Vì vậy, chúng ta hãy xem xét các ví dụ mang tính xây dựng hơn về
giới hạn của các chức năng đơn biến thể và
các trường hợp vắng mặt của nó.
Vì vậy, trước tiên, chúng ta hãy bắt đầu với những ý tưởng mà đôi khi chúng ta
chỉ có thể tách các biến thành các hàm số ít.
Đôi khi chúng ta cần nhóm chúng lại.
Ví dụ, xem xét các giới hạn
khi x và y tiếp cận điểm 0
a và chúng ta cần tìm giới hạn của
sin của sản phẩm x và y chia cho x
Vì vậy, tất nhiên, một điều mà chúng ta luôn có thể làm,
chúng ta có thể quyết định xem
có hay không hình thức trong quyết định.
Nhưng nó khá dễ dàng bởi vì tích của
x và y tiếp cận bằng không nhân với một phương pháp tiếp cận bằng không.
Sine của số không là 0,
do đó chúng ta chia 0 cho số không và điều này
chắc chắn là trong hình thức xác định.
Vì vậy, chúng ta cần phải làm một cái gì đó với nó.
Thứ nhất, thứ mà nó giống như
là giới hạn quan trọng thứ hai của chúng tôi,
được sin t chia cho t Nó
tiếp cận một khi đối số tiếp cận bằng không.
Vì vậy, chúng ta cần phải bằng cách nào đó đưa ra cùng một khái niệm ở đây.
Về cơ bản, chúng ta hãy giả định rằng kể từ khi
chúng ta không biết bất kỳ công thức từ
lượng giác mà tách sin của sản phẩm,
do đó chúng ta cần phải nhóm
các biến trong sin thành biến mới
t Vì vậy nếu chúng ta
tìm thấy biến t này tích hợp trong mẫu số,
sau đó chúng ta có thể nhận được của chúng tôi giới hạn quan trọng thứ hai ở đây.
Để làm điều đó, chúng ta chỉ có thể chỉ đơn giản là thêm y nhân
và chia cho một số nhân mẫu số chính của chúng tôi.
Những gì chúng ta đang nhìn vào, chúng ta đang nhìn vào
sin của t chia cho t khi nó tiếp cận một,
nhân với chức năng của một biến y khi nó
tiếp cận một bởi nhiệm vụ của chúng tôi.
Như vậy, giới hạn của chúng tôi tương đương với một.
Chúng ta hãy xem xét cái nhìn đẹp này
trên bề mặt và chúng ta đang thực sự nói về
giới hạn tại thời điểm này.
Đây là số không và đây là trục z của chúng tôi,
vì vậy đây là một điểm tốt đẹp.
Như mọi khi, tôi đã đính kèm đồ thị này
vào các tài liệu bổ sung, nơi bạn có thể
xoay nó và chơi với nó sau bài giảng.
Vì vậy, đây là một
ví dụ khá đơn giản.
Hãy để chúng tôi chuyển sang một cái đáng sợ hơn.
Được rồi. Đây là chức năng của n chúng ta đang
xem xét giới hạn tại điểm 0,0 và
nó là sự phân chia của
hai hàm đa thức mà nên được tốt đẹp
rõ ràng bởi vì trong chức năng kỳ dị
nó luôn luôn là một trong những trường hợp đơn giản nhất.
Vì vậy, điều gì xảy ra nếu chúng ta
xem xét xy chia cho x bình phương cộng với y bình phương trường hợp?
Vâng, về cơ bản nói đây là cơn ác mộng và tôi sẽ
cho các bạn thấy theo cách sau đây.
Trước tiên, chúng ta hãy giả định rằng chúng ta cần phải có
một số hiểu biết về những gì nó có thể được trong kết quả.
Vì vậy, chúng ta cần phải tìm bất kỳ ứng cử viên nào có thể cho một giới hạn.
Để làm như vậy, chúng tôi xem xét
một số hướng tiếp cận của 0,0 điểm.
