Portanto, consideremos exemplos mais construtivos de
limites de funções de variante única e
os casos de sua ausência.
Então, primeiro, vamos começar com as idéias que às vezes
podemos separar variáveis em funções singulares.
Às vezes precisamos agrupá-los.
Por exemplo, considera os limites
quando x e y se aproxima do ponto zero
a e precisamos encontrar limite
de seno de produtos x e o y dividido por x.
Então, é claro, uma coisa que sempre
podemos fazer, podemos decidir se
há ou não a forma in-determinante.
Mas é bastante fácil porque o produto de
x e y se aproxima de zero multiplicado por um aproxima zero.
O seno de zero é zero,
portanto dividimos zero por zero e isso
é definitivamente em forma determinante.
Então precisamos fazer algo com ele.
Em primeiro lugar, a coisa que ele se assemelha
é nossos segundos limites importantes,
que era seno t dividido por t. Ele
se aproxima de um à medida que o argumento se aproxima de zero.
Então, precisamos de alguma forma criar o mesmo conceito aqui.
Basicamente, vamos supor que uma vez que
não conhecemos quaisquer fórmulas de
trigonometria que
separa o seno de produtos, portanto precisamos agrupar
as variáveis no seno em nova variável
t. Assim, se
encontrarmos esta variável t integrada no denominador,
então podemos obter o nosso segundo limite importante aqui.
A fim de fazê-lo, podemos simplesmente adicionar y multiplicador
e dividir por um multiplicador nosso denominador principal.
O que estamos olhando, estamos olhando para
seno de t dividido por t como ele se aproxima de um,
multiplicado pela função de uma variável y como ele
se aproxima de um por nossa tarefa.
Assim, nosso limite é igual a a. Isso foi fácil.
Vamos considerar esta bela vista sobre
a superfície e estamos realmente falando de
limite neste exato ponto.
Este é zero e este é o nosso eixo z,
então este é um bom ponto.
Como sempre, eu anexei esses gráficos
em materiais adicionais onde você pode
girá-lo e jogar com ele após a palestra.
Então este foi um bom exemplo,
um exemplo bastante simples.
Vamos passar para uma mais assustadora.
Está bem. Esta é a função de n estamos
considerando o limite no ponto 0,0 e
é a divisão de
duas funções polinômios que deve ser bom,
obviamente, porque na função de singularidade
é sempre um dos casos mais simples.
Então, o que acontece se
considerarmos xy dividido por x ao quadrado mais y ao quadrado caixa?
Bem, basicamente falando isso é um pesadelo e eu vou
mostrar a vocês da seguinte maneira.
Primeiro, vamos supor que precisamos ter
alguma compreensão do que pode ser nos resultados.
Então precisamos encontrar qualquer possível candidato para um limite.
Para fazer isso, consideramos
alguma direção de aproximação de 0,0 ponto.
Por exemplo, vou
considerar a abordagem horizontal
onde x é igual a algum parâmetro t e y é igual a zero.
Assim, precisamos encontrar o limite quando t se aproxima de zero.
Então vamos substituir x e y com nossas direções.
Assim, obtemos t multiplicado por
zero dividido por t ao quadrado mais zero ao quadrado,
o que basicamente significa que estamos
considerando limite de zero.
Não função infinitesimal, mas zero em si,
e o limite de zero é simplesmente zero.
Ok, isso é bom.
O mesmo se aplica a uma direção vertical, por exemplo.
Mas se jogarmos sozinhos com direção,
por exemplo, se igual a t e y é igual a t,
essa direção diagonal, assim
obtemos função muito diferente como resultado
porque resulta em t multiplicado por t
dividido por t ao quadrado mais t ao quadrado à medida que t se aproxima de zero.
Ou, em outras palavras, metade.
Uma vez que metade não é zero,
esta função não tem um limite neste exato ponto.
Vamos ver o que significa basicamente para a nossa superfície.
Basicamente, para a nossa superfície, vamos olhar.
Significa que aqui temos uma linha vertical.
Em outras palavras, se considerarmos apenas a
direção x é igual a t e y é igual a, por exemplo kt,
que é qualquer direção reta em direção a 0,0 ponto,
então nossa função está indo para kt ao quadrado
dividido por k ao quadrado t ao quadrado mais t ao quadrado,
ou k dividido por k ao quadrado mais um que é um constante.
