[MUSIC]
لذلك بما أننا قد غطينا فكرة وظائف متغيرة واحدة،
فقد حان الوقت للتفكير في حدود وظائف متعددة المتغيرات.
لأنه دعونا نواجه الأمر، في الحياة الحقيقية، نحن لا نفكر عادة في أن
وظيفة الحياة الحقيقية هي وظيفة لمتغير واحد، أليس كذلك؟
لأنه، على سبيل المثال، لا يعتمد سعر شقتك فقط
على عنوان شقتك.
ذلك يعتمد، على سبيل المثال، على عدد الغرف، وعدد من الفئران لاصطياد،
وعدد من قصص الأشباح في ذلك، أليس كذلك؟
لذلك في الأساس، نحصل على وظيفة نتيجة لعدد كبير من درجات الحرية.
الشيء هو أننا سننظر فقط في وظيفة عدة أو
عدد محدود من المتغيرات، أليس كذلك؟
لذلك لا يعني أن هذه هي الحالة الوحيدة ولا يمكن للمرء أن يفكر،
على سبيل المثال، في وظيفة عدد لا نهائي من المتغيرات.
لكنه غير واقعي نوعا
ما، وسنظل في الأرض، على الأقل قليلا.
فما هي وظيفة متعددة المتغيرات؟
وظيفة متعددة المتغيرات هي رسم خرائط من بعض ناقلات ن الأبعاد أو
مجموعة ن الأبعاد من الأرقام الحقيقية إلى أرقام حقيقية.
كما تدوين مكتوب هنا،
في الأساس ما هو قوة الأرقام الحقيقية في ن هو
المنتج قطع من ن مجموعات الأرقام الحقيقية، حسنا؟
هذا سهل
أساسا ما هو، على سبيل المثال، R مربع،
انها طائرة حقيقية حيث يتم ضرب R في R.
أو فقط كنت تبحث في جميع الأزواج الممكنة حيث العنصر الأول هو
الرقم الحقيقي والعنصر الثاني هو الرقم الحقيقي.
وينطبق الشيء نفسه، على سبيل المثال، على R power 3 أو
المساحة الحقيقية ثلاثية الأبعاد.
أنت تبحث في مجموعة من ثلاثة أرقام حقيقية، حيث العنصر الأول هو
كل الأرقام الحقيقية الممكنة، العنصر الثاني هو كل الأرقام الحقيقية الممكنة،
وهذا يمكن أن يكون كل الأرقام الحقيقية الممكنة.
لذلك عادة سوف ننظر فقط في حالة وظيفة اثنين من المتغيرات،
أولا، لأنه من السهل تعميم من هذه النقطة
إلى أيضا عدد محدود من الحالة المتغيرة.
ومن السهل جدا رسم، انها في الأساس الشيء الوحيد الذي من
السهل رسم في حالة متعددة المتغيرات، لذلك سننظر فقط في هذه الحالة.
لذلك أولا، نحن بحاجة إلى أن نذكر أن جميع المصطلحات التي حددناها
لوظائف أو وظائف متغيرة واحدة على الإطلاق، R لا يزال هو نفسه.
لذلك نحن نعرف ما هو المجال، انها مجموعة من جميع المتغيرات الممكنة،
ما هو النطاق أو المجال المشترك، وما هو دعم وظيفة.
لكننا سنقول أنه من الآن فصاعدا، الرسم البياني للدالة متعددة المتغيرات أو،
على سبيل المثال، الرسم البياني لوظيفتين متغيرتين يسمى السطح.
أساسا ما هو عليه، رسميا،
بل هو مجموعة من جميع
النقاط ثلاثية الأبعاد كما س، ص و س نحو س، ص هنا.
وهو، حسنا، على سبيل المثال، النظر في أنك تأخذ ورقة،
ورقة نظيفة، ومن ثم مجرد رميها في الهواء،
وأنها منحنية بطريقة أو بأخرى في الهواء أثناء الطيران، وهذا ما هو السطوح.
حسناً، الخدعة هنا هي أنه من الصعب على
دماغنا أن نتخيل سطحًا فقط من خلال معادلة،
فقط فهم كيف يبدو الأمر.
