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Da wir also die Idee einzelner Variate-Funktionen behandelt haben,
ist es an der Zeit, über die Grenzen für multivariate Funktionen nachzudenken.
Weil wir uns dem stellen, im wirklichen Leben denken wir normalerweise nicht darüber nach, dass die
Funktion des wirklichen Lebens eine Funktion einer einzelnen Variate ist, oder?
Denn zum Beispiel hängt der Preis Ihrer Wohnung nicht nur von
der Adresse Ihrer Wohnung ab.
Es hängt zum Beispiel von der Anzahl der Zimmer, der Anzahl der zu jagen Ratten,
der Anzahl der Geistergeschichten darin ab, richtig?
Also im Grunde erhalten wir als Ergebnis eine ganze Reihe von Freiheitsgraden.
Die Sache ist, dass wir nur die Funktion mehrerer oder
endlicher Anzahl von Variablen betrachten werden, oder?
Es bedeutet also nicht, dass dies der einzige Fall ist und man nicht zum
Beispiel die Funktion der unendlichen Anzahl von Variablen berücksichtigen kann.
Aber es ist irgendwie unrealistisch, und
wir werden im Boden bleiben, zumindest ein bisschen.
Was ist also eine multivariate Funktion?
Multivariate Funktion ist eine Zuordnung von einem n-dimensionalen Vektor oder
einem n-dimensionalen Satz von reellen Zahlen zu reellen Zahlen.
Als Notation hier geschrieben,
im Grunde, was ist reelle Zahlen Macht bei n ist
das Schnittprodukt von n reellen Zahlensätzen, okay?
Das ist einfach.
Im Grunde, was zum Beispiel R quadriert ist,
ist es eine reale Ebene, wo R mit R multipliziert wird.
Oder Sie suchen einfach alle möglichen Paare, bei denen das erste Element eine reelle
Zahl ist und das zweite Element eine reelle Zahl ist.
Gleiches gilt zum Beispiel für R power 3 oder
dreidimensionalen Realraum.
Sie betrachten die Menge von drei reellen Zahlen, wobei das erste Element
alle möglichen reellen Zahlen ist, das zweite Element sind alle möglichen reellen Zahlen,
und dies können alle möglichen reellen Zahlen sein.
Normalerweise werden wir also nur den Fall einer Funktion von zwei Variablen betrachten,
erstens, weil es von diesem Punkt an leicht verallgemeinerbar ist,
auch endliche Anzahl von variablem Fall.
Und es ist ziemlich einfach zu zeichnen, es ist im Grunde das einzige, was
im multivariaten Fall leicht zu zeichnen ist, also werden wir nur diesen Fall betrachten.
Erstens müssen wir sagen, dass alle Begriffe, die wir für
einzelne Variaten-Funktionen oder Funktionen definiert haben, ziemlich gut halten, R bleibt gleich.
Also wissen wir, was eine Domäne ist, es ist eine Reihe von allen möglichen Variablen,
was ist Bereich oder Codomain, und was ist Unterstützung der Funktion.
Aber wir werden sagen, dass ab jetzt der Graph der multivariaten Funktion oder
zum Beispiel der Graph zweier variabler Funktionen eine Oberfläche genannt wird.
Im Grunde, was es ist, formal,
es ist eine Reihe von allen dreidimensionalen
Punkten als x, y und x in Richtung x, y hier.
Was ist, nun, zum Beispiel bedenken Sie, dass Sie ein Blatt nehmen,
ein sauberes Blatt, und dann werfen Sie es einfach in die Luft, und
es ist irgendwie in die Luft gekrümmt, während es fliegt, und das ist, was Oberflächen.
Okay, der Trick hier ist, dass es schwer für
unser Gehirn ist, sich eine Oberfläche vorzustellen, nur durch die Gleichung von,
überhaupt zu verstehen, wie es aussieht.
Weil Sie es nicht nur zeichnen müssen, sondern es sich vorzustellen und
die Idee zu finden, wie man es dreht, was sich in was verwandelt hat,
was ist das Ergebnis in verschiedenen Abschnitten.
Nun, das ist total ein Albtraum, in einem Schuss Wort.
Also haben wir uns eine andere Idee ausgedacht.
Grundsätzlich ist die Idee, dass, wenn wir eine Oberfläche haben,
wir wollen, dass sie durch unser Flugbild, Flugzeugfigur, beschrieben wird.
Um dies zu tun, haben wir das Konzept der Funktionsebene oder C-Ebene eingeführt.
Grundsätzlich, was es ist, bedenken wir, dass wir eine Gleichung f
in Richtung x und y, grundlegende unsere Funktion gleich C. Wir sind an allen möglichen Paaren interessiert
, alle möglichen realen Punkte x und y, die unsere Gleichung f entspricht C.
Diese Kurve auf der Ebene wird Funktionsebene genannt.
Okay, offensichtlich hat Funktion viele Ebenen, da Funktion viele
verschiedene Werte hat, oder?
Versuchen wir, hier einige Grundlagen zu beweisen.
Zum Beispiel versteht jeder, dass sich verschiedene Ebenen nicht überschneiden, oder?
Denn wenn sich zwei verschiedene Ebenen überschneiden,
bedeutet das im Grunde, dass sie einen gemeinsamen Punkt x und y haben.
Und daher soll Funktion an diesem Punkt zwei verschiedene Ebenen haben, zwei
unterschiedliche Werte, was für das funktionale Mapping nicht möglich ist, richtig?
Okay, und der zweite, zum Beispiel, jeder Punkt in der Funktionsdomäne
gehört zu einer Ebene, die ziemlich gleich ist.
Angenommen, wir haben einen Punkt in der Domäne x, y,
wenn es in der Domäne ist, so können wir eine Funktion darauf anwenden.
