Так недавно мы обсуждали случай, когда две функции связаны друг с другом как постоянный множитель. Но иногда приятно понимать, что одна функция, например, уменьшается достаточно быстрее, растет достаточно быстрее, чем другие. Например, рассмотрим случай x в квадрате и x вокруг нуля. Если вы помните, графики, в основном x в квадрате, и x относятся следующим образом, x в квадрате уменьшается до нуля, поскольку x приближается к нулю, намного быстрее, чем сам x. В некотором смысле, он достаточно быстрее, это означает, что он не может быть усечен до случая быстрее, чем некоторое конечное количество раз, как в big-o. Таким образом, мы можем сказать, что это другое отношение, если это отношения, которые называются little-o или infinitesimal к какой-либо другой функции. Он здесь. Существует хорошая картина наших х, х в квадрате и х мощности 3. Одна функция называется little-o infinitesimal к другой, если ее отношение приближается к 0, как х приближается к нашей предельной точке D. Это наше формальное определение. Другими словами, одна функция является бесконечно мальной функцией, Альфа умножается на это. Это намного проще. В случае x в квадрате, это в основном x умножается на бесконечно малую функцию x. Рассмотрим несколько примеров. Например, почти то же самое, здесь ничего не меняется. Начните с двух полиномов. Что мы должны решить? Мы должны решить, приближается ли их отношение к 0, как например, давайте начнем с X подходов 0. Подходит ли это отношение к 0? Давайте напишем его таким образом X мощность n минус m, и он приближается к 0 в случае, если n больше m, потому что если эта сила отрицательная, то мы имеем тот же синус, как 1 деленный на X, что приближается к бесконечности. Итак, этот случай разрешен, но как насчет X приближается к бесконечности? Это в основном наоборот, все тот же синус, эта сила должна быть отрицательной для того, чтобы быть 1 разделена на X или так далее, что приближается к 0, когда X приближается к бесконечности. Собираюсь подчеркнуть папки. Существует не меньше или равно или больше и равно. Вот это строгие неравенства. Это в основном разница между little-o и big-o с точки зрения полинома. Что касается нашего примера здесь, мы собираемся править с идеей синуса X и X, поскольку он приближается к 0. Так что мы знаем? Мы знаем, что синус X, разделенный на X, должен приближаться к 0, чтобы он был бесконечно мал один к другому. Синус в сторону х. Но, как вы можете ясно видеть по нашему второму важному пределу, он приближается к 1. Таким образом, если X приближается к 0, синус X не является бесконечным по отношению к X, он эквивалентен X. Ну, он построен в этом. Но в случае, если X приближается к бесконечности, это предел, который мы недавно покрыли, вы помните. Это ограниченная функция, синус умноженный на бесконечно мальную функцию 1, деленную на X, таким образом предел равен 0, и мало-о нотации удерживается. Синус бесконечно мален по отношению к Х, если Х не ограничен. Это мило. Поскольку мы знаем определение «мало-о нотации», давайте вернемся к нему. Во-первых, о чем мы говорили? Мы заявили, что f является мало-о к g или f бесконечно мален к g, если это отношение приближается к 0, или другими словами, f является результатом произведения некоторой бесконечно малой функции и функции g. Так давайте рассмотрим эту следующую головоломку. Что это означает, если какая-то функция мало-о к постоянной функции? Что касается сложных подходов A, то это на самом деле не имеет значения для нашего случая. Это в основном означает, что эта функция f является результатом произведения бесконечной n функции 1, константы 1. Это в основном означает, что наша функция бесконечно мала. Написано здесь. Но также, давайте предположим следующий случай. Предположим, что наша функция f имеет предел, например, заглавная A является точкой A. Таким образом, функция f минус A, наша заглавная A. F минус ее предел бесконечно мален по нашим арифметическим правилам, да, X приближается предельная точка. Таким образом, мы можем записать, что f минус A является мало-о к 1, или другими словами, f его предел плюс некоторая бесконечно мальная функция. Это все, но это хорошая нотация. Почему? Потому что давайте рассмотрим, например, наш второй важный предел здесь. В основном, используя нашу только что установленную связь между ограничением функции и нотацией little-o, мы можем получить его таким образом, что синус х делится на х равно 1 плюс little-o к 1. Это мило. Но тогда вы можете просто переписать его следующим образом, давайте умножить обе стороны уравнения на X здесь. Таким образом, мы получаем синус X равным X плюс. Вот и фокус. Раньше мы должны написать X умноженное на little-o к 1. Но вы помните, что little-o к 1 в основном любая бесконечная функция. Но что является продуктом бесконечной функции и какой-то другой функции? Это бесконечно малая функция по отношению к самой функции. В принципе, здесь написано немного о X. Так что давайте просто поменяем его. Другими словами, умножение в терминах little-o нотации, это наивная сущность, вы можете просто умножить ее, а не саму функцию, а просто аргумент little-o нотации. Так почему это нам помогает? Перепишем это отношение с точки зрения половины угла. Например, синус X, деленный на 2, делится на 2 плюс, еще раз, нам нужно формально написать little-o в сторону X, разделенный на 2, но поскольку речь идет о бесконечно малых функциях, деление на 2 не меняет того факта, что мы смотрим на бесконечно мальную функцию. Он на самом деле собирается встретить любую константу, которая появляется в бесконечно малом нотации здесь, и просто записать немного о к х. Так что помните, основная тригонометрия, 1 минус косинус X - 2 синуса в квадрате половины угла. Давайте заменим наш синус половины угла нашей фантастической мало-о нотации. Таким образом, мы получаем функцию косинуса 1 минус 2, X делится на 2 плюс little-o к X в квадрате. Или, другими словами, 1 минус X в квадрате, разделенный на 2 минус, это будет чрезвычайно сложно, но мы будем жить через это. Просто подожди. Во-первых, нам нужно аккуратно записать то, что мы здесь получаем. Мы должны получить 2 умножить на X, деленный на 2, умножить его на little-o к X. Таким образом, мы получаем 2X little-o к X, минус 2 little-o к X в квадрате. Так что давайте проведем немного времени с последними двумя сроками здесь. В принципе, [неразборчиво] является постоянным множителем, который, как мы знаем, не имеет значения, мы можем просто признать, что он говорит равным для little-o нотации. Мы смотрим на умножение на X, мы просто установим, что может быть легко помещен в аргумент little-o нотации. Таким образом, этот термин в основном бесконечно мал по отношению к Х в квадрате. То же самое относится и к второму сроку следующим образом. Если у меня есть две функции infinitesimal к X, таким образом, это в основном бесконечная функция, умноженная на X в квадрате. Таким образом, мы получаем бесконечно малый квадрат умноженный на X в квадрате, или просто бесконечно мальный к X в квадрате. Это легко. Таким образом, мы получаем 1 минус X в квадрате, разделенном на 2, плюс little-o в сторону X в квадрате. Это асимптотическое понимание функции косинуса в окрестности X, это в основном 1. Тогда мы получаем нашу квадратичную функцию. Это мило. Для некоторых из вас, кто знает, это в основном начало серии каналов для функции косинуса. Сделано чрезвычайно, легко очень быстро для мало-о нотации.