Considérons donc des exemples plus constructifs des
limites des fonctions monovariantes et
des cas de son absence.
Donc, d'abord, commençons par les idées que nous
pouvons parfois simplement séparer les variables en fonctions singulières.
Parfois, nous devons les regrouper.
Par exemple, considère les limites
lorsque x et y approche le point zéro
a et nous devons trouver la limite
du sinus des produits x et le y divisé par x.
Donc, bien sûr, une chose que nous pouvons toujours faire,
nous pouvons décider s'il
y a ou non la forme déterminante.
Mais c'est assez facile parce que le produit de
x et y approche zéro multiplié par un zéro approche.
Le sinus de zéro est zéro,
donc nous divisons zéro par zéro et c'
est définitivement une forme déterminante.
Donc, nous devons faire quelque chose avec ça.
Tout d'abord, la chose à laquelle il ressemble
est notre deuxième limite importante,
qui était sine t divisée par t. Elle s'
approche d'une à l'approche de zéro.
Nous devons donc trouver le même concept ici.
Fondamentalement, supposons que puisque
nous ne connaissons aucune formule de la
trigonométrie qui sépare le sinus des produits,
nous devons donc regrouper les
variables dans le sinus en nouvelle variable
t. Ainsi, si nous
trouvons cette variable t intégrée dans le dénominateur,
alors nous pouvons obtenir notre deuxième limite importante ici.
Pour ce faire, nous pouvons simplement ajouter y multiplicateur
et diviser par un multiplicateur notre dénominateur principal.
Ce que nous examinons, nous examinons le
sinus de t divisé par t à l'approche d'un,
multiplié par la fonction d'une variable y à l'
approche d'un par notre tâche.
Ainsi, notre limite équivaut à un. C'était facile.
Considérons cette belle vue sur
la surface et nous parlons en fait de
limite à ce stade même.
C' est zéro et c'est notre axe z,
donc c'est un bon point.
Comme toujours, j'ai attaché ces graphiques à
des matériaux supplémentaires où vous pouvez le
faire pivoter et jouer avec après la conférence.
C' était donc un bon exemple,
un exemple plutôt simple.
Passons à un plus effrayant.
D' accord. C'est la fonction de n que nous
considérons la limite au point 0,0 et
c'est la division de
deux fonctions polynômes qui devrait être agréable
évidemment parce que dans la fonction de singularité
c'est toujours l'un des cas les plus simples.
Alors que se passe-t-il si nous
considérons xy divisé par x carré plus y cas carré ?
En gros, c'est un cauchemar et je vais
vous montrer de la manière suivante. Tout d'
abord, supposons que nous devons avoir
une certaine compréhension de ce que cela peut être dans les résultats.
Nous devons donc trouver n'importe quel candidat possible pour une limite.
Pour ce faire, nous considérons
une certaine direction d'approche de 0,0 point.
Par exemple, je vais
considérer l'approche horizontale
où x est égal à un paramètre t et y égal à zéro.
Ainsi, nous devons trouver la limite lorsque t approche zéro.
Par conséquent, remplaçons x et y par nos directions.
Ainsi, on obtient t multiplié par
zéro divisé par t carré plus zéro carré,
ce qui signifie fondamentalement que nous
envisageons la limite de zéro.
Non pas la fonction infinitésimale mais zéro lui-même,
et la limite de zéro est simplement zéro.
Ok, c'est sympa.
Il en va de même pour une direction verticale, par exemple.
Mais si nous jouons seul avec la direction,
par exemple, si égal à t et y est égal à t,
cette direction diagonale, donc nous
obtenons une fonction assez différente en conséquence
parce qu'il en résulte en t multiplié
par t divisé par t carré plus t carré que t approche zéro.
Ou en d'autres termes, la moitié.
Puisque la moitié n'est pas zéro,
cette fonction n'a pas de limite à ce stade même.
Voyons ce que cela signifie essentiellement pour notre surface.
Fondamentalement, pour notre surface, regardons.
Cela signifie que nous avons ici une ligne verticale.
En d'autres termes, si nous considérons simplement la
direction x égale à t et y égale par exemple kt,
qui est toute direction droite vers 0,0 point,
alors notre fonction va en kt
carré divisé par k carré t carré plus t carré,
ou k divisé par k carré plus un qui est un constante.
Ainsi, toutes ces directions sont nos niveaux.