Grundsätzlich können wir den Wert der Funktion an diesem Punkt betrachten.
So haben wir eine Ebene, die durch den Wert der Funktion
an diesem Punkt bestimmt wird.
Okay, gut, lassen Sie uns ein Beispiel betrachten.
Zum Beispiel, lassen Sie uns ziemlich genial lineare Funktion x + 2y,
und wir zielen darauf ab, es Ebenen zu zeichnen.
Beginnen wir zunächst mit dem Aufschreiben einer Gleichung,
x + 2y entspricht einer Stufe C, richtig?
Also lassen Sie uns einfach x zum rechten Teil bewegen,
teilen beide Seiten durch 2.
Und so bekommen wir unsere übliche Gleichung über gerade Linie,
außer wir müssen sie sorgfältig aufschreiben.
Also, was haben wir?
Wir haben eine gerade Linie mit verschiedenen vertikalen Verschiebungen,
die auf verschiedene Ebenen bezogen ist, und
die gleiche Steigung minus eine Hälfte, oder?
Also müssen wir
hier mehrere Linien mit minus einer halben Steigung zeichnen, das sind unsere Levels.
Und um es zu beenden, ist es in der Regel üblich, einen Pfeil zu zeichnen,
was bedeutet, dass von einer Ebene zur anderen in
der Richtung davon zu gehen, wenn die Ebene steigt.
Grundsätzlich, da unsere C-Ebene als positiver Wert in
die vertikale Verschiebung einbezogen wird, je höher die Ebene, desto höher ist der Wert der Funktion.
So steigt die Ebene in die Aufwärtsrichtung.
Okay, also lassen Sie uns zu einer anderen Sache übergehen, was,
na ja, ein anderes Beispiel ist, das der Maximalwert von
zwei absoluten Werten von Koordinaten ist, richtig?
So ist es zum Beispiel wichtig für die Funktionsanalyse.
Denn die Idee von maximal zwei absoluten Werten ist
zum Beispiel eine Möglichkeit, den Abstand zwischen
zwei Punkten im zweidimensionalen Raum oder was auch immer zu bestimmen.
Also, was wir tun werden, werden wir eine Gleichung aufschreiben.
Und im Grunde, was es bedeutet, bedeutet es im Grunde, dass wir
zuerst wählen müssen, welche Variable den größten Wert hat,
und dann werden wir sagen, dass diese Variable mit C festgelegt ist.
Da wir den absoluten Wert von x und y betrachten,
wird das Bild so ziemlich das Gleiches für
alle Quadranten hier, richtig?
Also werden wir nur positive x und positive y betrachten.
So suchen wir nur nach dem
maximalen Wert von x und y gleich C.
Nehmen Sie an, dass x größer als y ist,
also bedeutet es im Grunde, dass x alle Punkte
unterhalb dieses y gleich x gerade Linie liegen.
Daher müssen wir eine Linie zeichnen, die mit der Idee übereinstimmt
, dass x gleich C ist.
Dies ist eine vertikale Linie.
Okay, nun, und wie Sie wahrscheinlich alle verstehen, gilt das Gleiche für
den oberen Teil, der übereinstimmt, dass y der größte Wert ist, y maximal hält.
So haben wir diesen rechten Winkel hier bekommen, und
durch die Symmetrizität des absoluten Wertes
haben wir so ein schönes Quadrat mit einem Zentrum in 0 bekommen.
Lassen Sie uns mehrere Ebenen ziehen, und
dann lassen Sie uns sagen, dass wir über die
Erweiterung der Ebenen vom Zentrum zum Weltraum sprechen.
Okay, und als letzten Schliff betrachten wir die Grafik hier selbst.
Und was wir im Grunde betrachten,
betrachten wir im Grunde mehrere Abschnitte
dieses Graphen durch horizontale Ebenen, wie z gleich C.
Also, um es zu beenden, lassen Sie uns ein anderes Beispiel betrachten,
das x quadriert plus y quadriert ist.
Und es ist extrem einfach, aber
das ist irgendwie werden wir eine ganze Menge betrachten.
So sind die Levels ziemlich einfach.
Erstens, lassen Sie uns sagen, dass diese Funktion keine negativen Ebenen hat,
alle Werte sind positiv.
Und das ist unsere Gleichungen von Kreis mit einem Zentrum bei 0,
so erhalten wir die folgenden Ebenen,
konzentrische Kreise.
Und wie in den vorherigen Beispielen
steigt die Ebene von der Mitte nach außen.
Okay, die Oberfläche dieser Funktion sieht ungefähr so aus, das ist ein Paraboloid.
Und das letzte, was ich hier sehen werde, im Grunde, was wir
in der Funktion betrachten, die nicht direkt von zwei Variablen ist.
Denn wie Sie verstehen können, können wir eine Quadratwurzel hinzufügen und
sie zurückgeben, indem Sie Kraft 2 hier hinzufügen, richtig?
Also im Grunde ist die Sache, die
unter der äußeren Macht hier geschrieben wird, der Abstand
zwischen einem Punkt x, y und Punkt 0, 0, richtig?
Grundsätzlich ist es der Abstand zum 0 Wert, oder?
Diese Funktion hängt also nicht von x und
y getrennt ab, sie hängt nur von ihrer Entfernung zum 0-Punkt ab.
Also im Grunde bedeutet es, dass auf dem Kreis mit dem gleichen Radius,
na ja, wenn wir nur den Radius fixieren, der Abstand in Richtung 0 Punkt,
diese Funktion bleibt gleich.
Oder im Grunde können Sie einfach eine Funktion mit,
zum Beispiel, y gleich 0 nehmen und dann um seine o, z-Achsen drehen.
Und dann bekommst du diese ziemlich schöne Oberfläche.
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