Recentemente, discutimos o caso em que duas funções
se relacionam como um multiplicador constante.
Mas às vezes, é bom entender que uma função,
por exemplo, diminui suficientemente mais rápido,
cresce suficientemente mais rápido do que outras.
Por exemplo, considere o caso de x ao quadrado
e x em torno de zero.
Se você se lembrar, os
gráficos, basicamente x ao quadrado,
e x se relacionam da seguinte maneira,
x ao quadrado diminui para zero à medida que x se aproxima de zero,
muito mais rápido do que o próprio x.
De certa forma, é suficientemente mais rápido, o
que significa que não pode ser truncado para o caso
de mais rápido do que algum número finito de vezes, como em big-o.
Então podemos dizer que é uma relação diferente se é uma
relação que é chamada de pouco
ou infinitesimal para alguma outra função.
É aqui. Há uma imagem agradável do nosso x,
x ao quadrado, e x poder 3.
Uma função é chamada little-o
infinitesimal para a outra,
se sua relação se aproxima de 0
como x se aproxima do nosso ponto limite
D. Essa é a nossa definição formal.
Em outras palavras, uma função é infinitesimal função,
Alpha multiplicado por isso. Isso é bem mais fácil.
No caso de x ao quadrado,
é basicamente x multiplicado pela função infinitesimal x.
isso é bom. Vamos considerar alguns exemplos.
Por exemplo, praticamente a mesma coisa,
nada muda aqui.
Comece com dois polinômios. O que devemos decidir?
Devemos decidir se
sua relação se aproxima ou não 0 como, por exemplo,
vamos começar com X abordagens 0.
Essa relação se aproxima de 0?
Vamos escrevê-lo de uma maneira X poder n menos m,
e ele se aproxima de 0 no caso se n é maior que m,
porque se esse poder é negativo,
então temos o mesmo seno que
1 dividido por X, que se aproxima do infinito.
Então este caso está resolvido,
mas e o X se aproxima do infinito?
Isso é basicamente vice-versa,
todos o mesmo seno,
esse poder deve ser negativo para que seja
1 dividido por X ou assim por diante, que
se aproxima de 0 à medida que X se aproxima do infinito.
Indo estressar as pastas.
Não há menor ou igual ou maior e igual.
Aqui, estas são desigualdades estritas.
Essa é basicamente a diferença entre o
pequeno e o grande em termos de polinômio.
Quanto ao nosso exemplo aqui,
vamos governar com uma idéia de
seno de X e X como ele se aproxima de 0.
Então, o que sabemos?
Sabemos que o seno de X dividido por X deve
aproximar-se de 0
para que seja infinitesimal um em direção ao outro.
Seno para x.
mas como você pode ver claramente pelo
nosso segundo limite mais importante, ele se aproxima de 1.
Então, se X se aproxima de 0,
seno de X não é infinitesimal em direção a X,
é equivalente ao X.
Bem, ele é construído nisso.
Mas no caso de X se aproximar do infinito,
esse é o limite que cobrimos
recentemente, você se lembra.
Esta é a função limitada,
seno multiplicado pela função infinitesimal 1 dividida por X,
portanto, o limite é igual a 0,
e a notação pouco-o detém.
Seno é infinitesimal para X
se X é ilimitado. Isso é legal.
Como sabemos a definição de pequena notação,
vamos revisitá-la.
Em primeiro lugar, o que dissemos?
Nós afirmamos que f é
pouco-o em direção a g ou f é infinitesimal em direção a g,
se é uma relação se aproxima de 0, ou em outras palavras,
f é um resultado do produto de
alguma função infinitesimal e função g.
Então vamos considerar este quebra-cabeça seguinte.
O que significa se alguma função
é pequeno-o para a função constante um?
Quanto a abordagens complexas A,
não importa para o nosso caso.
Basicamente significa que esta função f é
o resultado do produto da
função n infinitesimal 1, constante 1.
Isso basicamente significa que nossa função é infinitesimal.
Escrito aqui. Mas também,
vamos assumir o seguinte caso.
Suponha que nossa função f tem um limite,
por exemplo, capital A é o ponto A.
