لذلك دعونا ننظر في أمثلة أكثر بناءة
لحدود وظائف المتغير الواحد
وحالات غيابه.
لذلك أولا، دعونا نبدأ مع الأفكار التي
يمكننا في بعض الأحيان فقط فصل المتغيرات إلى وظائف فردية.
في بعض الأحيان نحن بحاجة إلى تجميع لهم.
على سبيل المثال، يعتبر الحدود
عندما x و y يقترب من
نقطة الصفر و نحن بحاجة إلى العثور على حد
من جيب المنتجات x و y مقسوما على x
، لذلك، بطبيعة الحال، شيء واحد يمكننا القيام به دائما،
يمكننا أن نقرر ما إذا كان
هناك أو لا شكل محدد.
ولكن من السهل جدا لأن منتج
x و y يقترب من الصفر مضروبا في نهج الصفر.
جيب الصفر هو صفر،
وبالتالي نقسم الصفر على الصفر وهذا
هو بالتأكيد في شكل محدد.
لذلك نحن بحاجة إلى القيام بشيء معها.
أولاً، الشيء الذي يشبهه
هو حدودنا المهمة الثانية،
التي كانت جيبية مقسومة على t، وهي
تقترب من واحد بينما تقترب الحجة من الصفر.
لذلك نحن بحاجة إلى الخروج بطريقة أو بأخرى مع نفس المفهوم هنا.
في الأساس، دعونا نفترض أنه بما
أننا لا نعرف أي صيغ من
علم المثلثات الذي يفصل بين جيب المنتجات،
وبالتالي نحن بحاجة إلى تجميع
المتغيرات في الجيب إلى متغير جديد
t، وبالتالي إذا
وجدنا هذا المتغير t متكامل في القاسم،
ثم يمكننا الحصول على الحد المهم الثاني هنا.
من أجل القيام بذلك, يمكننا ببساطة إضافة ذ مضاعف
وتقسيم من قبل مضاعف لدينا القاسم الرئيسي.
ما ننظر إليه، ونحن ننظر إلى
شرط ر مقسوما على t لأنها تقترب من واحد،
مضروبا في وظيفة متغير واحد ذ لأنها
تقترب من مهمتنا.
وبالتالي، فإن الحد لدينا يساوي.
دعونا ننظر في هذا المنظر الجميل
على السطح ونحن في الواقع نتحدث عن
الحد في هذه المرحلة بالذات.
هذا هو صفر وهذا هو محور z لدينا،
لذلك هذا هو نقطة لطيفة.
كما هو الحال دائما، لقد أرفقت هذه الرسوم البيانية
في مواد إضافية حيث يمكنك
تدويرها واللعب معها بعد المحاضرة.
لذلك كان هذا واحدا لطيفا،
مثال بسيط نوعا ما.
دعونا ننتقل إلى واحدة أكثر مخيفة.
حسناً هذه هي وظيفة n نحن
نفكر في الحد عند النقطة 0،0
وهو تقسيم
وظيفتين كثيرتين الحدود التي يجب أن تكون لطيفة
بوضوح لأنه في وظيفة التفرد
انها دائما واحدة من أبسط الحالات.
فماذا يحدث إذا
اعتبرنا س مقسوما على س مربع زائد ص حالة مربع؟
حسنا، بشكل أساسي، هذا كابوس
وسأريكم بالطريقة التالية.
أولا, دعونا نفترض أننا بحاجة إلى
فهم ما يمكن أن يكون عليه في النتائج.
لذلك نحن بحاجة إلى العثور على أي مرشح ممكن للحد.
من أجل القيام بذلك، ونحن نعتبر
بعض الاتجاه من نهج 0,0 نقطة.
على سبيل المثال، أنا ذاهب
للنظر في النهج الأفقي
حيث x يساوي بعض المعلمة t و y يساوي الصفر.
وبالتالي، نحن بحاجة إلى العثور على الحد عندما تقترب t من الصفر.
لذلك دعونا نستبدل x و y باتجاهاتنا.
وهكذا، نحصل على ر مضروبا في
الصفر مقسوما على t تربيع زائد صفر مربع،
وهو ما يعني أساسا أننا
نفكر في الحد من الصفر.
لا وظيفة لا نهاية لها ولكن الصفر نفسه،
والحد من الصفر هو ببساطة صفر.
حسناً، هذا لطيف
وينطبق الشيء نفسه على الاتجاه الرأسي، على سبيل المثال.
ولكن إذا كنا مجرد لعب وحدها مع الاتجاه،
على سبيل المثال، إذا كان يساوي t و y يساوي t،
وهذا الاتجاه قطري، وبالتالي
نحصل على وظيفة مختلفة إلى حد كبير نتيجة
لأنه يؤدي إلى ر مضروبا في ر
مقسوما على t تربيع زائد ر تربيع كما تقترب ر الصفر.
أو بعبارة أخرى، نصف.
نظرًا لأن النصف ليس صفرًا، فإن
هذه الوظيفة ليس لها حد عند هذه النقطة بالذات.
دعونا نرى ما يعنيه أساسا لسطحنا.
في الأساس، بالنسبة لسطحنا، دعونا ننظر.
وهذا يعني أن لدينا هنا خط عمودي.
وبعبارة أخرى، إذا كنا مجرد النظر في
الاتجاه س يساوي t و y يساوي على سبيل المثال kt،
وهو أي اتجاه مستقيم نحو 0,0 نقطة،
ثم وظيفتنا تسير إلى kt تربيع
مقسوما على ك تربيع t مربع زائد t مربع،
أو ك مقسوما على k مربع زائد واحد وهو ثابت.
