Итак, рассмотрим более конструктивные примеры
пределов одновариантных функций и
случаев их отсутствия.
Итак, сначала давайте начнем с идей, что иногда мы
можем просто разделить переменные на сингулярные функции.
Иногда нам нужно сгруппировать их.
Например, рассматривает пределы,
когда x и y приближается к нулю
а, и нам нужно найти предел
синуса продуктов х и у, разделенный на х.
Таким образом, конечно, одно, что
мы всегда можем сделать, мы можем решить,
есть ли неопределенная форма.
Но это довольно легко, потому что произведение
x и y приближается к нулю, умноженному на приближается к нулю.
Синус нуля равен нулю,
поэтому мы делим ноль на ноль, и
это определенно недетерминированная форма.
Так что нам нужно что-то с этим сделать.
Во-первых, то, что он напоминает,
это наши вторые важные пределы,
которые были sine t разделены на t. Он
приближается к одному, поскольку аргумент приближается к нулю.
Поэтому нам нужно как-то придумать одну и ту же концепцию здесь.
В принципе, давайте предположим, что поскольку
мы не знаем никаких формул из
тригонометрии, которая
отделяет синус продуктов,
поэтому нам нужно
группировать переменные в синусе в новую переменную t. второй важный предел здесь.
Чтобы сделать это, мы можем просто добавить множитель y
и разделить на множитель наш главный знаменатель.
То, что мы смотрим на
синус t, разделенный на t, как он приближается к одному,
умноженный на функцию одной переменной y, когда она
приближается к нашей задаче.
Таким образом, наш предел равен a. Это было легко.
Давайте рассмотрим этот красивый вид на
поверхности, и мы на самом деле говорим о
пределе в этот самый момент.
Это ноль, и это наша ось z,
так что это хорошая точка.
Как всегда, я приложил эти графики
в дополнительные материалы, где вы можете
поворачивать их и играть с ними после лекции.
Так что это был хороший пример,
довольно простой пример.
Давайте перейдем к более пугающему.
Хорошо. Это функция n мы
рассматриваем предел в точке 0,0, и
это разделение
двух полиномиальных функций, которые должны быть хорошими,
очевидно, потому что в функции сингулярности
это всегда один из самых простых случаев.
Итак, что произойдет, если мы
рассмотрим xy, разделенный на x квадрат плюс y квадрат случай?
Ну, по сути говоря, это кошмар, и я
покажу вам следующее.
Во-первых, давайте предположим, что нам нужно иметь
некоторое понимание того, что это может быть в результатах.
Поэтому нам нужно найти любого возможного кандидата на лимит.
Для этого мы рассматриваем
какое-то направление приближения 0,0 балла.
Например, я собираюсь
рассмотреть горизонтальный подход,
где x равно некоторому параметру t и y равно нулю.
Таким образом, нам нужно найти предел, когда t приближается к нулю.
Так давайте подставим x и y с нашими направлениями.
Таким образом, мы получаем t
умноженное на ноль, деленное на t в квадрате плюс нуль в квадрате,
что в основном означает, что мы
рассматриваем предел нуля.
Не бесконечная функция, а сама нуль,
а предел нуля просто равен нулю.
Хорошо, это мило.
То же самое относится, например, к вертикальному направлению.
Но если мы просто играем наедине с направлением,
например, если равно t и y равно t,
это диагональное направление, таким образом, мы
получаем довольно разные функции в результате,
потому что это приводит к t умноженной на t,
разделенной на t в квадрате плюс t в квадрате, как t приближается к нулю.
Или, другими словами, половину.
Так как половина не равна нулю,
эта функция не имеет предела в данный момент.
Посмотрим, что это значит для нашей поверхности.
В принципе, для нашей поверхности, давайте посмотрим.
Это значит, что здесь у нас есть вертикальная линия.
Другими словами, если мы просто рассматриваем
направление x равно t и y равно, например, kt,
что любое прямое направление к 0,0 точке,
то наша функция идет в kt квадрат,
разделенный на k в квадрате t в квадрате t плюс t в квадрате,
или k делится на k в квадрате плюс один, который является константа.
Таким образом, все эти направления являются нашими уровнями.