Ou fondamentalement ce que nous regardons,
nous regardons la fonction avec une telle augmentation agréable que des
niveaux avec un niveau zéro sur
l'axe et une moitié sur le centre.
Fondamentalement, nos niveaux grandissent ici,
mais au point 0,0 il y a tous les niveaux possibles.
Fondamentalement, nous regardons la fonction qui ressemble à
toutes les constantes possibles de zéro à la moitié,
ce qui implique qu'il
n'y a pas une constante pour tous les gouverner, il n'y a pas de limite.
D' accord. Donc polynôme divisé
par polynôme peut être cauchemardesque.
Mais cela signifie que c'est toujours comme ça.
Eh bien, ce n'est pas le cas.
Considérez que nous augmentons la puissance
du polynôme dans le dénominateur et alors
peut-être que nous pouvons obtenir notre belle réponse.
D' accord. Tout d'abord, la chose ici est d'
appeler la limite parce que si nous considérons simplement
notre approche horizontale ou simplement un cas commun parce que nous
avons un polynôme d'ordre supérieur dans les nominateurs et les
dénominateurs comme par notre examen
de peu sur la notation,
nous obtenons essentiellement que ce nominateur
est un peu ou en ce qui concerne les dénominateurs,
sa limite devrait être nulle.
Eh bien, dans la notation horizontale, cela prouve fondamentalement
notre point de vue parce que nos fonctions se transforme en un zéro lui-même.
Comment prouver que la fonction approche zéro
car il est difficile de se déplacer vers une seule clé variable,
ils vont écrire ce qui suit.
Nous allons trouver la limite
sur la valeur absolue de
cette fonction qui est une fonction de variante unique.
Par exemple, supposons que nous avons
expulsé du dénominateur plus y carré,
donc dénominateur devient nécessairement
une valeur faible parce que y carré est non négatif.
Ainsi, si le dénominateur est inférieur alors la fraction entière est,
il devient plus grand qui est x carré multiplié
par y divisé par x carré ou juste y approche zéro.
Si y approche zéro,
fondamentalement notre fonction est délimitée par un y et moins y.
Tout cela approche zéro,
donc notre fonction approche zéro.
D' accord. On l'a prouvé et c'est sympa.
Prenons par exemple,
regardons la surface.
C' est une sorte de
surface en vrac, plutôt génial.
Ce n'est pas extrêmement endommagé,
pas extrêmement compliqué, juste une belle courbe de papier ici.
D' accord. Comme la dernière astuce que je vais vous montrer ici,
considérons à peu près la même fonction
mais pour
prouver que quelque chose est zéro,
parfois les gens utilisent des coordonnées dites polaires. Ce
qui implique fondamentalement que nous pouvons réécrire
nos coordonnées x et y en termes
de distance à zéro
et un angle de ceci par exemple l'axe X.
Ainsi, x se transforme en cosinus r
de l'angle et
y se transforme en r multiplié par le sinus de l'angle.
Notre idée est fondamentalement que nous avons
notre fonction moins sa limite possible devrait
être limitée par une fonction qui dépend de
la distance vers la fonction limite
et elle approche zéro.
C' est fondamentalement la définition de notre limite,
cela signifie que l'écart par rapport à la limite de
notre fonction tend à être de
moins en moins si elle est plus proche de notre point limite.
Alors vérifions-le pour notre fonction.
Fondamentalement ce que nous regardons,
nous regardons la puissance r trois
multipliée par le cosinus carré multiplié par le sinus carré,
qui ne correspond pas réellement parce que nous
allons prendre la valeur de fente et la
fonction de cosinus sinusoïdal sont limitées par la valeur absolue 1.
Dénominateur est fondamentalement r
carré moins limite possible est zéro.
Ainsi, nous obtenons après division nominateur dénominateur
par r carrés nous obtenons r multiplié par le cosinus et le sinus.
Afin d'expulser l'angle,
expulser la direction juste pour laisser
comprendre que nous ne
dépendons que de la proximité que nous sommes au point limite,
nous allons dire que
les fonctions cosinus et sinusoïdales ne sont pas supérieures à un.
Ainsi, tout est limité par la distance
par r et r approche zéro.
Comme r approche de zéro,
donc fondamentalement, nous avons prouvé la définition de la limite
et donc nous avons prouvé
que la limite de notre fonction est zéro.
Il est parfois beau truc quand
vous voyez par exemple ces expressions,
x carré plus y carré atteint r carré,
beaucoup dans votre fonction ou par exemple dans le dénominateur.