Ví dụ, tôi sẽ
xem xét cách tiếp cận ngang
nơi x bằng một số tham số t và y bằng 0.
Như vậy, chúng ta cần phải tìm ra giới hạn khi t tiếp cận bằng không.
Vì vậy, chúng ta hãy thay thế x và y với hướng dẫn của chúng tôi.
Như vậy, chúng ta được t nhân với
0 chia cho t bình phương cộng với 0 bình phương,
mà về cơ bản có nghĩa là chúng ta đang
xem xét giới hạn của 0.
Không phải hàm vô hạn nhưng không chính nó,
và giới hạn của số không chỉ đơn giản là zero.
Được rồi, thật tuyệt.
Điều tương tự cũng áp dụng cho một hướng thẳng đứng, ví dụ.
Nhưng nếu chúng ta chỉ chơi một mình với hướng,
ví dụ, nếu bằng t và y bằng t,
hướng chéo này, do đó chúng ta
nhận được khá nhiều chức năng khác nhau như là một kết quả
bởi vì nó kết quả thành t nhân với t
chia cho t bình phương cộng với t bình phương như t tiếp cận bằng không.
Hay nói cách khác, một nửa.
Vì một nửa không phải là 0, nên
hàm này không có giới hạn tại thời điểm này.
Chúng ta hãy xem nó về cơ bản có ý nghĩa gì đối với bề mặt của chúng ta.
Về cơ bản, đối với bề mặt của chúng ta, chúng ta hãy nhìn.
Nó có nghĩa là ở đây chúng ta có một đường thẳng đứng.
Nói cách khác, nếu chúng ta chỉ xem xét
hướng x bằng t và y bằng ví dụ kt,
đó là bất kỳ hướng thẳng về 0,0 điểm,
sau đó hàm của chúng tôi là đi vào kt bình phương
chia cho k bình phương t cộng với t bình phương,
hoặc k chia cho k bình phương cộng với một trong đó là một hằng số.
Vì vậy, tất cả các hướng này là cấp độ của chúng tôi.
Hoặc về cơ bản những gì chúng
ta đang nhìn vào, chúng ta đang nhìn vào chức năng với
mức tăng tốt như mức với mức 0 trên
trục và một nửa trên trung tâm.
Về cơ bản, mức độ của chúng tôi phát triển ở đây,
nhưng tại điểm 0,0 có tất cả các cấp độ có thể.
Về cơ bản chúng ta đang nhìn vào hàm mà giống với
tất cả các hằng số có thể từ 0 đến một nửa,
mà ngụ ý rằng
không có một hằng số để cai trị tất cả, không có giới hạn.
Được rồi. Vì thế đa thức
chia cho đa thức có thể là ác mộng.
Nhưng điều đó có nghĩa là nó luôn như thế này.
Chà, không phải vậy.
Hãy xem xét rằng chúng ta tăng sức mạnh
của đa thức trong mẫu số và sau đó có thể ở
đây chúng ta có thể có được câu trả lời tốt đẹp của chúng ta.
Được rồi. Thứ nhất, điều ở đây là để
gọi giới hạn bởi vì nếu chúng ta chỉ xem xét
cách tiếp cận ngang
của chúng tôi hoặc chỉ là một trường hợp phổ biến bởi vì chúng ta có một đa thức bậc cao hơn trong các đề cử và
mẫu số như bằng cách xem xét
của chúng ta về ít trên ký hiệu,
chúng ta về cơ bản nhận được rằng đề cử này
là một chút hoặc liên quan đến mẫu số,
nó giới hạn nên bằng không.
Vâng, trong ký hiệu ngang nó về cơ bản chứng minh
quan điểm của chúng tôi bởi vì các chức năng của chúng tôi biến thành một số không chính nó.
Làm thế nào người ta nên chứng minh rằng các chức năng tiếp cận zero
vì nó rất khó để di chuyển về phía một biến đơn phím,
họ sẽ viết những điều sau đây.
