Così di recente, abbiamo discusso il caso in cui due funzioni
si relazionano tra loro come un moltiplicatore costante.
Ma a volte, è bello capire che una funzione,
ad esempio, diminuisce sufficientemente più velocemente,
cresce sufficientemente più velocemente di altre.
Ad esempio, si consideri il caso di x al quadrato
e x intorno a zero.
Se ricordi,
i grafici, fondamentalmente x al quadrato,
e x si riferiscono nel modo seguente,
x al quadrato diminuisce a zero man mano che x si avvicina a zero,
molto più veloce di x stesso.
In un certo senso, è sufficientemente più veloce, il
che significa che non può essere troncato al caso
di più veloce di un certo numero finito di volte, come nel big-o.
Quindi possiamo dire che è una relazione diversa se è una
relazione che è chiamata
little-o infinitesimale verso qualche altra funzione.
È qui. C'è una bella foto della nostra x,
x al quadrato, e x potenza 3.
Una funzione è chiamata little-o
infinitesimale verso l'altra,
se la sua relazione si avvicina a 0
come x si avvicina al nostro punto limite
D. Questa è la nostra definizione formale.
In altre parole, una funzione è funzione infinitesimale,
Alpha moltiplicato per quella. Questo è molto più facile.
In caso di x al quadrato,
è fondamentalmente x moltiplicato per la funzione
infinitesimale x. Prendiamo in considerazione alcuni esempi.
Ad esempio, praticamente la stessa cosa,
nulla cambia mai qui.
Inizia con due polinomi. Cosa dovremmo decidere?
Dovremmo decidere se
la loro relazione si avvicina a 0 come per esempio,
iniziamo con X approcci 0.
Questa relazione si avvicina a 0?
Scriviamo in un modo X potenza n meno m,
e si avvicina 0 nel caso se n è maggiore di m,
perché se questo potere è negativo,
allora abbiamo lo stesso seno
come 1 diviso per X, che si avvicina all'infinito.
Quindi questo caso è risolto,
ma per quanto riguarda X si avvicina all'infinito?
Questo è fondamentalmente viceversa,
lo stesso seno,
questo potere dovrebbe essere negativo in modo che sia
1 diviso per X o così via,
che si avvicina a 0 come X si avvicina all'infinito.
Andra' a stressare le cartelle.
Non c'è meno o uguale o maggiore e uguale.
Qui queste sono rigide disuguaglianze.
Questa è fondamentalmente la differenza tra
little-o e big-o in termini di polinomio.
Per quanto riguarda il nostro esempio qui,
ci accingiamo a governare con un'idea di
seno di X e X mentre si avvicina a 0.
Allora, cosa sappiamo?
Sappiamo che il seno di X diviso
per X dovrebbe avvicinarsi a 0 in modo che sia infinitesimale uno verso l'altro.
Sine verso x.
Ma come si può vedere chiaramente dal
nostro secondo limite più importante, si avvicina 1.
Quindi se X si avvicina a 0,
seno di X non è infinitesimale verso X,
è equivalente verso la X.
Beh, è costruito in questo.
Ma nel caso X si avvicini all'infinito,
questo è il limite che abbiamo coperto di
recente, ti ricordi.
Questa è funzione delimitata,
seno moltiplicato per la funzione infinitesimale 1 diviso per X,
quindi il limite è uguale a 0,
e la notazione poco o detiene.
Il seno è infinitesimale verso X
se X è illimitata. Che bello.
Dal momento che conosciamo la definizione di notazione little-o,
cerchiamo di rivisitarla.
In primo luogo, quello che abbiamo affermato?
Abbiamo affermato che f è
poco o verso g o f è infinitesimale verso g,
se si tratta di una relazione si avvicina a 0, o in altre parole,
f è il risultato di un prodotto di
qualche funzione infinitesimale e funzione g.
Quindi consideriamo questo puzzle seguente.
Cosa significa se qualche funzione
è poco o verso la funzione costante?
Per quanto riguarda gli approcci complessi
A, in realtà non importa per il nostro caso.
Ciò significa fondamentalmente che questa funzione f è
il risultato del prodotto della
funzione n infinitesimale 1, costante 1.
Ciò significa fondamentalmente che la nostra funzione è infinitesimale.
Scritto qui. Ma anche,
supponiamo il seguente caso.
