Quindi consideriamo esempi più costruttivi di
limiti delle funzioni a variante singola e
dei casi della sua assenza.
Quindi, per prima cosa, iniziamo con le idee che a volte
possiamo semplicemente separare le variabili in funzioni singolari.
A volte abbiamo bisogno di raggrupparli.
Ad esempio, considera i limiti
quando x e y si avvicina al punto zero
a e abbiamo bisogno di trovare limite
di seno dei prodotti x e la y diviso per x.
Quindi, naturalmente, una cosa che possiamo sempre fare,
possiamo decidere se c'
è o meno la forma in-determinante.
Ma è abbastanza facile perché il prodotto di
x e y si avvicina a zero moltiplicato per un approccio zero.
Il seno di zero è zero,
quindi dividiamo zero per zero e questa
è sicuramente in forma determinante.
Quindi dobbiamo farci qualcosa.
In primo luogo, la cosa che assomiglia
è il nostro secondo limite importante,
che era sine t diviso per t. Si
avvicina a uno man mano che l'argomento si avvicina a zero.
Quindi abbiamo bisogno di inventare in qualche modo lo stesso concetto qui.
Sostanzialmente,
supponiamo che poiché non conosciamo alcuna formule dalla
trigonometria che
separa il seno dei prodotti, quindi abbiamo bisogno di raggruppare
le variabili nel seno in una nuova variabile
t. Quindi se
troviamo questa variabile t integrata nel denominatore,
allora possiamo ottenere il nostro secondo limite importante qui.
Per farlo, possiamo semplicemente aggiungere moltiplicatore y
e dividere per un moltiplicatore il nostro denominatore principale.
Quello che stiamo guardando, stiamo guardando il
seno di t diviso per t come si avvicina uno,
moltiplicato per funzione di una variabile y come si
avvicina a per il nostro compito.
Quindi, il nostro limite è uguale a un.
Consideriamo questa bella vista
sulla superficie e stiamo parlando di
limite a questo punto.
Questo è zero e questo è il nostro asse z,
quindi questo è un bel punto.
Come sempre, ho allegato questi grafici
in materiali aggiuntivi dove è possibile
ruotarlo e giocare con esso dopo la lezione.
Quindi questo è stato un
bell'esempio, piuttosto semplice.
Passiamo a uno più spaventoso.
Ok. Questa è la funzione di n stiamo
considerando il limite al punto 0,0 ed
è la divisione di
due funzioni polinomiali che dovrebbe essere bello
ovviamente perché nella funzione di singolarità
è sempre uno dei casi più semplici.
Quindi cosa succede se
consideriamo xy diviso per x al quadrato più y al quadrato?
Beh, fondamentalmente parlando questo è un incubo e
ti mostrerò nel modo seguente.
In primo luogo, supponiamo che abbiamo bisogno di avere
una certa comprensione di ciò che può essere nei risultati.
Quindi dobbiamo trovare qualsiasi possibile candidato per un limite.
Per fare ciò, consideriamo
una direzione di avvicinamento di 0,0 punti.
Ad esempio, prenderò in
considerazione l'approccio orizzontale
in cui x è uguale a un parametro t e y uguale a zero.
Quindi, dobbiamo trovare il limite quando t si avvicina a zero.
Quindi sostituiamo x e y con le nostre indicazioni.
Quindi, otteniamo t moltiplicato per
zero diviso per t al quadrato più zero al quadrato, il
che significa fondamentalmente che stiamo
considerando limite di zero.
Non funzione infinitesimale ma zero stesso,
e il limite di zero è semplicemente zero.
Ok, che bello.
Lo stesso vale per una direzione verticale, ad esempio.
Ma se giochiamo da soli con la direzione,
per esempio, se uguale a t e y uguale a t,
questa direzione diagonale, quindi
otteniamo una funzione praticamente diversa come risultato
perché risulta in t moltiplicato per t
diviso per t al quadrato più t al quadrato come t si avvicina a zero.
O in altre parole, metà.
Poiché una metà non è zero,
questa funzione non ha un limite a questo punto.
Vediamo cosa significa fondamentalmente per la nostra superficie.
Fondamentalmente, per la nostra superficie, diamo un'occhiata.
Vuol dire che qui abbiamo una linea verticale.
In altre parole, se consideriamo solo la
direzione x uguale a t e y uguale a per esempio kt,
che è qualsiasi direzione retta verso 0,0 punto,
allora la nostra funzione sta andando in kt al quadrato
diviso per k al quadrato t al quadrato più t al quadrato,
o k diviso per k al quadrato più uno che è un costante.
