Por lo tanto, consideremos ejemplos más constructivos de
los límites de las funciones de una sola variante y
los casos de su ausencia.
Así que primero, comencemos con las ideas de que a veces
podemos separar variables en funciones singulares.
A veces tenemos que agruparlos.
Por ejemplo, considera los límites
cuando x e y se aproximan al punto cero
a y necesitamos encontrar el límite del
seno de los productos x y la y dividido por x.
Así, por supuesto, una cosa que siempre
podemos hacer, podemos decidir si
existe o no la forma en determinante.
Pero es bastante fácil porque el producto de
x e y se acerca a cero multiplicado por un enfoque cero.
El seno de cero es cero, por
lo que dividimos cero por cero y esto
es definitivamente en forma determinante.
Así que tenemos que hacer algo con él.
En primer lugar, lo que se asemeja
es nuestro segundo límite importante,
que fue sine t dividido por t. Se
acerca a uno a medida que el argumento se acerca a cero.
Así que tenemos que llegar de alguna manera con el mismo concepto aquí.
Básicamente, supongamos que ya que
no conocemos ninguna fórmula de
trigonometría que separa el seno de los productos,
por lo tanto necesitamos agrupar
las variables en el seno en nueva variable
t. Así, si
encontramos esta variable t integrada en el denominador,
entonces podemos obtener nuestra segundo límite importante aquí.
Para hacerlo, simplemente podemos añadir y multiplicador
y dividir por un multiplicador nuestro principal denominador.
Lo que estamos viendo, estamos mirando el
seno de t dividido por t a medida que se acerca a uno,
multiplicado por la función de una variable y a medida que se
acerca a a por nuestra tarea.
Por lo tanto, nuestro límite es igual a una. Eso fue fácil.
Consideremos esta bonita vista en
la superficie y en realidad estamos hablando de
límite en este mismo punto.
Esto es cero y este es nuestro eje z,
así que este es un buen punto.
Como siempre, he adjuntado estos gráficos
en materiales adicionales donde se puede
rotar y jugar con él después de la conferencia.
Así que este fue un buen ejemplo,
un ejemplo bastante simple.
Pasemos a uno más aterrador.
Está bien. Esta es la función de n estamos
considerando el límite en el punto 0,0 y
es la división de
dos funciones polinomiales que debería ser agradable
obviamente porque en la función de singularidad
siempre es uno de los casos más simples.
Entonces, ¿qué sucede si
consideramos xy dividido por x cuadrado más y caso cuadrado?
Bueno, básicamente hablando esto es una pesadilla y voy
a mostrarte de la siguiente manera.
En primer lugar, supongamos que tenemos que tener
un cierto entendimiento de lo que puede ser en los resultados.
Así que tenemos que encontrar cualquier posible candidato para un límite.
Para ello, consideramos
alguna dirección de aproximación de 0,0 punto.
Por ejemplo, voy a
considerar el enfoque horizontal
donde x es igual a algún parámetro t e y es igual a cero.
Por lo tanto, necesitamos encontrar el límite cuando t se acerca a cero.
Así que vamos a sustituir x e y por nuestras instrucciones.
Por lo tanto, nos multiplicamos por
cero dividido por t cuadrado más cero cuadrado,
lo que básicamente significa que estamos
considerando el límite de cero.
No función infinitesimal sino cero en sí mismo,
y el límite de cero es simplemente cero.
Está bien, eso es bonito.
Lo mismo se aplica para una dirección vertical, por ejemplo.
Pero si simplemente jugamos solos con la dirección,
por ejemplo, si es igual a t e y es igual a t,
esta dirección diagonal, por lo tanto
obtenemos una función bastante diferente como resultado
porque resulta en t multiplicado por t
dividido por t cuadrado más t cuadrado cuando t se aproxima a cero.
O en otras palabras, la mitad.
Dado que la mitad no es cero,
esta función no tiene un límite en este mismo punto.
Veamos lo que significa básicamente para nuestra superficie.
Básicamente, para nuestra superficie, veamos.
Significa que aquí tenemos una línea vertical.
En otras palabras, si solo consideramos la
dirección x es igual a t e y es igual a, por ejemplo, kt,
que es cualquier dirección recta hacia 0,0 punto,
entonces nuestra función va en kt cuadrado
dividido por k cuadrado t cuadrado más t cuadrado,
o k dividido por k cuadrado más uno que es un constante.
