[МУЗЫКА]
Так как мы рассмотрели идею одновариативных функций,
пришло время подумать о границах для многомерных функций.
Потому что давайте посмотрим правде в глаза, в реальной жизни мы обычно не думаем о том, что
реальная функция жизни является функцией одного вариата, верно?
Потому что, например, цена вашей квартиры зависит не только
от адреса вашей квартиры.
Это зависит, например, от количества комнат, количества крыс на охоту,
количества историй о призраках в ней, верно?
Таким образом, в основном, мы получаем в результате функцию довольно много степеней свободы.
Дело в том, что мы будем рассматривать только функцию нескольких или
конечного числа переменных, верно?
Это не означает, что это единственный случай, и нельзя рассматривать,
например, функцию бесконечного количества переменных.
Но это нереально, и
мы останемся в земле, хотя бы немного.
Итак, что такое многомерная функция?
Многомерная функция представляет собой отображение от некоторого n-мерного вектора или
n-мерного набора вещественных чисел к вещественным числам.
Как написано здесь,
в основном то, что такое сила действительных чисел при n, это
вырезать произведение n вещественных наборов чисел, хорошо?
Это легко.
В основном то, что, например, R квадрат,
это реальная плоскость, где R умножается на R.
Или просто вы смотрите на все возможные пары, где первый элемент является вещественным
числом, а второй элемент - вещественное число.
То же самое относится, например, к R power 3 или
трехмерному реальному пространству.
Вы смотрите на набор из трех вещественных чисел, где первым элементом являются
все возможные вещественные числа, вторым элементом являются все возможные вещественные числа,
и это могут быть все возможные реальные числа.
Поэтому обычно мы будем рассматривать только случай функции двух переменных,
во-первых, потому что она легко обобщается с этого момента,
чтобы также конечное число случая переменной.
И это довольно легко рисовать, это в основном единственное, что легко
рисовать в многомерном случае, поэтому мы рассмотрим только этот случай.
Итак, во-первых, мы должны заявить, что все термины, которые мы определили для
одновариативных функций или функций вообще в значительной степени удерживают, R остается прежним.
Таким образом, мы знаем, что такое домен, это набор всех возможных переменных,
что такое диапазон или кодомен, и что такое поддержка функции.
Но мы скажем, что отныне график многомерной функции или,
например, график двух переменных функции называется поверхностью.
В основном, что это, формально,
это набор всех трехмерных
точек как x, y и x к x, y здесь.
Что, например, считайте, что вы берете лист,
чистый лист, а затем просто бросаете его в воздух, и
он каким-то образом изогнут в воздух, пока он летит, и вот что есть поверхности.
Итак, фокус в том, что
нашему мозгу трудно представить поверхность по уравнению,
просто вообще понять, как она выглядит.
Потому что нужно не только рисовать его, но и представить его и
найти идею, как его вращать, что превратилось во что,
какой результат в разных секциях.
Ну, это просто кошмар, в нескольких словах.
Итак, мы придумали другую идею.
В основном идея заключается в том, что если у нас есть поверхность,
мы хотели бы, чтобы она была описана нашей плоскостной картинкой, плоскостной фигурой.
Для этого мы ввели понятие уровня функции, или C-уровня.
В основном, что это, рассмотрим, что мы уравнение f к x и
y, основные наша функция равна C.
Мы заинтересованы во всех возможных парах, все возможные реальные точки x и
y, который удовлетворяет наше уравнение f равно C.
Эта кривая на плоскости называется уровнем функции.
Хорошо, очевидно, функция имеет много уровней, так как функция имеет много
разных значений, верно?
Давайте попробуем доказать некоторые основы.
Например, все понимают, что разные уровни не пересекаются, верно?
Потому что если два разных уровня пересекаются,
это в основном означает, что они имеют некоторые общие точки x
и y. И, таким образом, в этот самый момент, функция должна иметь два разных уровня
, два разных значения, что невозможно для функционального отображения, верно?
Хорошо, а вторая, например, каждая точка в домене функций
принадлежит некоторому уровню, который почти одинаков.
Предположим, что у нас есть некоторая точка в домене x, y,
если она находится в домене, таким образом мы можем применить к нему функцию.
В основном мы можем рассмотреть значение функции в этот самый момент.
Таким образом, у нас есть уровень, который определяется значением функции
в этой самой точке.
