[MÚSICA]
Así que ya hemos cubierto la idea de funciones variadas únicas,
es hora de pensar en los límites de las funciones multivariantes.
Porque enfrentémoslo, en la vida real, normalmente no pensamos en que la
función de la vida real es una función de una sola variada, ¿verdad?
Porque, por ejemplo, el precio de su apartamento no
depende solo de la dirección de su apartamento.
Depende, por ejemplo, del número de habitaciones, el número de ratas para cazar, el
número de historias de fantasmas en ella, ¿verdad?
Así que básicamente, obtenemos como resultado la función de un buen número de grados de libertad.
La cosa es que vamos a considerar sólo la función de varias o
número finito de variables, ¿verdad?
Por lo tanto, no significa que ese sea el único caso y uno no puede considerar, por
ejemplo, la función de un número infinito de variables.
Pero es poco realista, y
nos vamos a quedar en el suelo, al menos un poco.
Entonces, ¿qué es una función multivariante?
La función multivariante es un mapeo de algún vector n-dimensional o
un conjunto n-dimensional de números reales a números reales.
Como la notación escrita aquí,
básicamente lo que es la potencia de los números reales en n es
el producto de corte de n conjuntos de números reales, ¿de acuerdo?
Esa es una fácil.
Básicamente, lo que es, por ejemplo, R cuadrado,
es un plano real donde R se multiplica por R.
O simplemente estás mirando todos los pares posibles donde el primer elemento es el
número real y el segundo elemento es el número real.
Lo mismo se aplica, por ejemplo, para R power 3 o
espacio real tridimensional.
Usted está mirando el conjunto de tres números reales, donde el primer elemento es
todos los números reales posibles, el segundo elemento es todos los números reales posibles,
y esto puede ser todos los números reales posibles.
Así que generalmente consideraremos solo el caso de una función de dos variables, en
primer lugar, porque es fácilmente generalizable a partir de este punto
hasta también el número finito de casos variables.
Y es bastante fácil de dibujar, es básicamente lo único que es fácil de
dibujar en caso multivariante, por lo que consideraremos solo este caso.
Por lo tanto, en primer lugar, tenemos que afirmar que todos los términos que hemos definido para
funciones o funciones de variable única prácticamente se mantienen, R sigue siendo el mismo.
Así que sabemos lo que es un dominio, es un conjunto de todas las variables posibles,
lo que es rango o codominio, y lo que es soporte de la función.
Pero vamos a decir que a partir de ahora, el gráfico de la función multivariante o,
por ejemplo, el gráfico de dos funciones variables se denomina superficie.
Básicamente lo que es, formalmente,
es un conjunto de todos los
puntos tridimensionales como x, y y x hacia x, y aquí.
Que es, bueno, por ejemplo, considerar que usted está tomando una sábana,
una sábana limpia, y luego simplemente tirarla al aire, y de
alguna manera se curva en el aire mientras está volando, y eso es lo que son las superficies.
Bien, entonces el truco aquí es que es difícil para
nuestro cerebro imaginar una superficie sólo por la ecuación de,
simplemente entender cómo se ve.
Porque no solo necesitas dibujarlo, sino imaginarlo y
encontrar la idea de cómo girarlo, qué se convirtió en qué,
cuál es el resultado en diferentes secciones.
Bueno, eso es una pesadilla, en una pizca de palabras.
Así que se nos ocurrió otra idea.
Básicamente, la idea es que si tenemos una superficie
, queremos que sea descrita por nuestra imagen de avión, figura de plano.
Para ello, introdujimos el concepto de nivel de función, o nivel C.
Básicamente lo que es, considerar que una ecuación f hacia x e
y, básica nuestra función es igual a C.
Estamos interesados en todos los pares posibles, todos los puntos reales posibles x e
y, que satisface nuestra ecuación f es igual a C.
Esta curva en el plano se llama nivel de la función.
Ok, obviamente la función tiene muchos niveles ya que la función tiene muchos
valores diferentes, ¿verdad?
Vamos a tratar de probar algunos conceptos básicos aquí.
Por ejemplo, todo el mundo entiende que los diferentes niveles no se cruzan, ¿verdad?
Porque si dos niveles diferentes se cruzan,
básicamente significa que tienen algún punto común x e y.
Y por lo tanto, en este mismo punto, se supone que la función tiene dos niveles diferentes, dos
valores diferentes, lo cual no es posible para el mapeo funcional, ¿verdad?
Vale, y el segundo, por ejemplo, cada punto en el dominio de la función
pertenece a algún nivel, que es más o menos el mismo.
Supongamos que tenemos algún punto en el dominio x, y,
si está en el dominio, por lo tanto podemos aplicar una función a él.
Básicamente, podemos considerar el valor de la función en este mismo punto.