Assim, a função f menos A,
nosso capital A. F menos seu limite
é infinitesimal por nossas regras aritméticas,
sim, X se aproxima do ponto limite.
Assim, podemos anotar que
f menos A é pouco-o para 1,
ou em outras palavras,
f é seu limite mais alguma função infinitesimal.
Isso é tudo, mas é uma boa anotação.
Por quê? Porque consideremos, por exemplo, o
nosso segundo limite importante.
Basicamente, usando nossa relação apenas estabelecida
entre limite de função e notação pouco-o,
podemos derivar da maneira que seno x dividido por x
é igual a 1 mais pouco-o para 1.
Isso é legal.
Mas então você pode apenas reescrevê-lo da seguinte maneira,
vamos multiplicar ambos os lados da equação por X aqui.
Assim, obtemos seno X igual a X mais.
Aí vem o truque.
Anteriormente, devemos escrever X multiplicado
por pouco-o para 1.
Mas você se lembra,
pouco para 1 é
basicamente qualquer função infinitesimal.
Mas qual é o produto
da função infinitesimal e alguma outra função?
É função infinitesimal para a própria função.
Basicamente, aqui, está escrito um pouco em direção ao X.
Então vamos trocá-lo.
Em outras palavras, multiplicação
em termos de notação pequeno-o,
é entidade ingênua, você pode simplesmente multiplicá-la,
não a função em si,
mas apenas o argumento da pequena notação.
Então, por que isso nos ajuda?
Vamos reescrever esta relação em termos de meio ângulo.
Por exemplo, seno de X dividido
por 2 é X dividido por 2 mais, mais uma vez,
precisamos formalmente
escrever pouco para X dividido por 2,
mas como estamos falando de funções infinitesimais,
divisão por 2 não muda o fato de que
estamos olhando para a função infinitesimal.
Na verdade, ele vai encontrar qualquer constante que aparece
na notação infinitesimal aqui,
e apenas escrever pouco-o em direção a x.
Então lembre-se, trigonometria básica,
1 menos cosseno de X é 2 seno ao quadrado de meio ângulo.
Vamos substituir o nosso seno de metade de um ângulo pela
nossa pequena notação extravagante.
Assim, obtemos a função cosseno é 1 menos 2,
X dividido por 2 mais pouco-o em direção a X ao quadrado.
Ou em outras palavras,
1 menos X ao quadrado dividido por 2 menos,
isso vai ser extraordinariamente complicado,
mas vamos viver através disso.
Apenas aguente firme. Primeiro de tudo,
precisamos anotar cuidadosamente o que estamos recebendo aqui.
Devemos obter 2 multiplicado por X dividido por 2,
multiplicá-lo por pouco-o em direção a X.
Então obtemos 2X pouco-o em direção a X,
menos 2 pouco-o em direção a X ao quadrado.
Então vamos passar algum tempo com os dois últimos termos aqui.
Basicamente, [inaudível] é multiplicador constante, o
que sabemos que não importa,
podemos apenas admitir para dizer igual para pequena notação.
Estamos olhando para uma multiplicação por X,
vamos apenas estabelecer que pode
ser facilmente colocado no argumento da pequena notação.
Assim, este termo é
basicamente infinitesimal para X ao quadrado. O
mesmo se aplica no caso
do segundo termo da seguinte maneira.
Se eu tiver duas funções infinitesimal em direção a X,
portanto, é basicamente função infinitesimal
multiplicada por X ao quadrado.
Assim obtemos infinitesimal
quadrado multiplicado por X ao quadrado,
ou simplesmente infinitesimal em direção a X ao quadrado. É fácil.
Então, como resultado,
obtemos 1 menos X ao quadrado dividido por 2,
mais pouco-o em direção a X ao quadrado.
Esta é a compreensão assintótica da
função cosseno na vizinhança
de X, é basicamente 1.
Então temos a nossa função quadrática quadrada. Isso é legal.
Para alguns de vocês que sabem,
isso é basicamente o início
da série de canais para a função cosseno.
Feito extremamente,
facilmente extremamente rápido para a pequena notação.