Хорошо, давайте рассмотрим пример.
Например, давайте возьмем довольно удивительную линейную функцию x + 2y,
и мы стремимся нарисовать ее уровни.
Во-первых, давайте начнем с записи уравнения,
x +2y равно некоторому уровню C, верно?
Так давайте просто переместим х в правую часть,
разделим обе стороны на 2.
И, таким образом, мы получаем наше обычное уравнение по прямой,
за исключением того, что нам нужно записать его тщательно.
Так что у нас есть?
У нас есть прямая линия с разными вертикальными смещениями,
которая связана с разными уровнями, и один и
тот же наклон минус половина, верно?
Поэтому нам нужно нарисовать несколько линий с минус
полууклоном, это наши уровни.
И чтобы закончить его, обычно обычно нарисовать стрелу,
что означает, что переход с одного уровня на другой
в направлении этого, как уровень поднимается.
В основном, так как наш C-уровень включен в качестве положительного значения в вертикальный сдвиг
, чем выше уровень, тем выше значение функции на нем.
Таким образом, уровень поднимается в направлении вверх.
Ладно, давайте перейдем к другой вещи, что,
ну, еще один пример, это максимальное значение
двух абсолютных значений координат, верно?
Так что это важно, например, для функционального анализа.
Потому что идея максимума двух абсолютных значений является,
например, одним из способов определения расстояния между
двумя точками в двумерном пространстве или вообще.
Так что мы собираемся сделать, мы собираемся написать уравнение вниз.
И в основном, что это означает, это в основном означает, что мы должны выбрать
, во-первых, какая переменная имеет наибольшее значение,
а затем мы собираемся сказать, что эта переменная фиксируется с C.
Поскольку мы смотрим на абсолютное значение x и y,
таким образом, картина будет в значительной степени одинаково для
всех квадрантов здесь, верно?
Таким образом, мы будем рассматривать только положительные х и положительные у.
Таким образом, мы ищем только
максимальное значение x и y равно C.
Предположим, что x больше, чем у,
таким образом, в основном это означает, что x все точки
находятся ниже этого y равны x прямой линии.
Таким образом, нам нужно нарисовать линию, которая совпадает с идеей о том,
что х равен С.
Это вертикальная линия.
Хорошо, и как вы, вероятно, все понимаете, то же самое относится к
верхней части, которая совпадает с тем, что y является наибольшим значением, y имеет максимум.
Таким образом, мы получили этот прямой угол, и
по симметричности абсолютного значения
мы получили такой хороший квадрат, с центром в 0.
Прорисуем несколько уровней, а
потом скажем, что речь идет о
расширении уровней от центра до космоса.
Хорошо, и в качестве последнего касания, давайте рассмотрим сам график.
И то, что мы в основном смотрим на,
мы в основном смотреть на несколько разделов
этого графика горизонтальными плоскостями, такими как z равно C.
Так что, чтобы закончить его, давайте рассмотрим другой пример,
который х в квадрате плюс у в квадрате.
И это очень легко, но
это своего рода мы будем смотреть довольно много.
Таким образом, уровни довольно просты.
Во-первых, констатируем, что эта функция не имеет отрицательных уровней,
все значения положительные.
И это наши уравнения окружности с центром на 0,
таким образом мы получаем следующие уровни,
концентрические круги.
И, как и в предыдущих примерах,
уровень поднимается прямо от центра к наружу.
Окей, поверхность этой функции выглядит примерно так, это параболоид.
И последнее, что я увижу здесь, в основном то, что мы
смотрим в функции, которая не является непосредственно из двух переменных.
Потому что, как вы можете понять, мы можем добавить квадратный корень и
вернуть его, добавив мощность 2 здесь, верно?
Итак, в основном, вещь, которая
написана под внешней силой здесь - это расстояние
между точкой x, y и точкой 0, 0, верно?
В основном это расстояние к значению 0, верно?
Таким образом, эта функция на самом деле не зависит от x и
y отдельно, она зависит только от ее расстояния до точки 0.
Таким образом, в основном это означает, что на окружности с таким же радиусом
, ну, если мы просто зафиксируем радиус, расстояние к 0 точке,
эта функция остается прежней.
Или в основном вы можете просто взять функцию с,
например, y равным 0, а затем повернуть ее по осям o, z.
И тогда вы получите эту довольно красивую поверхность.
[ МУЗЫКА]