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Donc, puisque nous avons abordé l'idée des fonctions variables uniques,
il est temps de réfléchir aux limites des fonctions multivariées.
Parce que faisons-le face, dans la vraie vie, nous ne pensons pas normalement que
la fonction de la vie réelle est une fonction d'une seule variable, n'est-ce pas ?
Parce que, par exemple, le prix de votre appartement ne dépend pas seulement de
l'adresse de votre appartement.
Cela dépend, par exemple, du nombre de pièces, du nombre de rats à chasser,
du nombre d'histoires de fantômes, n'est-ce pas ?
Donc, fondamentalement, nous obtenons comme un résultat fonction d'un certain nombre de degrés de liberté.
Le fait est que nous allons considérer seulement la fonction de plusieurs ou un
nombre fini de variables, non ?
Donc, cela ne signifie pas que c'est le seul cas et on ne peut pas considérer,
par exemple, la fonction d'un nombre infini de variables.
Mais c'est un peu irréaliste, et
nous allons rester dans le sol, au moins un peu.
Alors, qu'est-ce qu'une fonction multivariée ?
La fonction multivariée est une mappage d'un vecteur n-dimensionnel ou
d'un ensemble n-dimensionnel de nombres réels à des nombres réels.
Comme la notation écrite ici,
fondamentalement quelle est la puissance des nombres réels à n est
le produit coupé de n jeux de nombres réels, ok ?
C' est facile.
Fondamentalement ce qui est, par exemple, R carré,
c'est un vrai plan où R est multiplié par R.
Ou juste vous regardez toutes les paires possibles où le premier élément est le
nombre réel et le second élément est le nombre réel. Il
en va de même, par exemple, pour la puissance R 3 ou
l'espace réel tridimensionnel.
Vous regardez l'ensemble de trois nombres réels, où le premier élément est
tous les nombres réels possibles, le deuxième élément est tous les nombres réels possibles,
et cela peut être tous les nombres réels possibles.
Donc, généralement, nous allons considérer seulement le cas d'une fonction de deux variables
, d'abord, parce qu'il est facilement généralisable
à partir de ce point aussi un nombre fini de cas variable.
Et c'est assez facile à dessiner, c'est fondamentalement la seule chose qui est facile
à dessiner dans un cas multivarié, donc nous ne considérerons que ce cas.
Donc, tout d'abord, nous devons dire que tous les termes que nous avons définis pour
les fonctions ou les fonctions à une seule variable tiennent à peu près, R reste le même.
Donc, nous savons ce qu'est un domaine, c'est un ensemble de toutes les variables possibles,
ce qui est la plage ou le codomaine, et ce qui est le support de la fonction.
Mais nous allons dire qu'à partir de maintenant, le graphe de la fonction multivariée ou,
par exemple, le graphique de deux fonctions variables est appelé une surface.
Fondamentalement ce qu'
il est, formellement, c'est un ensemble de tous les
points tridimensionnels comme x, y et x vers x, y ici.
Ce qui est, eh bien, par exemple, considérer que vous prenez une feuille,
une feuille propre, puis juste la jeter dans l'air, et
il est en quelque sorte incurvé dans l'air pendant qu'il vole, et c'est ce qui est des surfaces.
Ok, donc l'astuce ici est qu'il est difficile pour
notre cerveau d'imaginer une surface juste par l'équation de,
juste du tout comprendre à quoi ça ressemble.
Parce que vous avez besoin non seulement de le dessiner, mais de l'imaginer et de
trouver l'idée de la façon de le faire pivoter, ce qui s'est transformé en
quoi, quel est le résultat dans différentes sections.
Eh bien, c'est un cauchemar, en un mot.
Nous avons donc trouvé une autre idée.
Fondamentalement, l'idée est que si nous avons une surface,
nous voulons qu'elle soit décrite par notre image d'avion, la figure d'avion.
Pour ce faire, nous avons introduit le concept de niveau de fonction, ou niveau C.
Fondamentalement ce qu'il est, considérons que nous une équation f vers x et
y, basique notre fonction est égale à C.
Nous sommes intéressés par toutes les paires possibles, tous les points réels possibles x et
y, qui satisfait notre équation f égale à C.
Cette courbe sur le plan est appelée niveau de la fonction.
Ok, évidemment la fonction a beaucoup de niveaux puisque la fonction a beaucoup de
valeurs différentes, non ?
Essayons de prouver quelques rudiments ici.
Par exemple, tout le monde comprend que les différents niveaux ne se croisent pas, n'est-ce pas ?
Parce que si deux niveaux différents se croisent,
cela signifie fondamentalement qu'ils ont des points communs x et y.
Et donc, à ce stade même, la fonction est censée avoir deux niveaux différents, deux
valeurs différentes, ce qui n'est pas possible pour la cartographie fonctionnelle, non ?
Ok, et le second, par exemple, chaque point dans le domaine de la fonction
appartient à un certain niveau, ce qui est à peu près le même.
Supposons que nous avons un point dans le domaine x, y,
si elle est dans le domaine, donc nous pouvons appliquer une fonction à elle.
