Betrachten wir also konstruktivere Beispiele für
Grenzen von Single-Variant-Funktionen und
die Fälle seiner Abwesenheit.
Beginnen wir also zunächst mit den Ideen, dass wir manchmal
einfach Variablen in einzelne Funktionen trennen können.
Manchmal müssen wir sie gruppieren.
Zum Beispiel, betrachtet die Grenzen,
wenn x und y nähert Punkt Null
a und wir brauchen, um Grenze von
Sinus von Produkten x und die y geteilt durch x zu finden.
Also, natürlich, eine Sache, die wir immer tun können,
können wir entscheiden, ob
es oder nicht die indeterminante Form.
Aber es ist ziemlich einfach, weil das Produkt von
x und y sich Null nähert, multipliziert mit einer Annäherung an Null.
Der Sinus von Null ist Null,
also teilen wir Null durch Null und dies
ist definitiv indeterminante Form.
Also müssen wir etwas damit machen.
Erstens, das, was es ähnelt,
ist unsere zweite wichtige Grenze,
die Sinus t geteilt durch t war. Es
nähert sich eins, wenn das Argument Null nähert.
Also müssen wir uns hier irgendwie das gleiche Konzept einfallen lassen.
Im Grunde nehmen wir an, dass
wir keine Formeln aus der
Trigonometrie kennen, die den Sinus von Produkten trennt,
daher müssen wir
die Variablen im Sinus in neue Variable
t gruppieren. Wenn wir also
diese t-Variable in den Nenner integriert finden,
dann können wir unsere zweite wichtige Grenze hier.
Um es zu tun, können wir einfach y Multiplikator hinzufügen
und durch einen Multiplikator unseren Hauptnenner dividieren.
Was wir uns ansehen, betrachten wir
Sinus von t geteilt durch t, wie er sich einem nähert,
multipliziert mit der Funktion einer Variablen y, wie er
sich einer durch unsere Aufgabe nähert.
Somit entspricht unser Limit einem. Das war einfach.
Betrachten wir diesen schönen Blick auf
die Oberfläche und wir sind eigentlich über
Grenze an diesem Punkt sprechen.
Das ist Null und das ist unsere z-Achse,
also ist das ein schöner Punkt.
Wie immer habe ich diese Grafiken
in zusätzliche Materialien angefügt, in denen man
sie drehen und nach der Vorlesung damit spielen kann.
Das war also ein nettes,
ein ziemlich einfaches Beispiel.
Lassen Sie uns zu einem erschreckenden übergehen.
Ok. Dies ist die Funktion von n wir
betrachten die Grenze an Punkt 0,0 und
es ist die Teilung von
zwei Polynomfunktionen, die
offensichtlich schön sein sollten, weil
es in der Singularitätsfunktion immer einer der einfachsten Fälle ist.
Was passiert also, wenn wir
xy dividiert durch x quadriert plus y quadrierten Fall betrachten?
Nun, im Grunde genommen ist das Albtraum und ich werde
es Ihnen folgendermaßen zeigen.
Nehmen wir zunächst an, dass wir
ein gewisses Verständnis dafür haben müssen, was es in den Ergebnissen sein kann.
Also müssen wir jeden möglichen Kandidaten für ein Limit finden.
Um dies zu tun, betrachten wir
eine Richtung der Annäherung von 0,0 Punkt.
Zum Beispiel werde ich
den horizontalen Ansatz betrachten
, bei dem x einem Parameter t und y gleich Null ist.
Daher müssen wir die Grenze finden, wenn t sich Null nähert.
Lassen Sie uns also x und y durch unsere Richtungen ersetzen.
So erhalten wir t multipliziert mit
Null geteilt durch t quadriert plus Null quadriert,
was im Grunde bedeutet, dass wir die
Grenze von Null in Betracht ziehen.
Nicht Infinitesimal-Funktion, sondern Null selbst,
und die Grenze von Null ist einfach Null.
Okay, das ist nett.
Gleiches gilt zum Beispiel für eine vertikale Richtung.
Aber wenn wir nur spielen allein mit Richtung,
zum Beispiel, wenn gleich t und y gleich t,
diese diagonale Richtung, so
erhalten wir so ziemlich unterschiedliche Funktion als Ergebnis,
weil es in t multipliziert mit t
geteilt durch t quadriert plus t quadriert, als t nähert sich Null.
Oder mit anderen Worten, eine Hälfte.
Da die Hälfte nicht Null ist,
hat diese Funktion zu diesem Zeitpunkt kein Limit.
Lassen Sie uns sehen, was es im Grunde für unsere Oberfläche bedeutet.
Grundsätzlich, für unsere Oberfläche, lassen Sie uns schauen.
Es bedeutet, dass wir hier eine vertikale Linie haben.
Mit anderen Worten, wenn wir nur die
Richtung x gleich t und y gleich zum Beispiel kt betrachten,
was jede gerade Richtung in Richtung 0,0 Punkt
ist, dann geht unsere Funktion in kt quadriert
geteilt durch k quadriert t quadriert plus t quadriert,
oder k geteilt durch k quadriert plus eins, die ein Konstante.
Alle diese Richtungen sind also unsere Ebenen.