Quindi, tutte queste direzioni sono i nostri livelli.
O fondamentalmente quello che stiamo guardando,
stiamo guardando alla funzione con un tale aumento piacevole come
livelli con livello zero
sull'asse e mezzo al centro.
Fondamentalmente, i nostri livelli crescono qui,
ma al punto 0,0 ci sono tutti i livelli possibili.
Fondamentalmente stiamo guardando la funzione che assomiglia a
tutte le possibili costanti da zero a metà, il
che implica che
non c'è una costante per governarli tutti, non c'è limite.
Ok. Quindi polinomio
diviso per polinomio può essere incubo.
Ma questo significa che è sempre così.
Beh, non e' cosi'.
Considera che aumentiamo il potere
del polinomio nel denominatore e poi
forse qui possiamo ottenere la nostra bella risposta.
Ok. In primo luogo, la cosa qui è
chiamare il limite perché se consideriamo solo il
nostro approccio orizzontale o solo un caso comune perché
abbiamo un polinomio di ordine superiore nei nominatori e
denominatori come dalla nostra considerazione
di poco sulla notazione,
fondamentalmente otteniamo che questo nominatore
è un po 'o per quanto riguarda i denominatori,
il suo limite dovrebbe essere zero.
Beh, nella notazione orizzontale dimostra fondamentalmente il
nostro punto perché le nostre funzioni si trasformano in uno zero stesso.
Come si dovrebbe dimostrare che la funzione si avvicina
a zero poiché è difficile spostarsi verso una singola chiave variata,
scriveranno quanto segue.
Stiamo andando a trovare il confine
sul valore assoluto di
questa funzione che è singola funzione variante.
Ad esempio, supponiamo che abbiamo espulso
dal denominatore più y al quadrato,
quindi denominatore diventa necessariamente
un valore basso perché y al quadrato non è negativo.
Quindi, se il denominatore è inferiore allora l'intera frazione è,
diventa maggiore che è x al quadrato moltiplicato per
y diviso per x al quadrato o appena y si avvicina a zero.
Se y si avvicina a zero,
fondamentalmente la nostra funzione è delimitata da y e meno y.
Tutto si avvicina a zero,
quindi la nostra funzione si avvicina a zero.
Ok. L'abbiamo dimostrato ed è bello.
Prendiamo ad esempio,
guardiamo la superficie.
E 'una specie di massa,
praticamente superficie impressionante.
Non è estremamente danneggiato,
non estremamente complicato, solo bella curva di carta qui.
Ok. Come ultimo trucco che vi mostrerò qui,
consideriamo praticamente la stessa funzione,
ma per
dimostrare che qualcosa è zero, a
volte le persone usano le cosiddette coordinate polari. Il
che implica fondamentalmente che possiamo riscrivere le
nostre coordinate x e y in termini
di distanza a zero
e un angolo di questo per esempio asse x.
Così, x si trasforma in r coseno
dell'angolo e
y si trasforma in r moltiplicato per seno dell'angolo.
La nostra idea è fondamentalmente che abbiamo
la nostra funzione meno il possibile limite dovrebbe
essere limitato da una funzione che dipende dalla
distanza verso la funzione limite
e si avvicina a zero.
Fondamentalmente è la definizione del nostro limite,
significa che la deviazione dal limite della
nostra funzione tende ad essere sempre
meno se è sempre più vicina al nostro limite.
Quindi cerchiamo di controllare per la nostra funzione.
Fondamentalmente quello che stiamo guardando,
stiamo guardando r potenza tre
moltiplicato per coseno quadrato moltiplicato per seno quadrato,
che in realtà non corrisponde perché
stiamo andando a prendere il valore di slot e la
funzione del coseno seno sono delimitati dal valore assoluto 1.
Denominatore è fondamentalmente r
al quadrato meno possibile limite è zero.
Così, otteniamo dopo aver diviso nominator denominatore
per r quadrati otteniamo r moltiplicato per coseno e seno.
Per espellere l'angolo,
espellere la direzione solo per lasciare la
comprensione che dipendiamo solo da
quanto siamo vicini al punto limite,
stiamo andando a dire che
entrambe le funzioni coseno e seno non sono maggiori di uno.
Quindi, è tutto delimitato
dalla distanza di r e r si avvicina a zero.
Come r si avvicina a zero,
quindi fondamentalmente abbiamo dimostrato la definizione del limite
e quindi abbiamo dimostrato
che il limite della nostra funzione è zero.
A volte è un bel trucco quando
vedi per esempio queste espressioni,
x al quadrato più y al quadrato raggiunge r al quadrato,
molto nella tua funzione o per esempio nel denominatore.