Donc récemment, nous avons discuté du cas où deux fonctions
se rapportent l'une à l'autre comme un multiplicateur constant.
Mais parfois, il est agréable de comprendre qu'une fonction,
par exemple, diminue suffisamment plus rapidement,
se développe suffisamment plus vite que les autres.
Par exemple, considérez le cas de x carré
et x autour de zéro.
Si vous vous souvenez, les
graphiques, fondamentalement x carré,
et x se rapportent de la manière suivante,
x carré diminue à zéro à mesure que x approche de zéro,
beaucoup plus rapide que x lui-même.
D' une certaine façon, il est suffisamment rapide,
ce qui signifie qu'il ne peut pas être tronqué au cas
de plus rapide qu'un certain nombre fini de fois, comme dans big-o.
Donc, nous pouvons dire que c'est une relation différente si c'est une
relation qui est appelée peu o
ou infinitésimale vers une autre fonction.
C' est ici. Il y a une belle image de notre
x, x carré, et x puissance 3.
Une fonction est appelée peu
infini vers l'autre,
si sa relation approche 0
alors que x approche notre point limite
D. C'est notre définition formelle.
En d'autres termes, une fonction est la fonction infinitésimale,
Alpha multiplié par cela. C'est plus facile.
Dans le cas de x carré,
c'est essentiellement x multiplié par la fonction infinitésimale x.
c'est bien. Prenons quelques exemples.
Par exemple, à peu près la même chose,
rien ne change jamais ici.
Commencez par deux polynômes. Que devons-nous décider ?
Nous devrions décider si
leur relation approche 0 comme par exemple,
commençons par X approches 0.
Est-ce que cette relation approche 0 ?
Écrivons d'une manière X puissance n moins m,
et il approche 0 dans le cas si n est supérieur à m,
parce que si cette puissance est négative,
alors nous avons le même sinus
que 1 divisé par X, qui approche l'infini.
Donc, ce cas est résolu,
mais qu'en est-il de X approche de l'infini ?
C' est fondamentalement vice versa,
tout le même sinus,
ce pouvoir devrait être négatif pour
être 1 divisé par X ou ainsi de suite,
qui approche 0 alors que X approche de l'infini.
Je vais insister sur les dossiers. Il
n'y a pas moins, égal ou supérieur et égal.
Ici, il y a des inégalités strictes.
C' est essentiellement la différence entre
petit o et big-o en termes de polynôme.
Quant à notre exemple ici,
nous allons régner avec une idée de
sinus de X et X à l'approche de 0.
Alors, ce qu'on sait ?
Nous savons que le sinus de X divisé par X devrait
approcher 0
pour qu'il soit infinitésimal l'un vers l'autre.
Sinus vers x.
Mais comme vous pouvez le voir clairement par
notre deuxième limite la plus importante, il approche 1.
Donc, si X approche 0, le
sinus de X n'est pas infinitésimal vers X,
c'est équivalent vers le X.
Eh bien, il est construit en cela.
Mais au cas où X approcherait l'infini,
c'est la limite que nous avons couverte
récemment, vous vous souvenez.
Il s'agit d'une fonction bornée,
sinus multiplié par la fonction infinitésimale 1 divisée par X,
donc la limite est égale à 0,
et la notation little-o tient.
Le sinus est infinitésimal vers
X si X n'est pas limité. C'est sympa.
Puisque nous connaissons la définition de la notation little-o,
revisitons-la.
Tout d'abord, ce que nous avons dit ?
Nous avons déclaré que f est
peu o vers g ou f est infinitésimal vers g,
si c'est une relation approche 0, ou en d'autres termes,
f est le résultat d'
une fonction infinitésimale et d'une fonction g.
Alors considérons ce casse-tête suivant.
Qu' est-ce que cela signifie si une fonction
est peu o vers la fonction constante une ?
Quant aux approches complexes A,
cela n'a pas d'importance pour notre cas.
Cela signifie essentiellement que cette fonction f est
le résultat du produit de la
fonction n infinitésimale 1, constante 1.
Cela signifie essentiellement que notre fonction est infinitésimale.
Écrit ici. Mais aussi,
supposons le cas suivant.
