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Quindi, dato che abbiamo trattato l'idea delle singole funzioni variate,
è tempo di pensare ai limiti per le funzioni multivariate.
Perché diciamocelo, nella vita reale, normalmente non pensiamo che
la funzione della vita reale sia una funzione di una singola variata, giusto?
Perché, ad esempio, il prezzo del tuo appartamento non
dipende solo dall'indirizzo del tuo appartamento.
Dipende, per esempio, dal numero di stanze, dal numero di ratti da cacciare, dal
numero di storie di fantasmi, giusto?
Quindi, fondamentalmente, otteniamo come risultato la funzione di un certo numero di gradi di libertà.
Il fatto è che stiamo andando a considerare solo la funzione di più o
numero finito di variabili, giusto?
Quindi non significa che questo sia l'unico caso e non si può considerare, per
esempio, la funzione di un numero infinito di variabili.
Ma è un po' irrealistico, e
staremo sotto terra, almeno un po'.
Quindi cos'è una funzione multivariata?
La funzione multivariata è una mappatura da un vettore n-dimensionale o
un insieme n-dimensionale di numeri reali a numeri reali.
Come notazione scritta qui,
fondamentalmente ciò che è il potere dei numeri reali a n è
il prodotto tagliato di n set di numeri reali, ok?
E' facile.
Fondamentalmente ciò che è, ad esempio, R al quadrato,
è un piano reale in cui R viene moltiplicato per R.
O semplicemente stai guardando tutte le possibili coppie in cui il primo elemento è il
numero reale e il secondo elemento è il numero reale.
Lo stesso vale, ad esempio, per la potenza R 3 o
lo spazio reale tridimensionale.
Stai guardando l'insieme di tre numeri reali, dove il primo elemento è
tutti i possibili numeri reali, il secondo elemento è tutti i possibili numeri reali,
e questo può essere tutti i possibili numeri reali.
Quindi di solito considereremo solo il caso di una funzione di due variabili, in
primo luogo, perché è facilmente generalizzabile da questo punto in
poi anche il numero finito di casi variabili.
Ed è abbastanza facile da disegnare, è fondamentalmente l'unica cosa che è
facile da disegnare in caso multivariato, quindi considereremo solo questo caso.
Quindi, in primo luogo, dobbiamo affermare che tutti i termini che abbiamo definito per
singole funzioni o funzioni variate praticamente mantengono, R rimane lo stesso.
Quindi sappiamo cos'è un dominio, è un insieme di tutte le variabili possibili,
cos'è intervallo o codominio, e ciò che è il supporto della funzione.
Ma stiamo per dire che d'ora in poi, il grafico della funzione multivariata o,
per esempio, il grafico di due funzioni variabili è chiamato superficie.
Fondamentalmente quello che è, formalmente,
è un insieme di tutti i
punti tridimensionali come x, y e x verso x, y qui.
Che è, beh, per esempio considera che stai prendendo un foglio,
un foglio pulito, e poi semplicemente gettalo in aria, ed
è in qualche modo curvato nell'aria mentre vola, e questo è ciò che è le superfici.
Ok, quindi il trucco qui è che è difficile per
il nostro cervello immaginare una superficie solo per l'equazione di,
solo per capire come appare.
Perché è necessario non solo disegnarlo, ma immaginarlo e
trovare l'idea di come ruotarlo, cosa si è trasformato in cosa,
qual è il risultato in diverse sezioni.
Beh, e' proprio un incubo, in un colpo di parola.
Quindi ci e' venuta un'altra idea.
Fondamentalmente l'idea è che se
abbiamo una superficie, vogliamo che sia descritta dalla nostra immagine piano, figura piano.
Per fare ciò, abbiamo introdotto il concetto di livello della funzione, o livello C.
Fondamentalmente quello che è, si consideri che noi un'equazione f verso x e
y, base la nostra funzione è uguale a C.
Siamo interessati a tutte le possibili coppie, tutti i possibili punti reali x e
y, che soddisfa la nostra equazione f uguale a C.
Questa curva sul piano è chiamata livello della funzione.
Ok, ovviamente la funzione ha molti livelli poiché la funzione ha molti
valori diversi, giusto?
Proviamo a dimostrare alcune basi qui.
Ad esempio, tutti capiscono che diversi livelli non si intersecano, giusto?
Perché se due livelli diversi si intersecano,
significa fondamentalmente che hanno qualche punto comune x e y.
E quindi, a questo punto, la funzione dovrebbe avere due livelli diversi, due
valori diversi, che non è possibile per la mappatura funzionale, giusto?
Ok, e il secondo, ad esempio, ogni punto nel dominio della funzione
appartiene ad un certo livello, che è praticamente lo stesso.
Supponiamo che abbiamo un certo punto nel dominio x, y,
se è nel dominio, quindi possiamo applicare una funzione ad esso.
Fondamentalmente possiamo considerare il valore della funzione a questo punto.