Por lo tanto, todas estas direcciones son nuestros niveles.
O básicamente lo que estamos viendo,
estamos viendo la función con un aumento tan agradable como
niveles con nivel cero en
el eje y medio en el centro.
Básicamente, nuestros niveles crecen aquí,
pero en el punto 0,0 hay todos los niveles posibles.
Básicamente estamos mirando la función que se asemejan a
todas las constantes posibles de cero a medio,
lo que implica que
no hay una constante para gobernarlas a todas, no hay límite.
Está bien. Así que el polinomio dividido
por polinomio puede ser pesadilla.
Pero eso significa que siempre es así.
Bueno, no lo hace.
Considere que aumentamos el poder
del polinomio en el denominador y entonces
tal vez aquí podamos obtener nuestra buena respuesta.
Está bien. En primer lugar, la cosa aquí es
llamar al límite porque si solo consideramos
nuestro enfoque horizontal o simplemente un caso común porque
tenemos un polinomio de orden superior en nominadores y
denominadores como por nuestra consideración
de poco en notación,
básicamente entendemos que este nominador
es un poco o con respecto a los denominadores
, su límite debe ser cero.
Bueno, en la notación horizontal básicamente demuestra
nuestro punto porque nuestras funciones se convierten en un cero en sí mismo.
Cómo se debe demostrar que la función se acerca
a cero, ya que es difícil moverse hacia una sola clave variada,
van a escribir lo siguiente.
Vamos a encontrar el límite
en el valor absoluto de
esta función que es función de variante única.
Por ejemplo, supongamos que expulsamos
del denominador más y cuadrado,
por lo tanto denominador necesariamente se convierte en
un valor bajo porque y cuadrado no es negativo.
Por lo tanto, si el denominador es menor entonces la fracción entera
es, se vuelve mayor que es x cuadrado multiplicado
por y dividido por x cuadrado o simplemente y se aproxima a cero.
Si y se acerca a cero,
básicamente nuestra función está limitada por una y y menos y.
Todo se aproxima a cero, por
lo tanto nuestra función se aproxima a cero.
Está bien. Lo demostramos y eso es bueno.
Tomemos, por ejemplo,
miremos la superficie.
Es una especie de granel,
bastante impresionante superficie.
No está muy dañado,
no es extremadamente complicado, sólo una bonita curva de papel aquí.
Está bien. Como el último truco que voy a mostrarles aquí,
consideremos más o menos la misma función,
pero para
demostrar que algo es cero, a
veces la gente usa las llamadas coordenadas polares.
Lo que implica básicamente que podemos reescribir
nuestras coordenadas x e y en términos
de la distancia a cero
y un ángulo de esto, por ejemplo, el eje x.
Por lo tanto, x se convierte en r coseno
del ángulo
y y se convierte en r multiplicado por seno del ángulo.
Nuestra idea es básicamente que tenemos
nuestra función menos que su posible límite debe
estar limitado por alguna función que depende de
la distancia hacia la función límite
y se aproxima a cero.
Es básicamente la definición de nuestro límite,
significa que la desviación del límite de
nuestra función tiende a ser cada vez
menos si está más y más cerca de nuestro punto límite.
Así que vamos a comprobarlo para nuestra función.
Básicamente lo que estamos viendo,
estamos viendo r potencia tres
multiplicado por coseno cuadrado multiplicado por seno cuadrado,
que en realidad no coincide porque
vamos a tomar el valor de ranura y la
función de coseno seno están delimitados por el valor absoluto 1. El
denominador es básicamente r
cuadrado menos el límite posible es cero.
Por lo tanto, obtenemos después de dividir denominador
por r cuadrados obtenemos r multiplicado por coseno y seno. Con el
fin de expulsar el ángulo,
expulsar la dirección sólo para dejar
entender que dependemos sólo de
lo cerca que estamos al punto límite,
vamos a decir que
tanto las funciones coseno como seno no son mayores que uno.
Por lo tanto, todo está limitado por la distancia
por r y r se acerca a cero.
A medida que r se acerca a cero,
por lo tanto, básicamente hemos demostrado la definición del límite
y por lo tanto hemos demostrado
que el límite de nuestra función es cero.
A veces es un buen truco cuando
ves, por ejemplo, estas expresiones,
x cuadrado más y cuadrado alcanza r cuadrado,
mucho en tu función o por ejemplo en el denominador.