Assim, todas essas direções são nossos níveis.
Ou basicamente o que estamos olhando,
estamos olhando para a função com tão bom aumento como
níveis com nível zero
no eixo e metade no centro.
Basicamente, nossos níveis crescem aqui,
mas no ponto 0,0 há todos os níveis possíveis.
Basicamente estamos olhando para a função que se assemelham a
todas as constantes possíveis de zero a metade, o
que implica que
não há uma constante para governá-los todos, não há limite.
Está bem. Então polinômio dividido
por polinômios pode ser um pesadelo.
Mas isso significa que é sempre assim.
Bem, não faz.
Considere que aumentamos o poder
do polinômio no denominador e, em seguida,
talvez aqui possamos obter nossa resposta agradável.
Está bem. Em primeiro lugar, a coisa aqui é
chamar o limite porque se considerarmos
nossa abordagem horizontal ou apenas um caso comum porque
temos um polinômio de ordem superior em nominadores e
denominadores como por nossa consideração
de pouco na notação,
basicamente obtemos que este nominador
é um pouco ou em relação aos denominadores
, seu limite deve ser zero.
Bem, na notação horizontal isso basicamente prova
nosso ponto porque nossas funções se transformam em um zero em si.
Como se deve provar que a função se aproxima de zero, uma
vez que é difícil se mover em direção a uma única variável chaves,
eles vão escrever o seguinte.
Nós estamos indo para encontrar o limite
sobre o valor absoluto
desta função que é função variante única.
Por exemplo, suponha que nós expulsamos
do denominador mais y ao quadrado,
assim denominador necessariamente se torna
um valor baixo porque y ao quadrado é não-negativo.
Assim, se o denominador é menor, então a fração inteira é,
ele se torna maior que é x ao quadrado multiplicado
por y dividido por x ao quadrado ou apenas y se aproxima de zero.
Se y se aproxima de zero,
basicamente nossa função é limitada por y e menos y.
tudo se aproxima de zero,
assim nossa função se aproxima de zero.
Está bem. Nós provamos isso e isso é legal.
Tomemos, por exemplo,
olhar para a superfície.
É uma espécie de massa,
praticamente uma superfície incrível.
Não é extremamente danificado,
não é extremamente complicado, apenas uma bela curva de papel aqui.
Está bem. Como o último truque que vou mostrar a vocês aqui,
vamos considerar praticamente a mesma função,
mas para
provar que algo é zero,
às vezes as pessoas usam as chamadas coordenadas polares.
O que basicamente implica que podemos reescrever
nossas coordenadas x e y em termos
da distância a zero
e um ângulo deste, por exemplo eixo x.
Assim, x se transforma em r
co-seno do ângulo e
y se transforma em r multiplicado pelo seno do ângulo.
Nossa idéia é basicamente que temos
nossa função menos seu limite possível deve
ser limitado por alguma função que depende da
distância para a função limite
e ele se aproxima de zero.
É basicamente a definição do nosso limite,
significa que o desvio do limite da
nossa função tende a ser cada vez
menor se estiver mais perto e mais perto do nosso ponto limite.
Então vamos verificá-lo para a nossa função.
Basicamente o que estamos olhando,
estamos olhando para o poder r três
multiplicado pelo cosseno ao quadrado multiplicado pelo seno ao quadrado,
que na verdade não coincide porque vamos
ocupar o valor do slot e
função do cosseno seno são limitados pelo valor absoluto 1.
Denominador é basicamente r
quadrado menos possível limite é zero.
Assim, temos depois de dividir denominador nominador
por quadrados r obtemos r multiplicado pelo cosseno e seno. A
fim de expulsar o ângulo,
expelir a direção apenas para deixar o
entendimento de que dependemos apenas de
quão perto
estamos do ponto limite, vamos dizer que
ambas as funções cosseno e seno não são maiores do que uma.
Assim, é tudo delimitado pela distância
por r e r se aproxima de zero.
Como r se aproxima de zero,
portanto, basicamente nós provamos a definição do limite
e, portanto, temos provado
que o limite de nossa função é zero.
Às vezes é bom truque quando
você vê, por exemplo, estas expressões,
x ao quadrado mais y ao quadrado atinge r ao quadrado,
muito em sua função ou, por exemplo, no denominador.