Donc récemment, nous avons discuté du cas où deux fonctions se rapportent l'une à l'autre comme un multiplicateur constant. Mais parfois, il est agréable de comprendre qu'une fonction, par exemple, diminue suffisamment plus rapidement, se développe suffisamment plus vite que les autres. Par exemple, considérez le cas de x carré et x autour de zéro. Si vous vous souvenez, les graphiques, fondamentalement x carré, et x se rapportent de la manière suivante, x carré diminue à zéro à mesure que x approche de zéro, beaucoup plus rapide que x lui-même. D' une certaine façon, il est suffisamment rapide, ce qui signifie qu'il ne peut pas être tronqué au cas de plus rapide qu'un certain nombre fini de fois, comme dans big-o. Donc, nous pouvons dire que c'est une relation différente si c'est une relation qui est appelée peu o ou infinitésimale vers une autre fonction. C' est ici. Il y a une belle image de notre x, x carré, et x puissance 3. Une fonction est appelée peu infini vers l'autre, si sa relation approche 0 alors que x approche notre point limite D. C'est notre définition formelle. En d'autres termes, une fonction est la fonction infinitésimale, Alpha multiplié par cela. C'est plus facile. Dans le cas de x carré, c'est essentiellement x multiplié par la fonction infinitésimale x. c'est bien. Prenons quelques exemples. Par exemple, à peu près la même chose, rien ne change jamais ici. Commencez par deux polynômes. Que devons-nous décider ? Nous devrions décider si leur relation approche 0 comme par exemple, commençons par X approches 0. Est-ce que cette relation approche 0 ? Écrivons d'une manière X puissance n moins m, et il approche 0 dans le cas si n est supérieur à m, parce que si cette puissance est négative, alors nous avons le même sinus que 1 divisé par X, qui approche l'infini. Donc, ce cas est résolu, mais qu'en est-il de X approche de l'infini ? C' est fondamentalement vice versa, tout le même sinus, ce pouvoir devrait être négatif pour être 1 divisé par X ou ainsi de suite, qui approche 0 alors que X approche de l'infini. Je vais insister sur les dossiers. Il n'y a pas moins, égal ou supérieur et égal. Ici, il y a des inégalités strictes. C' est essentiellement la différence entre petit o et big-o en termes de polynôme. Quant à notre exemple ici, nous allons régner avec une idée de sinus de X et X à l'approche de 0. Alors, ce qu'on sait ? Nous savons que le sinus de X divisé par X devrait approcher 0 pour qu'il soit infinitésimal l'un vers l'autre. Sinus vers x. Mais comme vous pouvez le voir clairement par notre deuxième limite la plus importante, il approche 1. Donc, si X approche 0, le sinus de X n'est pas infinitésimal vers X, c'est équivalent vers le X. Eh bien, il est construit en cela. Mais au cas où X approcherait l'infini, c'est la limite que nous avons couverte récemment, vous vous souvenez. Il s'agit d'une fonction bornée, sinus multiplié par la fonction infinitésimale 1 divisée par X, donc la limite est égale à 0, et la notation little-o tient. Le sinus est infinitésimal vers X si X n'est pas limité. C'est sympa. Puisque nous connaissons la définition de la notation little-o, revisitons-la. Tout d'abord, ce que nous avons dit ? Nous avons déclaré que f est peu o vers g ou f est infinitésimal vers g, si c'est une relation approche 0, ou en d'autres termes, f est le résultat d' une fonction infinitésimale et d'une fonction g. Alors considérons ce casse-tête suivant. Qu' est-ce que cela signifie si une fonction est peu o vers la fonction constante une ? Quant aux approches complexes A, cela n'a pas d'importance pour notre cas. Cela signifie essentiellement que cette fonction f est le résultat du produit de la fonction n infinitésimale 1, constante 1. Cela signifie essentiellement que notre fonction est infinitésimale. Écrit ici. Mais aussi, supposons le cas