Por lo tanto, tenemos un nivel que está determinado por el valor de la función
en este mismo punto.
Vale, bien, consideremos un ejemplo.
Por ejemplo, tomemos bastante impresionante función lineal x +
2y, y estamos tratando de dibujar niveles.
Primero, comencemos escribiendo una ecuación,
x + 2y equivale a algún nivel C, ¿verdad?
Así que vamos a mover x a la parte derecha,
dividir ambos lados por 2.
Y así obtenemos nuestra ecuación habitual en línea recta,
excepto que necesitamos escribirla cuidadosamente.
Entonces, ¿qué tenemos?
Tenemos una línea recta con diferentes cambios verticales,
que está relacionado con diferentes niveles, y
la misma pendiente menos la mitad, ¿verdad?
Así que tenemos que trazar varias líneas con menos
una mitad de pendiente aquí, esos son nuestros niveles.
Y para terminarlo, generalmente es común dibujar una flecha, lo
que implica que va de un nivel a otro en
la dirección de esto a medida que el nivel sube.
Básicamente, dado que nuestro nivel C se incluye como valor positivo en
el cambio vertical, cuanto mayor sea el nivel, mayor será el valor de la función en él.
Así que el nivel se eleva en la dirección ascendente.
Bien, entonces pasemos a otra cosa, que es,
bueno, otro ejemplo, que es el valor máximo de
dos valores absolutos de coordenadas, ¿verdad?
Así que es un poco importante para, por ejemplo, el análisis funcional.
Porque la idea de máximo de dos valores absolutos es,
por ejemplo, una forma de determinar la distancia entre
dos puntos en el espacio bidimensional o lo que sea.
Así que lo que vamos a hacer, vamos a escribir una ecuación.
Y básicamente lo que significa, básicamente significa que tenemos que elegir, en
primer lugar, qué variable tiene el mayor valor,
y luego vamos a decir que es esta variable se fija con C.
Puesto que estamos mirando el valor absoluto de x e y,
por lo tanto, la imagen va a ser más o menos el Lo mismo para
todos los cuadrantes aquí, ¿verdad?
Así que vamos a considerar solo x positivas e y positivas.
Por lo tanto, sólo estamos buscando el
valor máximo de x e y igual a C.
Supongamos que x es mayor que y,
por lo tanto, básicamente significa que x todos los puntos
se encuentran por debajo de esta y igual a x línea recta.
Por lo tanto, necesitamos trazar una línea que coincida con la idea de
que x es igual a C.
Esta es una línea vertical.
Vale, bueno, y como probablemente todos entienden, lo mismo se aplica a
la parte superior, que coincide que y es el valor más grande, y mantiene el máximo.
Así conseguimos este ángulo recto aquí, y
por la simmetricidad de valor absoluto,
obtuvimos un cuadrado tan bonito, con un centro en 0.
Dibujemos varios niveles, y
luego afirmemos que estamos hablando de
expandir los niveles del centro al espacio exterior.
Vale, y como toque final, consideremos el gráfico aquí mismo.
Y lo que básicamente estamos mirando,
básicamente estamos mirando varias secciones
de este gráfico por planos horizontales, como z es igual a C.
Así que para terminarlo, consideremos algún otro ejemplo,
que es x cuadrado más y cuadrado.
Y es extremadamente fácil, pero
esto es algo que vamos a ver bastante.
Por lo tanto, los niveles son bastante sencillos.
En primer lugar, vamos a decir que esta función no tiene niveles negativos,
todos los valores son positivos.
Y esta es nuestra ecuación de círculo con un centro en 0,
por lo tanto obtenemos los siguientes niveles,
círculos concéntricos.
Y como en ejemplos anteriores,
el nivel se eleva desde el centro hacia el exterior.
Vale, la superficie de esta función se parece a esto, esto es un paraboloide.
Y lo último que voy a ver aquí, básicamente lo que estamos
viendo en la función que no es directamente de dos variables.
Porque como puedes entender, podemos agregar una raíz cuadrada y
devolverla añadiendo poder 2 aquí, ¿verdad?
Así que básicamente lo que está escrito
bajo la potencia externa aquí es la distancia
entre un punto x, y y el punto 0, 0, ¿verdad?
Básicamente es la distancia hacia el valor 0, ¿verdad?
Así que esta función no depende realmente de x e
y por separado, solo depende de su distancia al punto 0.
Por lo tanto, básicamente significa que en el círculo con el mismo radio,
bueno, si simplemente fijamos el radio, la distancia hacia el punto 0,
esta función sigue siendo la misma.
O básicamente puedes tomar una función con,
por ejemplo, y igual a 0 y luego girarla por sus ejes o, z.
Y entonces obtendrás esta bonita superficie.
[ MÚSICA]