Итак, рассмотрим более конструктивные примеры пределов одновариантных функций и случаев их отсутствия. Итак, сначала давайте начнем с идей, что иногда мы можем просто разделить переменные на сингулярные функции. Иногда нам нужно сгруппировать их. Например, рассматривает пределы, когда x и y приближается к нулю а, и нам нужно найти предел синуса продуктов х и у, разделенный на х. Таким образом, конечно, одно, что мы всегда можем сделать, мы можем решить, есть ли неопределенная форма. Но это довольно легко, потому что произведение x и y приближается к нулю, умноженному на приближается к нулю. Синус нуля равен нулю, поэтому мы делим ноль на ноль, и это определенно недетерминированная форма. Так что нам нужно что-то с этим сделать. Во-первых, то, что он напоминает, это наши вторые важные пределы, которые были sine t разделены на t. Он приближается к одному, поскольку аргумент приближается к нулю. Поэтому нам нужно как-то придумать одну и ту же концепцию здесь. В принципе, давайте предположим, что поскольку мы не знаем никаких формул из тригонометрии, которая отделяет синус продуктов, поэтому нам нужно группировать переменные в синусе в новую переменную t. второй важный предел здесь. Чтобы сделать это, мы можем просто добавить множитель y и разделить на множитель наш главный знаменатель. То, что мы смотрим на синус t, разделенный на t, как он приближается к одному, умноженный на функцию одной переменной y, когда она приближается к нашей задаче. Таким образом, наш предел равен a. Это было легко. Давайте рассмотрим этот красивый вид на поверхности, и мы на самом деле говорим о пределе в этот самый момент. Это ноль, и это наша ось z, так что это хорошая точка. Как всегда, я приложил эти графики в дополнительные материалы, где вы можете поворачивать их и играть с ними после лекции. Так что это был хороший пример, довольно простой пример. Давайте перейдем к более пугающему. Хорошо. Это функция n мы рассматриваем предел в точке 0,0, и это разделение двух полиномиальных функций, которые должны быть хорошими, очевидно, потому что в функции сингулярности это всегда один из самых простых случаев. Итак, что произойдет, если мы рассмотрим xy, разделенный на x квадрат плюс y квадрат случай? Ну, по сути говоря, это кошмар, и я покажу вам следующее. Во-первых, давайте предположим, что нам нужно иметь некоторое понимание того, что это может быть в результатах. Поэтому нам нужно найти любого возможного кандидата на лимит. Для этого мы рассматриваем какое-то направление приближения 0,0 балла. Например, я собираюсь рассмотреть горизонтальный подход, где x равно некоторому параметру t и y равно нулю. Таким образом, нам нужно найти предел, когда t приближается к нулю. Так давайте подставим x и y с нашими направлениями. Таким образом, мы получаем t умноженное на ноль, деленное на t в квадрате плюс нуль в квадрате, что в основном означает, что мы рассматриваем предел нуля. Не бесконечная функция, а сама нуль, а предел нуля просто равен нулю. Хорошо, это мило. То же самое относится, например, к вертикальному направлению. Но если мы просто играем наедине с направлением, например, если равно t и y равно t, это диагональное направление, таким образом, мы получаем довольно разные функции в результате, потому что это приводит к t умноженной на t, разделенной на t в квадрате плюс t в квадрате, как t приближается к нулю. Или, другими словами, половину. Так как половина не равна нулю, эта функция не имеет предела в данный момент. Посмотрим, что это значит для нашей поверхности. В принципе, для нашей поверхности, давайте посмотрим. Это значит, что здесь у нас есть вертикальная линия. Другими словами, если мы просто рассматриваем направление x равно t и y равно, например, kt, что любое прямое направление к 0,0 точке, то наша функция идет в kt квадрат, разделенный на k в квадрате t в квадрате t плюс t в квадрате, или k делится на k в квадрате плюс один, который является константа. Таким образом, все эти направления являются нашими уровнями. Или в основном то, что мы смотрим на функцию с таким хорошим