Fondamentalement, nous pouvons considérer la valeur de la fonction à ce stade même.
Ainsi, nous avons un niveau qui est déterminé par la valeur de la fonction
à ce point même.
Ok, très bien, prenons un exemple.
Par exemple, nous avons pris une fonction linéaire assez impressionnante x + 2y,
et nous visons à dessiner des niveaux. Tout d'
abord, commençons par écrire une équation,
x + 2y équivaut à un niveau C, non ?
Alors passons x à la partie droite,
divisons les deux côtés par 2.
Et donc nous obtenons notre équation habituelle sur la ligne droite,
sauf que nous devons l'écrire soigneusement.
Alors qu'est-ce qu'on a ?
Nous avons une ligne droite avec différents décalages verticaux,
ce qui est lié à différents niveaux, et
la même pente moins la moitié, non ?
Donc nous devons tracer plusieurs lignes avec moins
une demi-pente ici, c'est nos niveaux.
Et pour finir, il est généralement courant de dessiner une flèche,
ce qui implique que passer d'un niveau à l'autre dans
la direction de ceci à mesure que le niveau augmente.
Fondamentalement puisque notre niveau C est inclus comme valeur positive dans le décalage vertical,
plus le niveau est élevé, plus la valeur de la fonction sur elle est élevée.
Donc, le niveau monte dans la direction ascendante.
Ok, alors passons à une autre chose, qui est,
eh bien, un autre exemple, qui est la valeur maximale de
deux valeurs absolues de coordonnées, non ?
C' est donc un peu important pour, par exemple, l'analyse fonctionnelle.
Parce que l'idée d'un maximum de deux valeurs absolues est,
par exemple, une façon de déterminer la distance entre
deux points dans l'espace bidimensionnel ou quelque chose que ce soit.
Donc ce qu'on va faire, on va écrire une équation.
Et fondamentalement ce que cela signifie, cela signifie fondamentalement que nous devons choisir
, d'abord, quelle variable a la plus grande valeur,
et ensuite nous allons dire que cette variable est fixée avec C.
Puisque nous regardons la valeur absolue de x et y,
donc l'image va être à peu près la La même chose pour
tous les quadrants ici, n'est-ce pas ?
Nous allons donc considérer seulement les x positifs et les y positifs.
Ainsi, nous cherchons seulement
la valeur max de x et y égale à C.
Supposons que x est supérieur à y,
donc fondamentalement cela signifie que x tous les points
se trouve en dessous de ce y égal à x ligne droite.
Nous devons donc tracer une ligne qui coïncide avec l'idée
que x est égal à C.
Il s'agit d'une ligne verticale.
Ok, eh bien, et comme vous le comprenez probablement tous, la même chose s'applique pour
la partie supérieure, ce qui coïncide que y est la plus grande valeur, y détient le maximum.
Ainsi nous avons eu cet angle droit ici, et
par la symétrie de la valeur absolue,
nous avons eu un si beau carré, avec un centre en 0.
Dessinons plusieurs niveaux,
puis affirmons que nous parlons d'
étendre les niveaux du centre à l'espace extra-atmosphérique.
Ok, et comme une touche finale, considérons le graphique ici lui-même.
Et ce que nous regardons
fondamentalement, nous sommes en train
de regarder plusieurs sections de ce graphique par des plans horizontaux, comme z égal
à C. Donc, pour finir, considérons un autre exemple,
qui est x carré plus y carré.
Et c'est extrêmement facile, mais
c'est en quelque sorte que nous allons examiner beaucoup.
Donc, les niveaux sont assez simples.
Tout d'abord, disons que cette fonction n'a pas de niveaux négatifs,
toutes les valeurs sont positives.
Et ce sont nos équations de cercle avec un centre à 0,
donc nous obtenons les niveaux suivants, les
cercles concentriques.
Et comme dans les exemples précédents, le
niveau monte directement du centre vers l'extérieur.
Ok, la surface de cette fonction ressemble à ça, c'est un paraboloïde.
Et la dernière chose que je vais voir ici, fondamentalement ce que nous
regardons dans la fonction qui n'est pas directement à partir de deux variables.
Parce que comme vous pouvez le comprendre, nous pouvons ajouter une racine carrée et la
retourner en ajoutant la puissance 2 ici, non ?
Donc fondamentalement, la chose qui est écrit
sous la puissance extérieure ici est la distance
entre un point x, y et le point 0, 0, non ?
Fondamentalement, c'est la distance vers la valeur 0, non ?
Donc, cette fonction ne dépend pas réellement de x et
y séparément, elle ne dépend que de sa distance au point 0.
Donc, fondamentalement, cela signifie que sur le cercle avec le même rayon
, eh bien, si nous fixons juste le rayon, la distance vers 0 point,
cette fonction reste la même.
Ou fondamentalement, vous pouvez simplement prendre une fonction avec,
par exemple, y égal à 0, puis la faire pivoter par ses axes o, z.
Et puis vous aurez cette jolie surface.
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