وهكذا، كل هذه الاتجاهات هي مستوياتنا.
أو في الأساس ما ننظر إليه،
ونحن ننظر في وظيفة مع رفع لطيفة مثل
مستويات مع مستوى الصفر
على المحور ونصف على المركز.
في الأساس، تنمو مستوياتنا هنا،
ولكن عند نقطة 0,0 هناك جميع المستويات الممكنة. في
الأساس نحن نبحث في وظيفة تشبه
جميع الثوابت الممكنة من الصفر إلى النصف،
مما يعني أنه
لا يوجد ثابت واحد لحكم كل منهم، وليس هناك حد.
حسناً لذلك متعدد الحدود مقسوما على
متعدد الحدود يمكن أن يكون كابوسا.
ولكن هذا يعني أنه دائما مثل هذا.
حَسناً، هو لا.
النظر في أننا زيادة قوة
متعدد الحدود في القاسم وبعد ذلك
ربما هنا يمكننا الحصول على إجابة لطيفة لدينا.
حسناً أولا، الشيء هنا هو
استدعاء الحد لأنه إذا نظرنا فقط في
نهجنا الأفقي أو مجرد حالة مشتركة لأن
لدينا متعدد الحدود من ترتيب أعلى في التسميات
والقواسم كما
من خلال نظرنا في القليل على التدوين،
ونحن أساسا الحصول على أن هذا المرشح
قليلاً أو فيما يتعلق بالقواسم،
يجب أن يكون الحد صفرًا.
حسنا، في التدوين الأفقي فإنه يثبت أساسا
وجهة نظرنا لأن وظائفنا تتحول إلى الصفر نفسه.
كيف يمكن للمرء أن يثبت أن الدالة تقترب من الصفر
لأنه من الصعب التحرك نحو مفاتيح متغيرة واحدة،
فإنها سوف تكتب ما يلي.
نحن ذاهبون للعثور على الحدود
على القيمة المطلقة
لهذه الوظيفة التي هي وظيفة متغير واحد.
على سبيل المثال، افترض أننا طردنا
من القاسم زائد y مربع،
وبالتالي القاسم يصبح بالضرورة
قيمة منخفضة لأن y مربع غير سلبي.
وهكذا، إذا كان القاسم أقل ثم الجزء كله هو،
يصبح أكبر وهو x مربع مضروبا في
y مقسوما على س مربع أو مجرد Y يقترب الصفر.
إذا اقتربت y من الصفر،
فإن وظيفتنا محصورة بشكل أساسي بـ y و ناقص y،
كل ذلك يقترب من الصفر،
وبالتالي تقترب وظيفتنا من الصفر.
حسناً لقد أثبتنا ذلك و هذا لطيف
دعونا نأخذ على سبيل المثال،
ننظر إلى السطح.
انها نوع من السائبة، إلى
حد كبير سطح رائع.
انها ليست متضررة للغاية،
ليست معقدة للغاية، فقط منحنى لطيف من الورق هنا.
حسناً كما الخدعة الأخيرة التي سوف تظهر لكم هنا،
دعونا ننظر إلى حد كبير نفس الوظيفة
ولكن من أجل
إثبات أن شيئا ما هو صفر،
وأحيانا الناس استخدام ما يسمى الإحداثيات القطبية.
مما يعني أساسا أنه يمكننا إعادة كتابة
إحداثيات x و y
من حيث المسافة إلى الصفر
وزاوية من هذا على سبيل المثال س المحور.
وهكذا، x يتحول إلى جيب التمام ص
من زاوية
ويتحول ص إلى ص مضروبا في جيب الزاوية.
فكرتنا هي في الأساس أن لدينا
وظيفتنا ناقص أنه
يجب أن يحدها الحد المحتمل بعض الوظائف التي تعتمد
على المسافة نحو وظيفة الحد
وتقترب من الصفر.
انها في الأساس تعريف الحد لدينا،
وهذا يعني أن الانحراف عن الحد من
وظيفتنا يميل إلى أن يكون أقل
وأقل إذا كان أقرب وأقرب إلى نقطة الحد لدينا.
لذلك دعونا التحقق من ذلك لوظيفتنا.
أساسا ما نحن ننظر في,
نحن نبحث في السلطة ص ثلاثة
مضروبا في جيب التمام مربع مضروبا في جيب التربيع,
الذي لا يتطابق في الواقع لأننا
ذاهبون لاتخاذ قيمة فتحة
وظيفة جيب التمام تحدها القيمة المطلقة 1.
القاسم هو أساسا ص
تربيع ناقص الحد الممكن هو صفر.
وهكذا، نحصل بعد تقسيم القاسم التسمية
من قبل المربعات ص نحصل ص مضروبا في جيب التمام وجيب.
من أجل طرد زاوية،
وطرد الاتجاه فقط لترك
فهم أننا نعتمد فقط
على مدى قربنا من نقطة الحد،
ونحن في طريقنا إلى القول أن
كل من جيب التمام وجيب الجيب وظائف ليست أكبر من واحد.
وهكذا، كل ذلك يحدها المسافة عن
طريق ص و ص يقترب من الصفر. مع
اقتراب r من الصفر،
وبالتالي فقد أثبتنا بشكل أساسي تعريف الحد،
وبالتالي أثبتنا
أن حد وظيفتنا هو صفر.
في بعض الأحيان خدعة لطيفة عندما
ترى على سبيل المثال هذه التعبيرات,
س مربع زائد ص تربيع يصل ص مربع,
الكثير في وظيفتك أو على سبيل المثال في المقام.