подъемом, как уровни с нулевым уровнем на оси и половина по центру. В принципе, здесь растут наши уровни, но в точке 0,0 есть все возможные уровни. В основном мы рассматриваем функцию, которая напоминает все возможные константы от нуля до половины, что означает, что нет ни одной константы, чтобы управлять ими всеми, нет предела. Хорошо. Таким образом, многочлен , разделенный на полином, может быть кошмарным. Но это значит, что это всегда так. Ну, это не так. Считаем, что мы увеличиваем силу полинома в знаменателе и тогда, может быть, здесь мы можем получить наш хороший ответ. Хорошо. Во-первых, дело здесь заключается в том, чтобы назвать предел, потому что если мы просто рассмотрим наш горизонтальный подход или просто общий случай, потому что у нас есть полином более высокого порядка в номинаторах и знаменателях, как на нашем рассмотрении мало на нотации, мы в основном получаем, что этот номинатор немного или в отношении знаменателей, это предел должен быть равен нулю. Ну, в горизонтальной нотации это в основном доказывает нашу точку зрения, потому что наши функции превращаются в нуль. Как доказать, что функция приближается к нулю, так как трудно двигаться к одному вариативному ключу, они собираются написать следующее. Мы собираемся найти границу по абсолютному значению этой функции, которая является одновариантной функцией. Например, предположим, что мы исключили из знаменателя плюс y квадрат, таким образом знаменатель обязательно становится низким значением, потому что y квадрат неотрицательным. Таким образом, если знаменатель ниже, то вся дробь, она становится больше, что х квадрат умножается на y, деленный на х квадрат или просто у приближается к нулю. Если у приближается к нулю, в основном наша функция ограничена y и минус y. Все это приближается к нулю, поэтому наша функция приближается к нулю. Хорошо. Мы это доказали, и это мило. Возьмем, к примеру, взглянем на поверхность. Это своего рода объемная, довольно потрясающая поверхность. Это не очень поврежденное, не очень сложное, просто хорошая кривая бумаги здесь. Хорошо. В качестве последнего трюка, который я покажу вам здесь, давайте рассмотрим почти ту же функцию, но для того, чтобы доказать, что что-то равно нулю, иногда люди используют так называемые полярные координаты. Что в основном означает, что мы можем переписать наши координаты x и y с точки зрения расстояния до нуля и угла этого, например оси x. Таким образом, x превращается в r косинус угла, а y превращается в r, умноженный на синус угла. Наша идея в основном заключается в том, что у нас есть наша функция минус возможный предел должен быть ограничен некоторой функцией, которая зависит от расстояния к предельной функции, и она приближается к нулю. Это в основном определение нашего предела, это означает, что отклонение от предела нашей функции имеет тенденцию быть все меньше и меньше, если оно ближе и ближе к нашей предельной точке. Так давайте проверим его для нашей функции. В основном то, что мы смотрим на, мы смотрим на мощность r три умноженной на косинус квадрат, умноженный на синус квадрат, который на самом деле не соответствует, потому что мы собираемся взять значение слота и синус косинус функция ограничены абсолютным значением 1. Деноминатор в основном r в квадрате минус возможный предел равен нулю. Таким образом, мы получаем после деления знаменателя номинатора на квадраты r мы получаем r умноженное на косинус и синус. Для того, чтобы изгнать угол, изгнать направление просто, чтобы оставить понимание, что мы зависим только от того, насколько близко мы находимся к предельной точке, мы собираемся сказать, что обе косинус и синус функции не больше одного. Таким образом, все это ограничено расстоянием на r и r приближается к нулю. Поскольку r приближается к нулю, таким образом, в основном мы доказали определение предела и, таким образом, мы доказали , что предел нашей функции равен нулю. Иногда это хороший трюк, когда вы видите, например, эти выражения, x квадрат плюс y квадрат достигает r квадрат, много в вашей функции или, например, в знаменателе.