Vì vậy, gần đây, chúng tôi đã thảo luận về trường hợp mà hai hàm
liên quan đến nhau như là một số nhân liên tục.
Nhưng đôi khi, thật tốt khi hiểu rằng một chức năng,
ví dụ, giảm đủ nhanh hơn,
phát triển đủ nhanh hơn những chức năng khác.
Ví dụ, xem xét trường hợp của x bình phương,
và x xung quanh 0.
Nếu bạn nhớ,
đồ thị, về cơ bản x bình phương,
và x liên quan theo cách sau,
x bình phương giảm xuống 0 khi x tiếp cận zero,
nhanh hơn nhiều so với x chính nó.
Trong một cách nào
đó, nó là đủ nhanh hơn, có nghĩa là nó không thể được cắt ngắn để trường hợp
nhanh hơn một số hữu hạn số lần, như trong lớn-o.
Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng đó là một mối quan hệ khác nhau nếu nó là
mối quan hệ được gọi là little-o
hoặc infinitesimal đối với một số chức năng khác.
Nó ở đây. Có một hình ảnh đẹp về x của chúng tôi,
x bình phương, và x sức mạnh 3.
Một chức năng được gọi là little-o
infinitesimal đối với người kia,
nếu mối quan hệ của nó tiếp cận 0
như x tiếp cận điểm giới hạn của chúng tôi
D. Đó là định nghĩa chính thức của chúng tôi.
Nói cách khác, một hàm là hàm vô hạn,
Alpha nhân với hàm đó. Khá dễ dàng hơn.
Trong trường hợp của x bình phương,
nó về cơ bản x nhân với hàm vô hạn x
. Hãy để chúng tôi xem xét một số ví dụ.
Ví dụ, khá nhiều điều tương tự,
không có gì thay đổi ở đây.
Bắt đầu với hai đa thức. Chúng ta nên quyết định điều gì?
Chúng ta nên quyết định có hay không
mối quan hệ của họ tiếp cận 0 như ví dụ,
chúng ta hãy bắt đầu với X phương pháp tiếp cận 0.
Liệu mối quan hệ này tiếp cận 0?
Hãy để chúng tôi viết nó theo cách X lũy thừa n trừ m,
và nó tiếp cận 0 trong trường hợp nếu n lớn hơn m,
bởi vì nếu lũy thừa này là âm,
thì chúng ta có cùng sin
như 1 chia cho X, mà tiếp cận vô cùng.
Vì vậy, trường hợp này được giải quyết,
nhưng những gì về X tiếp cận vô cùng?
Đó là về cơ bản ngược lại,
tất cả cùng một sin,
sức mạnh này nên là âm để
được 1 chia cho X hoặc như vậy,
mà tiếp cận 0 như X tiếp cận vô cùng.
Đi để nhấn mạnh ra các thư mục.
Không có ít hơn hoặc bằng hoặc lớn hơn và bằng nhau.
Ở đây đây là những bất bình đẳng nghiêm ngặt.
Về cơ bản đó là sự khác biệt giữa
little-o và big-o về đa thức.
Đối với ví dụ
của chúng tôi ở đây, chúng tôi sẽ cai trị với một ý tưởng của
sin của X và X khi nó tiếp cận 0.
Vậy những gì chúng ta biết?
Chúng ta biết rằng sin của X chia cho X nên
tiếp cận 0
để cho nó được vô hạn một trong những hướng khác.
Sine về phía x
Nhưng như bạn có thể thấy rõ bởi
giới hạn quan trọng thứ hai của chúng tôi, nó tiếp cận 1.
Vì vậy, nếu X tiếp cận 0,
sin của X không phải là infinitesimal đối với X,
nó tương đương với X
Vâng, nó được xây dựng trong đó.
Nhưng trong trường hợp X tiếp cận vô cùng,
đó là giới hạn mà chúng ta đã đề cập
gần đây, bạn có nhớ.
Đây là hàm giới hạn,
sin nhân với hàm vô hạn 1 chia cho X,
do đó giới hạn bằng 0,
và ký hiệu little-o giữ.
Sine là vô hạn đối với X
nếu X là không giới hạn. Thật tuyệt.
Vì chúng ta biết định nghĩa của ký hiệu ít o,
chúng ta hãy xem lại nó.
Thứ nhất, những gì chúng tôi đã nói?
Chúng tôi tuyên bố rằng f là
little-o đối với g hoặc f là vô hạn đối với g,
nếu đó là một mối quan hệ tiếp cận 0, hay nói cách khác,
f là kết quả của tích của một
số hàm vô hạn và hàm g.
Vì vậy, chúng ta hãy xem xét câu đố sau này.
Điều đó có nghĩa là gì nếu một số hàm
là ít o đối với hàm hằng số một?
Đối với các phương pháp tiếp cận phức tạp A,
nó không thực sự quan trọng đối với trường hợp của chúng tôi.
Về cơ bản nó có nghĩa là hàm f này là
kết quả của tích của
hàm n vô hạn 1, hằng số 1. Điều
đó về cơ bản có nghĩa là chức năng của chúng ta là vô hạn.
Được viết ở đây. Nhưng cũng có thể,
chúng ta hãy giả định trường hợp sau đây.