suivant. Supposons que notre fonction f a une limite, par exemple, le capital A est le point A. Ainsi, la fonction f moins A, notre capital A. F moins sa limite est infinitésimale par nos règles arithmétiques, oui, X approche le point limite. Ainsi, nous pouvons écrire que f moins A est peu vers 1, ou en d'autres termes, f est sa limite plus une fonction infinitésimale. C' est tout ça, mais c'est une belle notation. Pourquoi ? Parce que considérons, par exemple, notre deuxième limite importante ici. Fondamentalement, en utilisant notre relation juste établie entre la limite de fonction et la notation little-o, nous pouvons le dériver de la manière que le sinus x divisé par x est égal à 1 plus peu o vers 1. C' est sympa. Mais alors vous pouvez simplement le réécrire de la manière suivante, multiplions les deux côtés de l'équation par X ici. Ainsi, nous obtenons sinus X égal à X plus. Voici l'astuce. Autrefois, nous devrions écrire X multiplié par peu vers 1. Mais vous vous souvenez, peu vers 1 est fondamentalement n'importe quelle fonction infinitésimale. Mais quel est le produit de la fonction infinitésimale et d'une autre fonction ? C' est une fonction infinitésimale vers la fonction elle-même. Fondamentalement, ici, c'est écrit petit o vers X. Alors, échangons-le. En d'autres termes, la multiplication en termes de notation little-o, c'est une entité naïve, vous pouvez simplement la multiplier, pas la fonction elle-même, mais juste l'argument de la notation little-o. Alors pourquoi ça nous aide ? Réécrivons cette relation en termes d'un demi-angle. Par exemple, le sinus de X divisé par 2 est X divisé par 2 plus, encore une fois, nous devons écrire formellement peu o vers X divisé par 2, mais comme nous parlons de fonctions infinitésimales, la division par 2 ne change pas le fait que nous regardons la fonction infinitésimale. Il va en fait rencontrer n'importe quelle constante qui apparaît en notation infinitésimale ici, et juste écrire peu o vers x. Alors rappelez-vous, la trigonométrie de base, 1 moins cosinus de X est 2 sinus au carré d'un demi-angle. Substituons notre sinus d'un demi-angle par notre notation fantaisie peu o. Ainsi, nous obtenons la fonction cosinus est 1 moins 2, X divisé par 2 plus peu o vers X carré. Ou en d'autres termes, 1 moins X carré divisé par 2 moins, ça va être extraordinairement compliqué, mais nous allons vivre à travers ça. Attends juste. Tout d'abord, nous devons écrire soigneusement ce que nous recevons ici. Nous devrions obtenir 2 multiplié par X divisé par 2, le multiplier par peu vers X. Donc nous obtenons 2X peu-o vers X, moins 2 peu-o vers X carré. Alors passons un peu de temps avec les deux derniers termes ici. Fondamentalement, [inaudible] est un multiplicateur constant, ce que nous savons n'a pas d'importance, nous pouvons juste l'admettre pour dire égal pour la notation peu o. Nous regardons une multiplication par X, nous allons juste établir qui peut facilement être mis dans l'argument de la notation little-o. Ainsi, ce terme est fondamentalement infinitésimal vers X carré. Il en va de même dans le cas du deuxième terme de la manière suivante. Si j'ai deux fonctions infinitésimales vers X, c'est donc essentiellement une fonction infinitésimale multipliée par X au carré. Ainsi, nous obtenons infinitésimal carré multiplié par X carré, ou simplement infinitésimal vers X carré. C'est facile. Donc, en conséquence, nous obtenons 1 moins X carré divisé par 2, plus peu o vers X carré. C' est la compréhension asymptotique de la fonction cosinus dans le voisinage de X, c'est fondamentalement 1. Ensuite, nous obtenons notre fonction quadratique carrée. C'est sympa. Pour certains d'entre vous qui le savent, c'est essentiellement le début de la série de canaux pour la fonction cosinus. Fait extrêmement, facilement extrêmement rapide pour la notation peu o.