construido en eso.
Pero en caso de que X se acerque al infinito,
ese es el límite que hemos cubierto
recientemente, lo recuerdas.
Esta es la función delimitada,
seno multiplicado por la función infinitesimal 1 dividido por X, por
lo tanto el límite es igual a 0,
y la notación poco o se mantiene.
El seno es infinitesimal hacia X
si X está ilimitado. Eso es bonito.
Ya que conocemos la definición de la notación poco o,
volvamos a visitarla.
En primer lugar, ¿qué hemos dicho?
Declaramos que f es
poco o hacia g o f es infinitesimal hacia g,
si se trata de una relación aproximada a 0, o en otras palabras,
f es un resultado del producto de
alguna función infinitesimal y función g.
Así que consideremos este siguiente rompecabezas.
¿ Qué significa si alguna función
es poco o hacia la función constante uno?
En cuanto a los enfoques complejos
A, en realidad no importa para nuestro caso.
Básicamente significa que esta función f es
el resultado del producto de la
función n infinitesimal 1, constante 1.
Eso significa básicamente que nuestra función es infinitesimal.
Escrito aquí. Pero también,
supongamos el siguiente caso.
Supongamos que nuestra función f tiene un límite,
por ejemplo, mayúscula A es el punto A.
Por lo tanto, la función f menos A,
nuestra A. F mayúscula menos su límite
es infinitesimal por nuestras reglas aritméticas,
sí, X se aproxima punto límite.
Por lo tanto, podemos escribir que
f menos A es poco hacia 1,
o en otras palabras,
f es su límite más alguna función infinitesimal.
Eso es todo eso, pero es una buena notación.
¿ Por qué? Porque consideremos, por ejemplo,
nuestro segundo límite importante.
Básicamente, usando nuestra relación recién establecida
entre el límite de función y la notación poco o,
podemos derivarla de la manera en que seno x dividido por x
es igual a 1 más poco o hacia 1.
Eso es bonito.
Pero entonces usted puede simplemente reescribirlo de la siguiente manera,
vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por X aquí.
Por lo tanto, obtenemos seno X es igual a X plus.
Aquí viene el truco.
Anteriormente, deberíamos escribir X multiplicado
por poco o hacia 1.
Pero recuerdas,
poco hacia 1 es
básicamente cualquier función infinitesimal.
Pero, ¿cuál es el producto
de la función infinitesimal y alguna otra función?
Es función infinitesimal hacia la función misma.
Básicamente, aquí, está escrito un poco hacia X.
Así que vamos a intercambiarlo.
En otras palabras, la multiplicación
en términos de notación poco o,
es una entidad ingenua, puedes simplemente multiplicarla,
no la función en sí,
sino solo el argumento de la notación poco o.
Entonces, ¿por qué nos ayuda?
Vamos a reescribir esta relación en términos de medio ángulo.
Por ejemplo, el seno de X dividido
por 2 es X dividido por 2 más, una vez más,
necesitamos
escribir formalmente poco o hacia X dividido por 2,
pero ya que estamos hablando de funciones infinitesimales, la
división por 2 no cambia el hecho de que
estamos mirando la función infinitesimal.
En realidad va a cumplir con cualquier constante que aparezca
en notación infinitesimal aquí,
y simplemente anote un poco hacia x.
Así que recuerde, trigonometría básica,
1 menos coseno de X es 2 seno cuadrado de medio ángulo.
Sustituyamos nuestro seno de medio ángulo
con nuestra fantástica notación poco o.
Por lo tanto, obtenemos la función de coseno es 1 menos 2,
X dividido por 2 más poco o hacia X cuadrado.
O en otras palabras,
1 menos X al cuadrado dividido por 2 menos,
eso va a ser extraordinariamente complicado,
pero vamos a vivir a través de él.
Sólo aguanta. Primero que nada,
tenemos que escribir cuidadosamente lo que estamos consiguiendo aquí.
Deberíamos obtener 2 multiplicados por X dividido por 2,
multiplicarlo por poco-o hacia X.
Así que obtenemos 2X poco-o hacia X,
menos 2 pocos-o hacia X cuadrado.
Así que pasemos un tiempo con los dos últimos términos aquí.
Básicamente, [inaudible] es un multiplicador constante,
que sabemos que no importa,
solo podemos admitirlo para decir igual para la notación poco o.
Estamos viendo una multiplicación por X,
simplemente estableceremos que
se puede poner fácilmente en el argumento de la notación poco o.
Por lo tanto, este término es
básicamente infinitesimal hacia X cuadrado.
Lo mismo se aplica en el caso
del segundo mandato de la siguiente manera.
Si tengo dos funciones infinitesimal hacia X,
por lo tanto, es básicamente función infinitesimal
multiplicada por X al cuadrado.
Así obtenemos infinitesimal
cuadrado multiplicado por X cuadrado,
o simplemente infinitesimal hacia X cuadrado. Es fácil.
Entonces, como resultado,
obtenemos 1 menos X al cuadrado dividido por 2,
más poco hacia X al cuadrado.
Esta es la comprensión asintótica de la
función coseno en el vecindario
de X, es básicamente 1.
Entonces obtenemos nuestra función cuadrática cuadrada. Eso es bonito.
Para algunos de ustedes que saben,
eso es básicamente el comienzo de
la serie de canales para la función coseno.
Hecho extremadamente,
fácilmente extremadamente rápido para la notación poco o.