لأنك لا تحتاج فقط إلى رسمها، ولكن لتخيلها
والعثور على فكرة كيفية تدويرها، ما تحولت إلى ما،
ما هي النتيجة في أقسام مختلفة.
حسنا، هذا كابوس تماما، في لقطة من كلمة.
لذا توصلنا إلى فكرة أخرى
أساسا الفكرة هي أنه إذا كان لدينا سطح،
فإننا نوعًا ما نريد أن يتم وصفه من خلال صورة طائرتنا، رقم الطائرة.
من أجل القيام بذلك، قدمنا مفهوم مستوى الوظيفة، أو مستوى C.
أساسا ما هو عليه، والنظر في أننا المعادلة و نحو x و
y، الأساسية وظيفتنا تساوي C.
نحن مهتمون في جميع الأزواج الممكنة، كل النقاط الحقيقية الممكنة x و
y، الذي يرضي المعادلة لدينا و يساوي C.
ويسمى هذا المنحنى على الطائرة مستوى الدالة.
حسنا، من الواضح أن وظيفة لديها الكثير من المستويات منذ وظيفة لديها الكثير من
القيم المختلفة، أليس كذلك؟
دعونا نحاول إثبات بعض الأساسيات هنا.
على سبيل المثال، الجميع يفهم أن مستويات مختلفة لا تتقاطع، أليس كذلك؟
لأنه إذا تداخل مستويين مختلفين،
فهذا يعني في الأساس أن لديهم نقطة مشتركة x و y
وبالتالي، في هذه النقطة بالذات، من المفترض أن يكون للوظيفة مستويين مختلفين،
قيمتين مختلفتين، وهو أمر غير ممكن لرسم الخرائط الوظيفية، أليس كذلك؟
حسنا، والثانية، على سبيل المثال، كل نقطة في مجال الوظيفة
تنتمي إلى مستوى ما، وهو نوع من نفس إلى حد كبير.
افترض أن لدينا نقطة في المجال x، y،
إذا كان في المجال، وبالتالي يمكننا تطبيق وظيفة عليه.
أساسا يمكننا النظر في قيمة الدالة في هذه النقطة بالذات.
وبالتالي لدينا مستوى يتم تحديده من خلال قيمة الدالة
في هذه النقطة بالذات.
حسنا، لا بأس، دعونا ننظر في بعض الأمثلة.
على سبيل المثال، دعونا أخذنا وظيفة خطية رهيبة x + 2y،
ونحن نهدف إلى رسم ذلك المستويات.
أولا، دعونا نبدأ مع كتابة معادلة،
x + 2y يساوي بعض المستوى C، أليس كذلك؟
لذلك دعونا مجرد نقل س إلى الجزء الأيمن،
تقسيم كلا الجانبين على 2.
وهكذا نحصل على المعادلة المعتادة لدينا على خط مستقيم،
إلا أننا بحاجة إلى كتابتها بعناية.
إذن ماذا لدينا؟
لدينا خط مستقيم مع تحولات رأسية مختلفة،
والتي ترتبط بمستويات مختلفة،
ونفس المنحدر ناقص نصف، أليس كذلك؟
لذلك نحن بحاجة إلى رسم عدة خطوط مع ناقص
نصف منحدر هنا، وهذا هو مستوياتنا.
ولإنهاء تشغيله، عادة ما يكون من الشائع رسم سهم،
مما يعني أن الانتقال من مستوى إلى آخر
في اتجاه هذا مع ارتفاع المستوى.
أساسا منذ يتم تضمين مستوى C لدينا كقيمة إيجابية في التحول الرأسي
، وارتفاع مستوى، وارتفاع قيمة وظيفة على ذلك.
حتى يرتفع مستوى في الاتجاه الصعودي.
حسنا، لذلك دعونا ننتقل إلى شيء آخر، وهو،
حسنا، مثال آخر، وهو القيمة القصوى
لقيمتين مطلقتين من الإحداثيات، أليس كذلك؟
لذلك هو نوع من المهم، على سبيل المثال، التحليل الوظيفي.
