[MUSIC]
Vì vậy, vì chúng tôi đã đề cập đến ý tưởng của các hàm biến thể đơn,
đó là thời gian để suy nghĩ về các giới hạn cho các hàm đa biến.
Bởi vì chúng ta hãy đối mặt với nó, trong cuộc sống thực, chúng ta thường không nghĩ về
chức năng đời thực đó là một chức năng của một biến thể duy nhất, đúng không?
Bởi vì, ví dụ, giá căn hộ của bạn không chỉ phụ thuộc vào
địa chỉ của căn hộ của bạn.
Nó phụ thuộc vào số phòng, số lượng chuột để săn,
số câu chuyện ma trong đó, đúng không?
Vì vậy, về cơ bản, chúng tôi nhận được như là một chức năng kết quả của khá nhiều mức độ tự do.
Vấn đề là chúng ta sẽ xem xét chỉ chức năng của một số hoặc
hữu hạn số biến, phải không?
Vì vậy, nó không có nghĩa rằng đó là trường hợp duy nhất và người ta không thể xem xét
, ví dụ, chức năng của vô hạn số biến.
Nhưng nó không thực tế, và
chúng ta sẽ ở trong lòng đất, ít nhất một chút.
Vậy hàm đa biến là gì?
Hàm đa biến là một ánh xạ từ một số vector n chiều hoặc
một tập hợp n chiều các số thực đến các số thực.
Như ký hiệu được viết ở đây,
về cơ bản là những gì sức mạnh số thực tại n là
sản phẩm cắt của n bộ số thực, okay?
Thật dễ dàng.
Về cơ bản những gì là, ví dụ, R bình phương,
đó là một mặt phẳng thực, nơi R được nhân với R
hoặc chỉ bạn đang nhìn vào tất cả các cặp có thể mà phần tử đầu tiên là
số thực và phần tử thứ hai là số thực.
Điều tương tự cũng áp dụng, ví dụ, đối với công suất R 3 hoặc
không gian thực ba chiều.
Bạn đang nhìn vào tập hợp ba số thực, trong đó phần tử đầu tiên là
tất cả các số thực có thể, phần tử thứ hai là tất cả các số thực có thể,
và điều này có thể là tất cả các số thực có thể.
Vì vậy, thông thường chúng ta sẽ xem xét chỉ là trường hợp của một hàm của hai biến
, trước hết, bởi vì nó dễ dàng khái quát hóa từ thời điểm này
về cũng có số hữu hạn của trường hợp biến.
Và nó khá dễ dàng để vẽ, về cơ bản nó là điều duy nhất dễ dàng
để vẽ trong trường hợp đa biến, vì vậy chúng tôi sẽ chỉ xem xét trường hợp này.
Vì vậy, trước hết, chúng ta cần phải nói rằng tất cả các thuật ngữ mà chúng tôi đã xác định cho các
chức năng biến thể đơn hoặc chức năng ở tất cả các giữ khá nhiều, R vẫn giữ nguyên.
Vì vậy, chúng tôi biết một miền là gì, nó là một tập hợp của tất cả các biến có thể,
phạm vi hoặc codomain là gì, và hỗ trợ của chức năng là gì.
Nhưng chúng ta sẽ nói rằng từ bây giờ, đồ thị của hàm đa biến hoặc,
ví dụ, đồ thị của hai hàm biến được gọi là một bề mặt.
Về cơ bản nó là gì, chính thức,
nó là một tập hợp của tất cả các
điểm ba chiều như x, y và x đối với x, y đây. Đó
là, tốt, ví dụ xem xét rằng bạn đang lấy một tấm,
một tấm sạch, và sau đó chỉ cần ném nó vào không khí, và
nó bằng cách nào đó cong vào không khí trong khi nó đang bay, và đó là những gì là bề mặt.
Được rồi, thủ thuật ở đây là thật khó
để não chúng ta tưởng tượng ra một bề mặt chỉ bằng phương trình,
chỉ cần hiểu nó trông như thế nào.