Chúng ta sẽ tìm thấy ranh giới
trên giá trị tuyệt đối của
chức năng này là chức năng biến thể đơn.
Ví dụ, giả sử rằng chúng ta trục xuất
khỏi mẫu số cộng với y bình phương,
do đó mẫu số nhất thiết phải trở thành
một giá trị thấp vì y bình phương là không âm.
Như vậy, nếu mẫu số thấp hơn thì toàn bộ phân số là,
nó trở nên lớn hơn đó là x bình phương nhân với
y chia cho x bình phương hoặc chỉ y tiếp cận bằng không.
Nếu y tiếp cận số không,
về cơ bản hàm
của chúng tôi được giới hạn bởi một y và trừ y Tất cả nó tiếp cận số không,
do đó hàm của chúng tôi tiếp cận số không.
Được rồi. Chúng tôi đã chứng minh điều đó và điều đó là tốt đẹp.
Hãy lấy ví dụ,
nhìn vào bề mặt.
Nó giống như khối lượng lớn,
bề mặt khá tuyệt vời.
Nó không phải là cực kỳ hư hỏng,
không phải là cực kỳ phức tạp, chỉ là đường cong đẹp của giấy ở đây.
Được rồi. Như thủ thuật cuối cùng mà tôi sẽ cho các bạn thấy ở đây,
chúng ta hãy xem xét khá nhiều chức năng giống nhau
nhưng để
chứng minh rằng một cái gì đó là 0,
đôi khi người ta sử dụng cái gọi là tọa độ cực.
Mà về cơ bản ngụ ý rằng chúng ta có thể viết lại
tọa độ x và y
của chúng tôi về khoảng cách đến 0
và một góc của điều này ví dụ x trục.
Như vậy, x biến thành r cosin
của góc và
y biến thành r nhân với sin của góc.
Ý tưởng của chúng tôi về cơ bản là chúng tôi có
chức năng của chúng tôi trừ đi nó có thể giới
hạn nên được giới hạn bởi một số chức năng mà phụ thuộc
vào khoảng cách đối với các chức năng giới hạn
và nó tiếp cận bằng không.
Về cơ bản nó là định nghĩa về giới hạn của chúng ta,
nó có nghĩa là độ lệch từ giới hạn của
hàm của chúng ta có xu hướng ít hơn và
ít hơn nếu nó gần hơn và gần với điểm giới hạn của chúng ta.
Vì vậy, chúng ta hãy kiểm tra nó cho chức năng của chúng tôi.
Về cơ bản những gì chúng
ta đang nhìn vào, chúng ta đang nhìn vào r sức mạnh ba
nhân với cosin bình phương nhân với sin bình phương,
mà không thực sự phù hợp bởi vì
chúng ta sẽ mất giá trị khe và
hàm cosin sin được giới hạn bởi giá trị tuyệt đối 1.
Mẫu số về cơ bản là r
bình phương trừ giới hạn có thể là zero.
Như vậy, chúng ta nhận được sau khi phân chia mẫu số đề cử cho
r ô vuông chúng ta nhận được r nhân với cosin và sin.
Để trục xuất góc,
trục xuất hướng chỉ để lại
sự hiểu biết rằng chúng ta chỉ phụ thuộc
vào cách gần chúng ta đến điểm giới hạn,
chúng ta sẽ nói rằng
cả hai hàm cosin và sin đều không lớn hơn một.
Như vậy, tất cả bị giới hạn bởi khoảng cách
bởi r và r tiếp cận bằng không.
Như r tiếp cận zero, do đó về cơ bản chúng tôi đã chứng minh định nghĩa của giới hạn
và do đó chúng tôi đã chứng minh
rằng giới hạn của hàm của chúng tôi là zero.
Đó là đôi khi lừa tốt đẹp khi
bạn nhìn thấy ví dụ biểu thức này,
x bình phương cộng y bình phương đạt r bình phương,
rất nhiều trong chức năng của bạn hoặc ví dụ trong mẫu số.