لأن فكرة الحد الأقصى من قيمتين مطلقتين هي،
على سبيل المثال، طريقة واحدة لتحديد المسافة بين
نقطتين في الفضاء ثنائي الأبعاد أو على الإطلاق.
لذا ما سنفعله، سنقوم بكتابة معادلة.
وأساسا ما يعنيه، فإنه يعني أساسا أن علينا أن نختار
، أولا، أي متغير له أكبر قيمة،
وبعد ذلك نحن ذاهبون إلى القول أن هذا المتغير هو ثابت مع C.
بما أننا نبحث في القيمة المطلقة لـ x و y،
وبالتالي فإن الصورة ستكون إلى حد كبير نفس الشيء
لجميع الأرباع هنا، أليس كذلك؟
لذلك نحن ذاهبون للنظر فقط x إيجابية و y إيجابية.
وبالتالي نحن نبحث فقط عن
القيمة القصوى لـ x و y تساوي C.
افترض أن x أكبر من y،
وبالتالي يعني في الأساس أن x جميع النقاط
تقع تحت هذا y يساوي x خط مستقيم.
وبالتالي نحن بحاجة إلى رسم خط يتزامن مع فكرة
أن x يساوي C.
هذا هو خط عمودي.
حسنا، حسنا، وكما تعلمون جميعا على الأرجح، نفس الشيء ينطبق على
الجزء العلوي، الذي يتزامن أن y هو أعظم قيمة، y يحمل الحد الأقصى.
وهكذا حصلنا على هذه الزاوية الصحيحة هنا،
وبتناظر القيمة المطلقة،
حصلنا على مثل هذا المربع الجميل، مع مركز في 0.
فلنرسم عدة مستويات,
ثم دعونا نقول إننا نتحدث عن
توسيع المستويات من المركز إلى الفضاء الخارجي.
حسنا، وكلمسة أخيرة، دعونا ننظر في الرسم البياني هنا نفسه.
وما ننظر إليه في الأساس،
نحن في الأساس خارج النظر إلى عدة أقسام
من هذا الرسم البياني بواسطة طائرات أفقية، مثل z يساوي C.
لذلك لإنهاء ذلك، دعونا ننظر في مثال آخر،
وهو x مربع زائد ص مربع.
ومن السهل للغاية، ولكن
هذا هو نوع من أننا ذاهبون للنظر في الكثير جدا.
وبالتالي فإن مستويات واضحة جدا.
أولا، دعونا نقول أن هذه الوظيفة ليس لديها مستويات سلبية،
وجميع القيم إيجابية.
وهذه هي معادلاتنا من الدائرة مع مركز في 0،
وبالتالي نحصل على المستويات التالية،
الدوائر متحدة المركز.
وكما هو الحال في الأمثلة السابقة،
يرتفع مستوى الحق من المركز إلى الخارج.
حسنا، سطح هذه الوظيفة يبدو شيئا من هذا القبيل، وهذا هو بارابولويد.
وآخر شيء أنا ذاهب لرؤية هنا، أساسا ما نحن
ننظر في وظيفة التي ليست مباشرة من اثنين من المتغيرات.
لأنه كما يمكنك أن تفهم، يمكننا إضافة جذر تربيعي
وإعادته بإضافة الطاقة 2 هنا، أليس كذلك؟
لذلك أساسا الشيء الذي هو مكتوب
تحت الطاقة الخارجية هنا هو المسافة
بين نقطة س، ص والنقطة 0، 0، أليس كذلك؟
في الأساس هي المسافة نحو القيمة 0، أليس كذلك؟
لذلك لا تعتمد هذه الوظيفة في الواقع على x و
y بشكل منفصل، فهي تعتمد فقط على المسافة إلى نقطة 0.
وهكذا في الأساس يعني أنه على الدائرة مع نفس دائرة نصف قطرها،
حسنا، إذا كنا مجرد إصلاح دائرة نصف قطرها، والمسافة نحو 0 نقطة،
هذه الوظيفة لا تزال هي نفسها.
أو في الأساس يمكنك فقط أن تأخذ وظيفة مع،
على سبيل المثال، y يساوي 0 ثم قم بتدوير بواسطة محاور o، z.
وبعد ذلك سوف تحصل على هذا السطح الجميل.
[ موسيقى]