[MÚSICA]
Então, uma vez que cobrimos a ideia de funções variadas únicas,
é hora de pensar sobre os limites para funções multivariadas.
Porque vamos enfrentá-lo, na vida real, nós normalmente não pensamos sobre que a
função da vida real é uma função de uma única variável, certo?
Porque, por exemplo, o preço do seu apartamento não
depende apenas do endereço do seu apartamento.
Depende, por exemplo, do número de quartos, do número de ratos para caçar,
do número de histórias de fantasmas, certo?
Então, basicamente, temos como resultado a função de um grande número de graus de liberdade.
A coisa é que nós vamos considerar apenas a função de várias ou
número finito de variáveis, certo?
Portanto, isso não significa que esse é o único caso e não se pode considerar, por
exemplo, a função do número infinito de variáveis.
Mas é meio irrealista, e
vamos ficar no chão, pelo menos um pouco.
Então, o que é uma função multivariada?
Função multivariada é um mapeamento de algum vetor n-dimensional ou
um conjunto n-dimensional de números reais para números reais.
Como notação escrita aqui,
basicamente o que é poder de números reais em n é
o produto de corte de n conjuntos de números reais, ok?
Essa é fácil.
Basicamente, o que é, por exemplo, R ao quadrado,
é um plano real onde R é multiplicado por R.
Ou apenas você está olhando para todos os pares possíveis onde o primeiro elemento é
número real e o segundo elemento é número real.
O mesmo se aplica, por exemplo, para a potência R 3 ou o
espaço real tridimensional.
Você está olhando para o conjunto de três números reais, onde o primeiro elemento é
todos os números reais possíveis, o segundo elemento é todos os números reais possíveis,
e isso pode ser todos os números reais possíveis.
Então, geralmente vamos considerar apenas o caso de uma função de duas variáveis, em
primeiro lugar, porque é facilmente generalizável a partir deste ponto
para também número finito de caso variável.
E é bastante fácil de desenhar, é basicamente a única coisa que é fácil de
desenhar em caso multivariado, então vamos considerar apenas esse caso.
Então, em primeiro lugar, precisamos afirmar que todos os termos que definimos para
funções variadas únicas ou funções praticamente mantêm, R permanece o mesmo.
Então sabemos o que é um domínio, é um conjunto de todas as variáveis possíveis,
o que é intervalo ou codomínio, e o que é suporte da função.
Mas vamos dizer que a partir de agora, o gráfico da função multivariada ou,
por exemplo, o gráfico de duas funções variáveis é chamado de superfície.
Basicamente o que é, formalmente,
é um conjunto de todos os
pontos tridimensionais como x, y e x para x, y aqui.
Que é, bem, por exemplo, considerar que você está pegando uma folha,
uma folha limpa, e então apenas jogá-la no ar, e de
alguma forma é curvada no ar enquanto ele está voando, e isso é o que é superfícies.
Ok, então o truque aqui é que é difícil para o
nosso cérebro imaginar uma superfície apenas pela equação de,
apenas em tudo entender como ele se parece.
Porque você precisa não só desenhá-lo, mas imaginá-lo e
encontrar a idéia de como girá-lo, o que se transformou em que,
qual é o resultado em diferentes seções.
Bem, isso é totalmente um pesadelo, em um tiro de palavra.
Então, tivemos outra ideia.
Basicamente, a idéia é que se temos uma superfície,
nós meio que queremos que ela seja descrita pela nossa imagem de avião, figura de avião.
Para isso, introduzimos o conceito de nível de função, ou nível C.
Basicamente o que é, considere que nós uma equação f para x e
y, básica nossa função é igual a C.
Estamos interessados em todos os pares possíveis, todos os pontos reais possíveis x e
y, que satisfaz nossa equação f igual a C.
Esta curva no plano é chamada de nível da função.
Ok, obviamente a função tem um monte de níveis desde a função tem um monte de
valores diferentes, certo?
Vamos tentar provar o básico aqui.
Por exemplo, todos entendem que diferentes níveis não se cruzam, certo?
Porque se dois níveis diferentes se cruzam,
basicamente significa que eles têm algum ponto comum x e y.
e assim, neste exato ponto, a função deve ter dois níveis diferentes, dois
valores diferentes, o que não é possível para o mapeamento funcional, certo?
Ok, e o segundo, por exemplo, cada ponto no domínio da função
pertence a algum nível, que é praticamente o mesmo.
Suponha que temos algum ponto no domínio x, y,
se estiver no domínio, assim podemos aplicar uma função a ele.
