Так недавно мы обсуждали случай, когда две функции
связаны друг с другом как постоянный множитель.
Но иногда приятно понимать, что одна функция,
например, уменьшается достаточно быстрее,
растет достаточно быстрее, чем другие.
Например, рассмотрим случай x в квадрате
и x вокруг нуля.
Если вы помните,
графики, в основном x в квадрате,
и x относятся следующим образом,
x в квадрате уменьшается до нуля, поскольку x приближается к нулю,
намного быстрее, чем сам x.
В некотором смысле, он достаточно быстрее, это
означает, что он не может быть усечен до случая
быстрее, чем некоторое конечное количество раз, как в big-o.
Таким образом, мы можем сказать, что это другое отношение, если это
отношения, которые называются little-o
или infinitesimal к какой-либо другой функции.
Он здесь. Существует хорошая картина наших х,
х в квадрате и х мощности 3.
Одна функция называется little-o
infinitesimal к другой,
если ее отношение приближается к 0,
как х приближается к нашей предельной точке
D. Это наше формальное определение.
Другими словами, одна функция является бесконечно мальной функцией,
Альфа умножается на это. Это намного проще.
В случае x в квадрате,
это в основном x умножается на бесконечно
малую функцию x. Рассмотрим несколько примеров.
Например, почти то же самое,
здесь ничего не меняется.
Начните с двух полиномов. Что мы должны решить?
Мы должны решить, приближается ли
их отношение к 0, как например,
давайте начнем с X подходов 0.
Подходит ли это отношение к 0?
Давайте напишем его таким образом X мощность n минус m,
и он приближается к 0 в случае, если n больше m,
потому что если эта сила отрицательная,
то мы имеем тот же синус,
как 1 деленный на X, что приближается к бесконечности.
Итак, этот случай разрешен,
но как насчет X приближается к бесконечности?
Это в основном наоборот,
все тот же синус,
эта сила должна быть отрицательной для того, чтобы
быть 1 разделена на X или так далее,
что приближается к 0, когда X приближается к бесконечности.
Собираюсь подчеркнуть папки.
Существует не меньше или равно или больше и равно.
Вот это строгие неравенства.
Это в основном разница между
little-o и big-o с точки зрения полинома.
Что касается нашего примера здесь,
мы собираемся править с идеей
синуса X и X, поскольку он приближается к 0.
Так что мы знаем?
Мы знаем, что синус X, разделенный на X, должен
приближаться
к 0, чтобы он был бесконечно мал один к другому.
Синус в сторону х.
Но, как вы можете ясно видеть по
нашему второму важному пределу, он приближается к 1.
Таким образом, если X приближается к 0,
синус X не является бесконечным по отношению к X,
он эквивалентен X.
Ну, он построен в этом.
Но в случае, если X приближается к бесконечности,
это предел, который мы
недавно покрыли, вы помните.
Это ограниченная функция,
синус умноженный на бесконечно мальную функцию 1, деленную на X,
таким образом предел равен 0,
и мало-о нотации удерживается.
Синус бесконечно мален по отношению к
Х, если Х не ограничен. Это мило.
Поскольку мы знаем определение «мало-о нотации»,
давайте вернемся к нему.
Во-первых, о чем мы говорили?
Мы заявили, что f является
мало-о к g или f бесконечно мален к g,
если это отношение приближается к 0, или другими словами,
f является результатом произведения
некоторой бесконечно малой функции и функции g.
Так давайте рассмотрим эту следующую головоломку.
Что это означает, если какая-то функция
мало-о к постоянной функции?
Что касается сложных подходов A,
то это на самом деле не имеет значения для нашего случая.
Это в основном означает, что эта функция f является
результатом произведения
бесконечной n функции 1, константы 1.
Это в основном означает, что наша функция бесконечно мала.
Написано здесь. Но также,
давайте предположим следующий случай.
Предположим, что наша функция f имеет предел,
например, заглавная A является точкой A.
Таким образом, функция f минус A,
наша заглавная A. F минус ее предел
бесконечно мален по нашим арифметическим правилам,
да, X приближается предельная точка.
Таким образом, мы можем записать, что
f минус A является мало-о к 1,
или другими словами,
f его предел плюс некоторая бесконечно мальная функция.
Это все, но это хорошая нотация.
Почему? Потому что давайте рассмотрим, например,
наш второй важный предел здесь.
В основном, используя нашу только что установленную связь
между ограничением функции и нотацией little-o,
мы можем получить его таким образом, что синус х делится на х
равно 1 плюс little-o к 1.
Это мило.
Но тогда вы можете просто переписать его следующим образом,
давайте умножить обе стороны уравнения на X здесь.
Таким образом, мы получаем синус X равным X плюс.
Вот и фокус.
Раньше мы должны написать X
умноженное на little-o к 1.
Но вы помните, что
little-o к 1
в основном любая бесконечная функция.
Но что является
продуктом бесконечной функции и какой-то другой функции?
Это бесконечно малая функция по отношению к самой функции.
В принципе, здесь написано немного о X.
Так что давайте просто поменяем его.
Другими словами, умножение
в терминах little-o нотации,
это наивная сущность, вы можете просто умножить ее, а
не саму функцию,
а просто аргумент little-o нотации.
Так почему это нам помогает?
Перепишем это отношение с точки зрения половины угла.
Например, синус X, деленный
на 2, делится на 2 плюс, еще раз,
нам нужно формально
написать little-o в сторону X, разделенный на 2,
но поскольку речь идет о бесконечно малых функциях,
деление на 2 не меняет того факта, что
мы смотрим на бесконечно мальную функцию.
Он на самом деле собирается встретить любую константу, которая появляется
в бесконечно малом нотации здесь,
и просто записать немного о к х.
Так что помните, основная тригонометрия,
1 минус косинус X - 2 синуса в квадрате половины угла.
Давайте заменим наш
синус половины угла нашей фантастической мало-о нотации.
Таким образом, мы получаем функцию косинуса 1 минус 2,
X делится на 2 плюс little-o к X в квадрате.
Или, другими словами,
1 минус X в квадрате, разделенный на 2 минус,
это будет чрезвычайно сложно,
но мы будем жить через это.
Просто подожди. Во-первых,
нам нужно аккуратно записать то, что мы здесь получаем.
Мы должны получить 2 умножить на X, деленный на 2,
умножить его на little-o к X.
Таким образом, мы получаем 2X little-o к X,
минус 2 little-o к X в квадрате.
Так что давайте проведем немного времени с последними двумя сроками здесь.
В принципе, [неразборчиво] является постоянным множителем,
который, как мы знаем, не имеет значения,
мы можем просто признать, что он говорит равным для little-o нотации.
Мы смотрим на умножение на X,
мы просто установим, что может
быть легко помещен в аргумент little-o нотации.
Таким образом, этот термин
в основном бесконечно мал по отношению к Х в квадрате.
То же самое относится и
к второму сроку следующим образом.
Если у меня есть две функции infinitesimal к X,
таким образом, это в основном бесконечная функция,
умноженная на X в квадрате.
Таким образом, мы получаем бесконечно малый
квадрат умноженный на X в квадрате,
или просто бесконечно мальный к X в квадрате. Это легко.
Таким образом,
мы получаем 1 минус X в квадрате, разделенном на 2,
плюс little-o в сторону X в квадрате.
Это асимптотическое понимание
функции косинуса в окрестности
X, это в основном 1.
Тогда мы получаем нашу квадратичную функцию. Это мило.
Для некоторых из вас, кто знает,
это в основном начало
серии каналов для функции косинуса.
Сделано чрезвычайно,
легко очень быстро для мало-о нотации.