Supposons que notre fonction f a une limite,
par exemple, le capital A est le point A.
Ainsi, la fonction f moins A,
notre capital A. F moins sa limite
est infinitésimale par nos règles arithmétiques,
oui, X approche le point limite.
Ainsi, nous pouvons écrire que
f moins A est peu vers 1,
ou en d'autres termes,
f est sa limite plus une fonction infinitésimale.
C' est tout ça, mais c'est une belle notation.
Pourquoi ? Parce que considérons, par exemple,
notre deuxième limite importante ici.
Fondamentalement, en utilisant notre relation juste établie
entre la limite de fonction et la notation little-o,
nous pouvons le dériver de la manière que le sinus x divisé par x est
égal à 1 plus peu o vers 1.
C' est sympa.
Mais alors vous pouvez simplement le réécrire de la manière suivante,
multiplions les deux côtés de l'équation par X ici.
Ainsi, nous obtenons sinus X égal à X plus.
Voici l'astuce.
Autrefois, nous devrions écrire X multiplié
par peu vers 1.
Mais vous vous souvenez,
peu vers 1 est
fondamentalement n'importe quelle fonction infinitésimale.
Mais quel est le produit
de la fonction infinitésimale et d'une autre fonction ?
C' est une fonction infinitésimale vers la fonction elle-même.
Fondamentalement, ici, c'est écrit petit o vers X.
Alors, échangons-le.
En d'autres termes, la multiplication
en termes de notation little-o,
c'est une entité naïve, vous pouvez simplement la multiplier,
pas la fonction elle-même,
mais juste l'argument de la notation little-o.
Alors pourquoi ça nous aide ?
Réécrivons cette relation en termes d'un demi-angle.
Par exemple, le sinus de X divisé
par 2 est X divisé par 2 plus, encore une fois,
nous devons
écrire formellement peu o vers X divisé par 2,
mais comme nous parlons de fonctions infinitésimales,
la division par 2 ne change pas le fait que nous
regardons la fonction infinitésimale.
Il va en fait rencontrer n'importe quelle constante qui apparaît
en notation infinitésimale ici,
et juste écrire peu o vers x.
Alors rappelez-vous, la trigonométrie de base,
1 moins cosinus de X est 2 sinus au carré d'un demi-angle.
Substituons notre sinus d'un demi-angle
par notre notation fantaisie peu o.
Ainsi, nous obtenons la fonction cosinus est 1 moins
2, X divisé par 2 plus peu o vers X carré.
Ou en d'autres termes,
1 moins X carré divisé par 2 moins,
ça va être extraordinairement compliqué,
mais nous allons vivre à travers ça.
Attends juste. Tout d'abord,
nous devons écrire soigneusement ce que nous recevons ici.
Nous devrions obtenir 2 multiplié par X divisé par 2,
le multiplier par peu vers X.
Donc nous obtenons 2X peu-o vers X,
moins 2 peu-o vers X carré.
Alors passons un peu de temps avec les deux derniers termes ici.
Fondamentalement, [inaudible] est un multiplicateur constant,
ce que nous savons n'a pas d'importance,
nous pouvons juste l'admettre pour dire égal pour la notation peu o.
Nous regardons une multiplication par X,
nous allons juste établir qui peut facilement
être mis dans l'argument de la notation little-o.
Ainsi, ce terme est
fondamentalement infinitésimal vers X carré.
Il en va de même dans
le cas du deuxième terme de la manière suivante.
Si j'ai deux fonctions infinitésimales vers X,
c'est donc essentiellement une fonction infinitésimale
multipliée par X au carré.
Ainsi, nous obtenons
infinitésimal carré multiplié par X carré,
ou simplement infinitésimal vers X carré. C'est facile.
Donc, en conséquence,
nous obtenons 1 moins X carré divisé par 2,
plus peu o vers X carré.
C' est la compréhension asymptotique de la
fonction cosinus dans le voisinage
de X, c'est fondamentalement 1.
Ensuite, nous obtenons notre fonction quadratique carrée. C'est sympa.
Pour certains d'entre vous qui le savent,
c'est essentiellement le début de
la série de canaux pour la fonction cosinus.
Fait extrêmement,
facilement extrêmement rapide pour la notation peu o.