Bởi vì bạn không chỉ cần vẽ nó, mà còn để tưởng tượng nó và
tìm ra ý tưởng làm thế nào để xoay nó, những gì biến thành những
gì, kết quả là gì trong các phần khác nhau.
À, đó hoàn toàn là một cơn ác mộng, trong một lời nói.
Vì vậy, chúng tôi đã đưa ra một ý tưởng khác.
Về cơ bản, ý tưởng là nếu chúng ta có bề mặt,
chúng ta muốn nó được mô tả bằng hình ảnh máy bay, hình ảnh máy bay của chúng ta.
Để làm được điều đó, chúng tôi đã giới thiệu khái niệm về cấp hàm, hoặc cấp C.
Về cơ bản nó là gì, hãy xem xét rằng chúng ta một phương trình f về phía x và
y, cơ bản hàm của
chúng ta bằng C. Chúng ta quan tâm đến tất cả các cặp có thể
, tất cả các dấu chấm thực có thể x và y, mà thỏa mãn phương
trình của chúng ta f bằng C.
Được rồi, rõ ràng chức năng có rất nhiều mức độ kể từ khi chức năng có rất nhiều
giá trị khác nhau, phải không?
Hãy cố gắng chứng minh một số điều cơ bản ở đây.
Ví dụ, mọi người đều hiểu rằng các cấp độ khác nhau không giao nhau, phải không?
Bởi vì nếu hai cấp độ khác nhau giao nhau,
về cơ bản nó có nghĩa là chúng có một số điểm chung x và y
Và do đó, tại thời điểm này, hàm được cho là có hai cấp độ khác nhau, hai
giá trị khác nhau, mà là không thể cho phép lập bản đồ chức năng, phải không?
Được rồi, và thứ hai, ví dụ, mỗi điểm trong miền chức năng
thuộc về một mức độ nào đó, mà là loại khá giống nhau.
Giả sử rằng chúng ta có một số điểm trong miền x, y,
nếu nó nằm trong miền, do đó chúng ta có thể áp dụng một hàm cho nó.
Về cơ bản chúng ta có thể xem xét giá trị của hàm tại thời điểm này rất.
Như vậy chúng ta có một mức độ được xác định bởi giá trị của hàm
tại thời điểm này.
Được rồi, tốt thôi, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ.
Ví dụ, chúng ta hãy lấy chức năng tuyến tính khá tuyệt vời x + 2y,
và chúng tôi đang hướng tới để vẽ nó mức độ.
Đầu tiên, chúng ta hãy bắt đầu với việc viết ra một phương trình,
x + 2y bằng một số cấp độ C, phải không?
Vì vậy, chúng ta hãy di chuyển x đến phần bên phải,
chia cả hai bên cho 2.
Và do đó chúng ta có được phương trình thông thường của chúng tôi trên đường thẳng,
ngoại trừ chúng ta cần phải viết nó một cách cẩn thận xuống.
Vậy chúng ta có gì?
Chúng ta có một đường thẳng với các dịch chuyển theo chiều dọc khác nhau,
có liên quan đến các mức khác nhau, và
cùng độ dốc trừ đi một nửa, đúng không?
Vì vậy, chúng ta cần vẽ một số đường với
độ dốc âm một nửa ở đây, đó là mức độ của chúng tôi.
Và để kết thúc nó, nó thường phổ biến để vẽ một mũi tên,
mà ngụ ý rằng đi từ một cấp độ khác theo
hướng này khi mức độ tăng lên.
Về cơ bản kể từ khi cấp C của chúng tôi được bao gồm như là giá trị dương vào dịch chuyển dọc
, mức càng cao thì giá trị của hàm trên đó càng cao.
Vì vậy, mức tăng lên theo hướng đi lên.
Được rồi, chúng ta hãy chuyển sang thứ khác,
ví dụ khác, đó là giá trị tối đa của
hai giá trị tuyệt đối của tọa độ, phải không?
Vì vậy, nó là loại quan trọng cho, ví dụ, phân tích chức năng.
Bởi vì ý tưởng tối đa của hai giá trị tuyệt đối là,
ví dụ, một cách để xác định khoảng cách giữa
hai chấm trong không gian hai chiều hoặc bất cứ thứ gì.