Giả sử rằng hàm f của chúng ta có một giới hạn
, ví dụ, vốn A là điểm A
Như vậy, hàm f trừ A,
vốn A của chúng ta trừ đi giới hạn của nó
là vô hạn bởi các quy tắc số học của chúng ta,
vâng, X tiếp cận điểm giới hạn.
Như vậy, chúng ta có thể viết nó xuống rằng
f trừ A là little-o hướng tới 1,
hay nói cách khác,
f là giới hạn của nó cộng với một số hàm vô hạn.
Đó là tất cả những gì, nhưng đó là một ký hiệu tốt.
Tại sao? Bởi vì chúng ta hãy xem xét, ví dụ,
giới hạn quan trọng thứ hai của chúng tôi ở đây.
Về cơ bản, bằng cách sử dụng mối quan hệ vừa được thiết lập của chúng tôi
giữa giới hạn hàm và ký hiệu little-o,
chúng ta có thể lấy được nó theo cách mà sin x chia
cho x bằng 1 cộng với little-o hướng tới 1.
Thật tuyệt.
Nhưng sau đó bạn chỉ có thể viết lại nó theo cách sau,
chúng ta hãy nhân cả hai mặt của phương trình với X ở đây.
Như vậy, chúng ta nhận được sin X bằng X cộng.
Mánh khóe đến rồi.
Trước đây, chúng ta nên viết X
nhân với little-o hướng tới 1.
Nhưng bạn có nhớ,
ít o hướng tới 1 về
cơ bản là bất kỳ chức năng vô hạn nào.
Nhưng sản phẩm
của chức năng vô hạn và một số chức năng khác là gì?
Nó là chức năng vô hạn đối với chức năng chính nó.
Về cơ bản, ở đây, nó được viết ít o về phía X.
Vì vậy, chúng ta hãy trao đổi nó.
Nói cách khác, phép nhân
về ký hiệu ít o,
nó là thực thể ngây thơ, bạn chỉ có thể nhân nó,
không phải là chức năng chính nó,
mà chỉ là lập luận của ký hiệu ít o.
Vậy tại sao nó lại giúp chúng ta?
Hãy để chúng tôi viết lại mối quan hệ này trong điều kiện của một nửa góc.
Ví dụ, sin của X chia cho
2 là X chia cho 2 cộng, một lần nữa,
chúng ta cần phải chính thức
viết little-o về phía X chia cho 2,
nhưng vì chúng ta đang nói về hàm vô hạn,
chia cho 2 không thay đổi thực tế
là chúng ta đang nhìn vào hàm vô hạn.
Nó thực sự sẽ đáp ứng bất kỳ hằng số xuất hiện
trong ký hiệu vô hạn ở đây,
và chỉ cần viết ra little-o về phía x
Vì vậy, hãy nhớ, lượng giác cơ bản,
1 cosin trừ của X là 2 sin bình phương của nửa góc.
Hãy để chúng tôi thay thế sin của chúng
tôi nửa góc với ký hiệu ít O ưa thích của chúng tôi.
Như vậy, ta nhận được hàm cosin là 1 trừ 2,
X chia cho 2 cộng little-o về phía X bình phương.
Hay nói cách khác,
1 trừ X bình phương chia
cho 2 trừ, đó sẽ là cực kỳ phức tạp,
nhưng chúng ta sẽ sống qua nó.
Chỉ cần giữ chặt. Trước hết,
chúng ta cần phải viết cẩn thận những gì chúng ta đang nhận được ở đây.
Chúng ta nên nhận được 2 nhân với X chia cho 2,
nhân nó với little-o đối với X.
vì vậy chúng ta nhận được 2X little-o đối với X,
trừ 2 little-o đối với X bình phương.
Vì vậy, chúng ta hãy dành một thời gian với hai nhiệm kỳ cuối cùng ở đây.
Về cơ bản, [không nghe được] là số nhân liên tục,
mà chúng ta biết không quan trọng,
chúng ta chỉ có thể thừa nhận nó để nói bằng với ký hiệu ít o.
Chúng ta đang nhìn vào một phép nhân với X,
chúng ta sẽ chỉ thiết lập mà có
thể dễ dàng được đưa vào đối số của ký hiệu ít o.
Như vậy, thuật ngữ này
về cơ bản là vô hạn đối với bình phương X.
Tương tự cũng áp dụng trong trường hợp
của nhiệm kỳ thứ hai theo cách sau đây.
Nếu tôi có hai chức năng infinitesimal đối với X,
do đó nó về cơ bản chức năng infinitesimal
nhân với X bình phương.
Do đó chúng ta nhận được
bình phương vô hạn nhân với X bình phương,
hoặc đơn giản là vô hạn đối với X bình phương. Thật dễ dàng.
Vì vậy, kết quả là,
chúng ta nhận được 1 trừ X bình phương chia cho 2,
cộng với little-o về phía X bình phương.
Đây là sự hiểu biết tiệm cận của
hàm cosin trong khu phố
của X, về cơ bản nó là 1.
Sau đó, chúng tôi nhận được hàm bậc hai vuông của chúng tôi. Thật tuyệt.
Đối với một số bạn đã biết,
đó là cơ bản sự khởi
đầu của chuỗi kênh cho chức năng cosine.
Thực hiện cực kỳ,
dễ dàng cực nhanh cho ký hiệu ít o.