Basicamente, podemos considerar o valor da função neste exato ponto.
Assim, temos um nível que é determinado pelo valor da função
neste exato ponto.
Certo, vamos considerar um exemplo.
Por exemplo, vamos tomar muito impressionante função linear x + 2y,
e estamos com o objetivo de desenhá-lo níveis.
Primeiro, vamos começar escrevendo uma equação,
x + 2y é igual a algum nível C, certo?
Então vamos apenas mover x para a parte direita,
dividir ambos os lados por 2.
E assim obtemos nossa equação usual sobre linha reta,
exceto que precisamos anotá-la cuidadosamente.
Então, o que temos?
Nós temos uma linha reta com diferentes mudanças verticais,
que está relacionado a diferentes níveis, e
a mesma inclinação menos metade, certo?
Então precisamos desenhar várias linhas com menos
uma meia inclinação aqui, que são nossos níveis.
E para terminá-lo, geralmente é comum desenhar uma flecha, o
que implica que ir de um nível para outro
na direção disso à medida que o nível aumenta.
Basicamente, uma vez que o nosso nível C é incluído como valor positivo em deslocamento vertical
, quanto maior o nível, maior o valor da função nele.
Então o nível sobe na direção ascendente.
Ok, então vamos passar para outra coisa, que é,
bem, outro exemplo, que é o valor máximo de
dois valores absolutos de coordenadas, certo?
Então é meio importante para, por exemplo, análise funcional.
Porque a idéia de máximo de dois valores absolutos é,
por exemplo, uma maneira de determinar a distância entre
dois pontos no espaço bidimensional ou qualquer outra coisa.
Então o que vamos fazer, vamos anotar uma equação.
E basicamente o que significa, basicamente significa que temos que escolher, em
primeiro lugar, qual variável tem o maior valor,
e então nós vamos dizer que esta variável é fixada com C.
Uma vez que estamos olhando para o valor absoluto de x e y,
assim a imagem vai ser praticamente o O mesmo para
todos os quadrantes aqui, certo?
Então vamos considerar apenas x positivos e y's positivos.
Assim, estamos olhando apenas para o
valor máximo de x e y igual a C.
Suponha que x é maior do que y,
assim basicamente significa que x todos os pontos
está abaixo deste y igual a x linha reta.
Assim, precisamos desenhar uma linha que coincide com a idéia de
que x é igual a C.
Esta é uma linha vertical.
Ok, bem, e como vocês provavelmente todos entendem, o mesmo se aplica para
a parte superior, que coincide que y é o maior valor, y detém o máximo.
Assim temos este ângulo reto aqui, e
pela simetricidade do valor absoluto,
temos um quadrado tão agradável, com um centro em 0.
Vamos desenhar vários níveis, e
então vamos afirmar que estamos falando de
expandir níveis do centro para o espaço exterior.
Ok, e como toque final, vamos considerar o gráfico aqui em si.
E o que estamos basicamente olhando,
estamos basicamente olhando para várias seções
deste gráfico por planos horizontais, como z igual a C.
Então, para terminá-lo, vamos considerar algum outro exemplo,
que é x ao quadrado mais y ao quadrado.
E é extremamente fácil, mas
isso é tipo de nós vamos olhar para bastante.
Assim, os níveis são bastante simples.
Em primeiro lugar, vamos afirmar que esta função não tem níveis negativos,
todos os valores são positivos.
E estas são as nossas equações de círculo com um centro em 0,
assim obtemos os seguintes níveis,
círculos concêntricos.
E como nos exemplos anteriores, o
nível sobe do centro para o exterior.
Ok, a superfície desta função parece algo assim, isto é um paraboloide.
E a última coisa que vou ver aqui, basicamente o que estamos
olhando na função que não é diretamente de duas variáveis.
Porque, como você pode entender, podemos adicionar uma raiz quadrada e
devolvê-la adicionando poder 2 aqui, certo?
Então basicamente a coisa que está escrita
sob o poder externo aqui é a distância
entre um ponto x, y e ponto 0, 0, certo?
Basicamente é a distância em direção ao valor 0, certo?
Portanto, esta função não depende realmente de x e
y separadamente, depende apenas de sua distância até o ponto 0.
Assim, basicamente, significa que no círculo com o mesmo raio,
bem, se nós apenas corrigir o raio, a distância em direção a 0 ponto,
esta função permanece a mesma.
Ou basicamente você pode simplesmente pegar uma função com,
por exemplo, y igual a 0 e, em seguida, girá-la por seus eixos o, z.
E então você terá essa superfície muito agradável.
[ MUSIC]