Quindi abbiamo un livello che è determinato dal valore della funzione
in questo punto.
Ok, va bene, consideriamo un esempio.
Ad esempio, prendiamo piuttosto impressionante funzione lineare x + 2y,
e stiamo mirando a disegnarlo livelli.
Per prima cosa, iniziamo con la scrittura di un'equazione,
x + 2y equivale a un livello C, giusto?
Quindi cerchiamo solo di spostare x alla parte destra,
dividere entrambi i lati per 2.
E così otteniamo la nostra solita equazione su linea retta,
tranne che dobbiamo scriverla attentamente.
Allora, cosa abbiamo?
Abbiamo una linea retta con diversi spostamenti verticali,
che è legato a diversi livelli, e
la stessa pendenza meno metà, giusto?
Quindi abbiamo bisogno di disegnare diverse linee con meno
una mezza pendenza qui, questo è il nostro livello.
E per finirlo, di solito è comune disegnare una freccia, il
che implica che andare da un livello all'altro
nella direzione di questo man mano che il livello sale.
Fondamentalmente poiché il nostro livello C è incluso come valore positivo nello spostamento verticale,
maggiore è il livello, maggiore è il valore della funzione su di esso.
Quindi il livello sale nella direzione verso l'alto.
Ok, allora passiamo ad un'altra cosa, che è,
beh, un altro esempio, che è il valore massimo di
due valori assoluti di coordinate, giusto?
Quindi è un po 'importante per, ad esempio, l'analisi funzionale.
Perché l'idea del massimo di due valori assoluti è,
ad esempio, un modo per determinare la distanza tra
due punti nello spazio bidimensionale o qualsiasi altra cosa.
Quindi quello che faremo, scriveremo un'equazione.
E fondamentalmente ciò che significa, significa fondamentalmente che dobbiamo scegliere, in
primo luogo, quale variabile ha il valore maggiore,
e poi stiamo andando a dire che è questa variabile è fissata con C.
Dal momento che stiamo guardando al valore assoluto di x e y,
quindi l'immagine sta per essere praticamente il Lo stesso per
tutti i quadranti qui, giusto?
Quindi stiamo andando a prendere in considerazione solo le x positive e le y positive.
Quindi stiamo cercando solo
il valore massimo di x e y uguale a C.
Supponiamo che x sia maggiore di y,
quindi fondamentalmente significa che x tutti i punti
si trovano al di sotto di questa y uguale a x linea retta.
Quindi abbiamo bisogno di tracciare una linea che coincide con l'idea
che x è uguale a C.
Questa è una linea verticale.
Ok, bene, e come probabilmente tutti capite, lo stesso vale per
la parte superiore, che coincide che y è il valore più grande, y detiene il massimo.
Così abbiamo ottenuto questo angolo retto qui, e
dalla simmetricità del valore assoluto,
abbiamo ottenuto un quadrato così bello, con un centro in 0.
Disegniamo diversi livelli, e
quindi diciamo che stiamo parlando di
espandere i livelli dal centro allo spazio esterno.
Ok, e come tocco finale, consideriamo il grafico qui stesso.
E quello che stiamo fondamentalmente guardando,
stiamo fondamentalmente fuori guardando diverse sezioni
di questo grafico da piani orizzontali, come z uguale a C.
Quindi, per finirlo, consideriamo qualche altro esempio,
che è x al quadrato più y al quadrato.
Ed è estremamente facile, ma
questo è un po 'stiamo andando a guardare un bel po '.
Quindi i livelli sono abbastanza semplici.
In primo luogo, diciamo che questa funzione non ha livelli negativi,
tutti i valori sono positivi.
E questa è la nostra equazione di cerchio con un centro a 0,
così otteniamo i seguenti livelli,
cerchi concentrici.
E come negli esempi precedenti, il
livello sale direttamente dal centro verso l'esterno.
Ok, la superficie di questa funzione assomiglia a questa, questo è un paraboloide.
E l'ultima cosa che vedrò qui, fondamentalmente ciò che stiamo
guardando nella funzione che non è direttamente da due variabili.
Perché, come puoi capire, possiamo aggiungere una radice quadrata e
restituirla aggiungendo il potere 2 qui, giusto?
Quindi fondamentalmente la cosa che è scritto
sotto il potere esterno qui è la distanza
tra un punto x, y e il punto 0, 0, giusto?
Fondamentalmente è la distanza verso il valore 0, giusto?
Quindi questa funzione non dipende in realtà da x e
y separatamente, dipende solo dalla sua distanza dal punto 0.
Quindi fondamentalmente significa che sul cerchio con lo stesso raggio,
beh, se solo fissiamo il raggio, la distanza verso 0 punto,
questa funzione rimane la stessa.
O fondamentalmente puoi semplicemente prendere una funzione con,
ad esempio, y uguale a 0 e quindi ruotarla con i suoi assi o, z.
E poi otterrai questa bella superficie.
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