Supponiamo che la nostra funzione f ha un limite,
ad esempio, maiuscola A è il punto A.
Così, la funzione f meno A, il
nostro capitale A. F meno il suo limite
è infinitesimale dalle nostre regole aritmetiche,
sì, X si avvicina punto limite.
Quindi, possiamo scriverlo che
f meno A è poco o verso 1,
o in altre parole,
f è il suo limite più qualche funzione infinitesimale.
Questo è tutto, ma è una bella notazione.
Perché? Perché consideriamo, ad esempio,
il nostro secondo limite importante.
Fondamentalmente, usando la nostra relazione appena stabilita
tra limite di funzione e notazione little-o,
possiamo derivarlo nel modo in cui seno x diviso per x
è uguale a 1 più little-o verso 1.
Che bello.
Ma poi si può semplicemente riscrivere nel modo seguente,
cerchiamo di moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per X qui.
Quindi, otteniamo seno X uguale a X più.
Ecco che arriva il trucco.
In precedenza, dovremmo scrivere X
moltiplicato per poco verso 1.
Ma ti ricordi,
poco verso 1 è
fondamentalmente qualsiasi funzione infinitesimale.
Ma qual è il prodotto
della funzione infinitesimale e di qualche altra funzione?
È funzione infinitesimale verso la funzione stessa.
Fondamentalmente, qui, è scritto poco verso X.
Quindi cerchiamo di scambiarlo.
In altre parole, moltiplicazione
in termini di notazione poco,
è un'entità ingenua, puoi semplicemente moltiplicarla,
non la funzione stessa,
ma solo l'argomento della notazione little-o.
Allora perché ci aiuta?
Riscriviamo questa relazione in termini di mezzo angolo.
Ad esempio, seno di X
diviso per 2 è X diviso per 2 più, ancora una volta,
abbiamo bisogno di
scrivere formalmente poco verso X diviso per 2,
ma siccome stiamo parlando di funzioni infinitesimali,
divisione per 2 non cambia il fatto che
stiamo guardando la funzione infinitesimale.
In realtà sta andando incontro a qualsiasi costante che appare
in notazione infinitesimale qui,
e basta scrivere poco o verso x.
Quindi ricorda, la trigonometria di base,
1 meno coseno di X è 2 seno al quadrato di mezzo angolo.
Sostituiamo il nostro seno di mezzo angolo
con la nostra notazione di fantasia little-o.
Così, otteniamo la funzione coseno è 1 meno 2,
X diviso per 2 più little-o verso X al quadrato.
O in altre parole,
1 meno X al quadrato diviso
per 2 meno, che sarà straordinariamente complicato,
ma stiamo andando a vivere attraverso di esso.
Aspetta e basta. Prima di tutto,
dobbiamo scrivere attentamente quello che stiamo ottenendo qui.
Dovremmo ottenere 2 moltiplicato per X diviso per 2,
moltiplicarlo per poco o verso X.
Quindi otteniamo 2X little-o verso X,
meno 2 little-o verso X al quadrato.
Quindi passiamo un po 'di tempo con gli ultimi due termini qui.
Fondamentalmente, [inudibile] è un moltiplicatore costante,
che sappiamo non importa,
possiamo semplicemente ammetterlo per dire uguale per la notazione poco o.
Stiamo guardando una moltiplicazione per X,
ci limiteremo a stabilire che può
essere facilmente messo nell'argomento della notazione poco o.
Quindi, questo termine è
fondamentalmente infinitesimale verso X al quadrato.
Lo stesso vale per
il secondo termine nel modo seguente.
Se ho due funzioni infinitesimale verso X,
quindi è fondamentalmente la funzione infinitesimale
moltiplicata per X al quadrato.
Così otteniamo infinitesimale
quadrato moltiplicato per X al quadrato,
o semplicemente infinitesimale verso X al quadrato. E' facile.
Quindi, come risultato,
otteniamo 1 meno X al quadrato diviso per 2,
più poco o verso X al quadrato.
Questa è la comprensione asintotica della
funzione coseno nel quartiere
di X, è fondamentalmente 1.
Poi otteniamo la nostra funzione quadratica quadrata. Che bello.
Per alcuni di voi che lo sanno,
questo è fondamentalmente l'inizio
della serie di canali per la funzione coseno.
Fatto estremamente,
facilmente estremamente veloce per la notazione little-o.