Vì vậy, những gì chúng ta sẽ làm, chúng ta sẽ viết một phương trình xuống.
Và về cơ bản những gì nó có nghĩa là, nó về cơ bản có nghĩa là chúng ta phải lựa chọn
, trước tiên, mà biến có giá trị lớn nhất,
và sau đó chúng ta sẽ nói rằng biến này được cố định với C.
Vì chúng ta đang nhìn vào giá trị tuyệt đối của x và y,
do đó hình ảnh sẽ được khá nhiều giống nhau cho
tất cả các góc phần tư ở đây, phải không?
Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét chỉ dương x và dương y.
Như vậy chúng ta đang tìm kiếm chỉ
giá trị tối đa của x và y bằng C
giả sử rằng x lớn hơn y,
do đó về cơ bản nó có nghĩa là x tất cả các điểm
nằm dưới y này bằng x đường thẳng.
Vì vậy, chúng ta cần phải vẽ một đường thẳng trùng với ý tưởng
rằng x bằng C.
Đây là một đường thẳng đứng.
Được rồi, tốt, và như các bạn có thể hiểu, điều tương tự cũng áp dụng cho
phần trên, trùng với y là giá trị lớn nhất, y giữ tối đa.
Vì vậy, chúng tôi có góc phải này ở đây, và
bởi sự đối xứng của giá trị tuyệt đối,
chúng tôi có một hình vuông đẹp như vậy, với một trung tâm trong 0.
Hãy để chúng tôi vẽ một số cấp độ, và
sau đó chúng ta hãy nói rằng chúng ta đang nói về việc
mở rộng các cấp độ từ trung tâm đến không gian bên ngoài.
Được rồi, và như là một liên lạc cuối cùng, chúng ta hãy xem xét biểu đồ ở đây chính nó.
Và những gì chúng ta đang xem xét về cơ
bản, chúng ta đang nhìn vào một vài phần
của đồ thị này bằng các mặt phẳng ngang, chẳng hạn như z bằng C.
Vì vậy, để kết thúc nó đi, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ khác,
đó là x bình phương cộng với y bình phương.
Và nó cực kỳ dễ dàng, nhưng
đây là loại chúng ta sẽ xem xét khá nhiều.
Vì vậy, các cấp độ khá đơn giản.
Thứ nhất, chúng ta hãy nói rằng hàm này không có mức âm,
tất cả các giá trị đều tích cực.
Và đây là phương trình của chúng ta về đường tròn với một tâm ở 0,
do đó chúng ta nhận được các cấp sau, các
đường tròn đồng tâm.
Và như trong các ví dụ trước,
mức độ tăng lên ngay từ trung tâm ra bên ngoài.
Được rồi, bề mặt của chức năng này trông giống như thế này, đây là một paraboloid.
Và điều cuối cùng tôi sẽ thấy ở đây, về cơ bản những gì chúng ta đang
nhìn vào trong chức năng mà không phải là trực tiếp từ hai biến.
Bởi vì như bạn có thể hiểu, chúng ta có thể thêm một căn bậc hai và
trả lại nó bằng cách thêm sức mạnh 2 ở đây, phải không?
Vì vậy, cơ bản điều được viết
dưới sức mạnh bên ngoài ở đây là khoảng cách
giữa một điểm x, y và điểm 0, 0, phải không?
Về cơ bản nó là khoảng cách đối với giá trị 0, phải không?
Vì vậy hàm này không thực sự phụ thuộc vào x và
y riêng biệt, nó chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của nó đến điểm 0.
Vì vậy, về cơ bản nó có nghĩa là trên vòng tròn với cùng một bán kính
, tốt, nếu chúng ta chỉ cần sửa bán kính, khoảng cách về phía 0 điểm,
chức năng này vẫn giữ nguyên.
Hoặc về cơ bản bạn chỉ có thể lấy một hàm với,
ví dụ, y bằng 0 và sau đó xoay nó bằng trục o, z của nó.
Và sau đó bạn sẽ có được bề mặt khá đẹp này.
[ NHẠC]