Oder im Grunde, was wir betrachten,
wir betrachten Funktion mit so schönen Erhöhung als
Ebenen mit Nullebene auf
der Achse und eine Hälfte auf der Mitte.
Grundsätzlich wächst unser Niveau hier,
aber am 0,0 Punkt gibt es alle möglichen Ebenen.
Grundsätzlich betrachten wir Funktionen, die
allen möglichen Konstanten von Null bis zur Hälfte ähneln,
was bedeutet, dass es
keine Konstante gibt, die sie alle beherrschen, es gibt keine Begrenzung.
Ok. So polynom geteilt
durch Polynom kann alptraumhaft sein.
Aber das bedeutet, dass es immer so ist.
Nun, das tut es nicht.
Bedenken Sie, dass wir die Macht
des Polynoms im Nenner erhöhen und dann
vielleicht hier können wir unsere nette Antwort bekommen.
Ok. Erstens ist die Sache hier,
die Grenze zu nennen, denn wenn wir nur
unseren horizontalen Ansatz oder einfach nur einen gemeinsamen Fall betrachten, weil wir
ein Polynom höherer Ordnung in Nominatoren und
Nenner haben, wie durch unsere Betrachtung
von wenig auf Notation,
bekommen wir im Grunde, dass dieser Nominator
ist ein wenig oder in Bezug auf Nenner,
sollte seine Grenze Null sein.
Nun, in der horizontalen Notation beweist es im Grunde
unseren Punkt, weil unsere Funktionen selbst zu einer Null werden.
Wie man beweisen sollte, dass sich die Funktion Null nähert,
da es schwer ist, sich auf eine einzelne Variate-Schlüssel
zu bewegen, werden sie folgendes schreiben.
Wir werden die Grenze
auf den absoluten Wert
dieser Funktion zu finden, die einzelne Variantenfunktion ist.
Nehmen wir beispielsweise an, dass wir
aus dem Nenner plus y quadriert vertrieben haben,
daher wird der Nenner notwendigerweise zu
einem niedrigen Wert, da y quadriert nicht negativ ist.
Wenn also der Nenner niedriger ist, dann ist der ganze Bruch,
wird er größer, der x quadriert multipliziert mit
y geteilt durch x quadriert oder nur y nähert sich Null.
Wenn y sich Null nähert,
wird unsere Funktion grundsätzlich durch ein y und minus y begrenzt.
Alles nähert sich Null,
also nähert sich unsere Funktion Null.
Ok. Wir haben es bewiesen und das ist schön.
Nehmen wir zum Beispiel,
schauen Sie sich die Oberfläche an.
Es ist eine Art Masse,
ziemlich tolle Oberfläche.
Es ist nicht extrem beschädigt,
nicht extrem kompliziert, nur schöne Kurve des Papiers hier.
Ok. Als letzter Trick, den ich Ihnen hier zeigen werde,
lassen Sie uns so ziemlich die gleiche Funktion betrachten,
aber um zu
beweisen, dass etwas Null ist,
verwenden die Leute manchmal sogenannte Polarkoordinaten.
Was im Grunde bedeutet, dass wir
unsere x- und y-Koordinaten in Bezug auf
den Abstand zu Null
und einen Winkel davon zum Beispiel x-Achse neu schreiben können.
So verwandelt sich x in r Kosinus
des Winkels und
y verwandelt sich in r multipliziert mit Sinus des Winkels.
Unsere Idee ist im Grunde, dass wir
unsere Funktion haben, minus es ist mögliche Grenze
sollte durch eine Funktion begrenzt werden, die von
der Entfernung zur Limitfunktion abhängt
und sie sich Null nähert.
Es ist im Grunde die Definition unserer Grenze,
es bedeutet, dass die Abweichung von der Grenze
unserer Funktion tendenziell immer kleiner
ist, wenn sie näher und näher an unserem Grenzpunkt ist.
Also lassen Sie uns es für unsere Funktion überprüfen.
Im Grunde, was wir uns ansehen,
wir betrachten r Macht drei
multipliziert mit Kosinus Quadrat multipliziert mit Sinus quadriert,
die nicht wirklich übereinstimmt, weil wir
Slot-Wert nehmen und
Sinus-Kosinusfunktion werden durch den absoluten Wert 1 begrenzt.
Der Nenner ist im Grunde r
quadriert minus mögliche Grenze Null ist.
So erhalten wir, nachdem wir den Nominator Nenner
durch r Quadrate geteilt haben, erhalten wir r multipliziert mit Kosinus und Sinus.
Um den Winkel zu vertreiben,
vertreiben Sie die Richtung, nur um
Verständnis zu verlassen, dass wir nur davon abhängen,
wie nah wir am Grenzpunkt
sind, werden wir sagen, dass
sowohl Kosinus als auch Sinusfunktionen nicht größer als eins sind.
Somit ist alles durch die Entfernung
durch r begrenzt und r nähert sich Null.
Da r sich Null nähert,
haben wir im Grunde die Definition des Limits bewiesen
und somit haben wir bewiesen
, dass die Grenze unserer Funktion Null ist.
Es ist manchmal ein netter Trick, wenn
Sie zum Beispiel diese Ausdrücke sehen,
x quadriert plus y quadriert erreicht r quadriert,
viel in Ihrer Funktion oder zum Beispiel im Nenner.