Или в основном то, что
мы смотрим на функцию с таким хорошим подъемом, как
уровни с нулевым уровнем
на оси и половина по центру.
В принципе, здесь растут наши уровни,
но в точке 0,0 есть все возможные уровни.
В основном мы рассматриваем функцию, которая напоминает
все возможные константы от нуля до половины,
что означает, что
нет ни одной константы, чтобы управлять ими всеми, нет предела.
Хорошо. Таким образом, многочлен
, разделенный на полином, может быть кошмарным.
Но это значит, что это всегда так.
Ну, это не так.
Считаем, что мы увеличиваем силу
полинома в знаменателе и тогда,
может быть, здесь мы можем получить наш хороший ответ.
Хорошо. Во-первых, дело здесь заключается в том, чтобы
назвать предел, потому что если мы просто рассмотрим
наш горизонтальный подход или просто общий случай, потому что
у нас есть полином более высокого порядка в номинаторах и
знаменателях, как на нашем рассмотрении
мало на нотации,
мы в основном получаем, что этот номинатор
немного или в отношении знаменателей,
это предел должен быть равен нулю.
Ну, в горизонтальной нотации это в основном доказывает
нашу точку зрения, потому что наши функции превращаются в нуль.
Как доказать, что функция приближается к нулю,
так как трудно двигаться к одному вариативному ключу,
они собираются написать следующее.
Мы собираемся найти границу
по абсолютному значению
этой функции, которая является одновариантной функцией.
Например, предположим, что мы исключили
из знаменателя плюс y квадрат,
таким образом знаменатель обязательно становится
низким значением, потому что y квадрат неотрицательным.
Таким образом, если знаменатель ниже, то вся дробь,
она становится больше, что х квадрат
умножается на y, деленный на х квадрат или просто у приближается к нулю.
Если у приближается к нулю,
в основном наша функция ограничена y и минус y.
Все это приближается к нулю,
поэтому наша функция приближается к нулю.
Хорошо. Мы это доказали, и это мило.
Возьмем, к примеру,
взглянем на поверхность.
Это своего рода объемная,
довольно потрясающая поверхность.
Это не очень поврежденное,
не очень сложное, просто хорошая кривая бумаги здесь.
Хорошо. В качестве последнего трюка, который я покажу вам здесь,
давайте рассмотрим почти ту же функцию,
но для того, чтобы
доказать, что что-то равно нулю,
иногда люди используют так называемые полярные координаты.
Что в основном означает, что мы можем переписать
наши координаты x и y
с точки зрения расстояния до нуля
и угла этого, например оси x.
Таким образом, x превращается в r
косинус угла, а
y превращается в r, умноженный на синус угла.
Наша идея в основном заключается в том, что у
нас есть наша функция минус возможный предел должен
быть ограничен некоторой функцией, которая зависит от
расстояния к предельной функции,
и она приближается к нулю.
Это в основном определение нашего предела,
это означает, что отклонение от предела
нашей функции имеет тенденцию быть все меньше и
меньше, если оно ближе и ближе к нашей предельной точке.
Так давайте проверим его для нашей функции.
В основном то, что мы смотрим на,
мы смотрим на мощность r три
умноженной на косинус квадрат, умноженный на синус квадрат,
который на самом деле не соответствует, потому что мы
собираемся взять значение слота и
синус косинус функция ограничены абсолютным значением 1.
Деноминатор в основном r в
квадрате минус возможный предел равен нулю.
Таким образом, мы получаем после деления знаменателя номинатора
на квадраты r мы получаем r умноженное на косинус и синус.
Для того, чтобы изгнать угол,
изгнать направление просто, чтобы оставить
понимание, что мы
зависим только от того, насколько близко мы находимся к предельной точке,
мы собираемся сказать, что
обе косинус и синус функции не больше одного.
Таким образом, все это ограничено
расстоянием на r и r приближается к нулю.
Поскольку r приближается к нулю,
таким образом, в основном мы доказали определение предела
и, таким образом, мы доказали
, что предел нашей функции равен нулю.
Иногда это хороший трюк, когда
вы видите, например, эти выражения,
x квадрат плюс y квадрат достигает r квадрат,
много в вашей функции или, например, в знаменателе.